Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление (стр. 1 )

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

Функции нескольких переменных.

Дифференциальное и интегральное исчисление.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им.

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. .

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Авторы-составители: кандидат ф.-м. н., доцент ,

Старший преподаватель ,

кандидат ф.-м. н., ассистент

Рецензент: зав. каф. матем. анализа РГПУ им. ,

профессор

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  , , Лащенов математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

2.  и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

3.  Кузнецов заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

4.  Кудрявцев математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

5.  , , Шабунин задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

6.  , Лихтарников пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. .-Л., 1985.

7.  , Лихтарников исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. .-Л., 1986.

8.  Фихтенгольц математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве D определена числовая функция нескольких переменных .

Множество D называется областью определения функции, точка - аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных . Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функцию n переменных, где n>2.

Множество всех точек , для которых функция , заданная аналитически, имеет смысл, называется естественной областью определения этой функции.

Например, областью определения функции является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством .

Графиком функции , где , называется множество . Оно задает некоторую поверхность в пространстве .

Например, графиком функции , , является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции .

Функция определена в тех точках плоскости , где .

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и .

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе или выше нее, и лежащих в полуплоскости . Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т. е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

y y y

 

x x x

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции , называется множество точек , удовлетворяющих уравнению .

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня) функции n переменных, если n>2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции .

Отметим, что функция определена на всей плоскости .

Для построения линий уровня надо для любого найти множество точек плоскости, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению . Следовательно, если , то , а если , то .

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0:

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0, с=1 и с=2.

y

c=2

c=1

. c=0 x

 

Рис.4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса с центром в точке ) называется -окрестностью точки . Через будем обозначать проколотую окрестность точки .

Точка называется предельной точкой множества , если пересечение любой -окрестности точки и множества D содержит хотя бы одну точку, отличную от , т. е. для .

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D.

Пусть функция определена на множестве D и точка - предельная точка D.

Число А называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности точки А () существует -окрестность точки такая, что для любой точки значение функции попадает в окрестность .

Таким образом,

: )

: ).

Пример 3. Докажем, что .

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0).

Поскольку , то для любого существует (а именно ) такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке множества D.

Пример 4. 1) Функция непрерывна в точке (0,0), поскольку (см. пример 3).

2) Функция в точке (0,0) терпит разрыв, т. к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если существуют конечные пределы и , то они называются частными производными функции в точке по переменным x и y соответственно и обозначаются и (или: и ).

Для вычисления частной производной (или ) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную y (или x) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции .

Если считать y=const, то - степенная функция от x , поэтому .

Если x=const, то - показательная функция от y, и, следовательно, .

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют числа А и В такие, что приращение функции f в точке представимо в виде

,

где при .

Главная часть полного приращения , линейная относительно и , т. е. , называется полным дифференциалом функции в точке и обозначается .

Таким образом, .

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т. е. , .

Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке множества D.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке и - ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функции f, и, кроме того,

=А, =В.

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+ .

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные и функции f существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в , то функция f дифференцируема в точке .

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции в точке (1, 1/5).

, ,

, ;

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , а функция определена в некоторой окрестности точки .

Если функция f дифференцируема в точке , а в точке существуют производные , то в точке существует производная сложной функции , причем

, .

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где , .

,

.

Пример 8. Найдем производную сложной функции , где , . В этом примере функции x и y зависят от одной переменной t, поэтому сложная функция - функция одной переменной.

.

Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция удовлетворяет уравнению . Положим .

Тогда .

.

Следовательно,

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция в окрестности точки имеет частную производную .

Частная производная функции по переменной x называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или .

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или .

Аналогично определяются частные производные второго порядка и ( и ) как частные производные функции .

Производные и называются смешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция определена вместе со своими частными производными , , , в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные и непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т. е. =.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка: и т. д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные , и непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны: ==.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (т. е. существуют непрерывные частные производные функции f до второго порядка включительно в окрестности точки ), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , где , .

, .

=

= ,

=

= ,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в с координатами .