Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление (стр. 4 )

=.

Следствие. Если кривая L задана уравнением , , причем функция имеет кусочно-непрерывную производную, а функции и - кусочно - непрерывны вдоль кривой L, то существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство

=.

Пример 24. Вычислим криволинейный интеграл I=, где кривая L задана уравнением и соединяет точки A (1, 1) и B (-1, 1).

Учитывая, что , , и x изменяется от 1 до -1, по формуле для вычисления криволинейного интеграла (см. следствие из

теоремы) имеем I =.

Пример 25. Вычислим интеграл I =, где L - окружность .

Выпишем параметрические уравнения данной окружности: , , . Вычислим интеграл, используя теорему и учитывая, что , .

I =

=.

Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема. Если функции , и их частные производные , непрерывны в ограниченной области D с кусочно-гладкой границей L, то справедливо равенство

=.

Это равенство называется формулой Грина.

Напомним, что область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D.

Теорема. Пусть функции , и их частные производные , непрерывны в односвязной области D. Тогда следующие условия эквивалентны:

1.   Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области D, справедливо равенство =0.

2. Для любых двух точек A и B в области D криволинейный

интеграл не зависит от формы пути интегрирования, расположенного в области D.

3. Выражение является полным дифференциалом, т. е. в области D существует функция , такая, что .

При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области D, имеет место равенство =.

4.   В области D выполняется равенство =.

Замечание. Функция из условия 3 может быть найдена по формуле =, где интеграл в правой части берется по произвольной кривой AB, лежащей в области D и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку с точкой (c - произвольная постоянная). В качестве кривой AB удобно бывает брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат.

Пример 25. Найдем функцию , если

.

Сначала убедимся, что функция действительно существует, т. е. выполнено равенство =.

В нашем примере , , .

Функцию будем искать по формуле =; интеграл в правой части вычислим по кривой L, соединяющей точку с точкой и представляющей собой ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат: . На отрезке , следовательно, ; на отрезке , поэтому .

=

=.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

Вариант 1	Вариант 2
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , , ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , ,	8. , , ,
9. , , , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. , - отрезок	10. , - отрезок
Вариант 3	Вариант 4
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , , ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , ,	8., , ,
9. , , , ,	9. , , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,

Вариант 5	Вариант 6
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. ,	7. , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , , , ,
9. , ,	9. , , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 7	Вариант 8
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , ,	8. , , , ,
9. , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. , - отрезок	10. ,

Вариант 9	Вариант 10
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , ,	7. , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , , ,
9. , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 11	Вариант 12
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , ,	7. , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , , ,
9. , ,	9. , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,

Вариант 13	Вариант 14
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2 ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. . , , ,	6. , , ,
7. ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9, ,	9. , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 15	Вариант 16
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , ,	9. , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,

Вариант 17	Вариант 18
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , , ,	7. , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. , - отрезок	10. , - отрезок

Вариант 19	Вариант 20
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , ,	7. ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 21	Вариант 22
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. . , ,	7. , , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , , , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 23	Вариант 24
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. ,	7. , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , ,	9. , , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. , - отрезок	10. ,

Вариант 25	Вариант 26
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. ,	7. . , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , ,	9. , , , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,
Вариант 27	Вариант 28
1.  Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
2. ,	2. ,
3. ,	3. ,
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. , , ,	6. , , ,
7. , ,	7. . , , ,
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
8. , , ,	8. , , ,
9. , ,	9. , ,
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
10. ,	10. ,