Теорема о линейной зависимости системы двух компланарных векторов.
Система векторов 
и 
линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Доказательство.
Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по св.1 хотя бы один вектор линейно выражается через другой. Пусть, например,
, по ранее доказанной теореме 
. Пусть и 
коллинеарны, докажем, что система, состоящая из векторов и линейно зависима. Если =
, то по свойству 3, система векторов и линейно зависима. Пусть 
, тогда
- система линейно зависима по определению.
Теорема о линейной зависимости системы трех компланарных векторов.
Система векторов , и 
линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Доказательство.
Пусть система векторов, и линейно зависима. 
, причем хотя бы один из коэффициентов α, β, γ отличен от нуля. Пусть, например, γ=0, тогда 
, то есть и - коллинеарны, значит, и - компланарны.
Пусть 
. От точки О отложим вектор 
От А вектор 
А
О В
, 
Точки О, А, В лежат в одной плоскости, значит векторы ,, - компланарны.
, , 
- компланарны. Докажем, что система линейно зависима. Предположим, что и коллинеарны, тогда и линейно зависимы, и по свойству 2 система , и линейно зависима.
Предположим, что и не коллинеарны, тогда, то по теореме о компланарных векторах 
. По свойству 1 система , и линейно зависима.
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Если векторы , 
и некомпланарны, то для любого вектора 
существуют единственные числа α, β и γ, такие что 
.
Доказательство.
Докажем существование чисел α, β, γ.От некоторой точки пространства отложим векторы 
. Так как векторы , и некомпланарны, то точки О, А, В, С – не лежат в одной плоскости.
С
Р
О А
В
Пусть Р
ОС, тогда векторы 
, по теореме о коллинеарных векторах 
или 
. Проведем через точку Р прямую РР1:
.
Р1 – точка пересечения с плоскостью ОАВ
С
Р
А
О
В Р1
Векторы: 
- лежат в одной плоскости, т. е. компланарны. Тогда по теореме о компланарных векторах существуют числа α и β такие, что 
.С другой стороны векторы 
||, поэтому существует такое число γ, что 
. По правилу треугольника 
,
2. Докажем, что числа α, β, γ единственные.
Пусть существуют числа α1 , ß1, γ1, такие что 
Так как система векторов , и 
линейно независима, то 
, т. е
α, ß, γ – единственные.
Разложение вектора по двум неколлинеарным и трем некомпланарным векторам
О Опорная задача№1.
А М В
Дано: М – середина АВ, О – произвольная точка пространства
Доказать 
, с другой стороны 
. Сложим два эти равенства 
, 
6. Трехмерное векторное пространство. Базис векторного пространства. Координаты вектора и их свойства
Определение. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая 2- условиям:
1) система линейно независима,
2) любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.
Число векторов в базисе называется размерностью векторного пространства.
Любая система трех некомпланарных векторов взятых в определенном порядке образуют базис векторного пространства, т. е. любой базис пространства состоит из трех векторов. Размерность пространства равна 3 и пространство V называется трехмерным векторным пространством.
Выберем произвольный базис векторного пространства V - 
. Сами векторы называются базисными векторами, причем 
- называется первым базисным вектором, 
- вторым, а 
- третьим. Важно отметить, что 
- базис отличный от
Введем понятие координат вектора в данном базисе.
Если в пространстве задан базис, то любой вектор этого пространства можно единственным образом разложить по векторам этого базиса.
Говорят, что вектор разложен по векторам базиса
Координатами вектора в заданном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по базисным векторам (а1,а2,а3).
Сами базисные векторы имеют координаты (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)
Пример. Д1 А1
С1 В1
Д 
А
С В
На рисунке изображен параллелепипед и указан базис. Точка Е – середина ребра СС1.
Справедливы следующие утверждения:
Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Для того чтобы векторы
и 
были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны 
Определение.
Базис
называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям
1) 
;
2) эти векторы попарно перпендикулярны.
ортонормированный базис аффинный базис
Теорема.
Длина вектора заданного в ортонормированном базисе (, ,) вычисляется по формуле:
Доказательство. А3
А
Е3
О Е2 А2
Е1
А1
А´
Докажем теорему для случая а1
0,а20,а30. От некоторой точки О – пространства отложим векторы
и построим параллелепипед как показано на рисунке
Поэтому 
С другой стороны
. Таким образом,
По теореме о диагонали параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: 
. Отсюда получаем 
Теорема справедлива и в случае, когда некоторые координаты вектора равны нулю.
Пример. Найти длины векторов.
, 2
7. Скалярное произведение векторов и его свойства
Пусть и нулевые векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы 
А
о В
Углом между векторами и называется угол между лучами ОА и ОВ, т. е. 
, если эти лучи не совпадают. Если лучи совпадают, то угол между ними считается равным нулю.
Два ненулевых вектора называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 900.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Из определения следует, что 
, тогда и только тогда, когда 
Из формулы следует, что 
. Это число называется скалярным квадратом вектора и обозначается 
.
Длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата.
Теорема (выражает скалярное произведение векторов через координаты).
Скалярное произведение векторов (а1,а2,а3) и (в1,в2,в3) заданных в ортонормированном базисе выражается формулой.
Доказательство.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то справедливость формулы очевидна. Пусть 
. Возможны два случая.
1) Пусть 
и - неколлинеарны.
А
О
В
От произвольной точки О отложим векторы
Рассмотрим треугольник ОАВ. По теореме косинусов 
Т. К 
, то предыдущее равенство можно записать так
3) Пусть и - коллинеарны.
По определению скалярного произведения 
. По теореме о коллинеарных векторах существует такое число λ, что =l, следовательно
а1=lb1, a2=lb2, a3=lb3.
Следствие 1. Векторы (а1,а2,а3) и (в1,в2,в3), заданные в ортонормированном базисе взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда 
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами (а1,а2,а3) и (в1,в2,в3), заданными в ортонормированном базисе вычисляется по формуле
,
Свойства скалярного произведения.
Теорема.
Для любых векторов 
, 
и и любого числа k справедливы равенства.
1. 
, причем 
при 
2. 
(переместительный закон)
3. 
(распределительный закон)
4. 
(сочетательный закон)
Доказательство. Свойство 3.
Следствие: для любых векторов , , и 
справедливо равенство.
.
8. Направляющие косинусы
Используя скалярное произведение, выясним геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе.
Пусть в базисе 
задан вектор 
. Это означает, что
Умножим скалярно это равенство на 
, учитывая при этом, что
1) 
2)
(т. к. эти векторы попарно перпендикулярны). Получим
. Аналогично 
, 
Введем обозначения:
φ1=(
), φ2=(
), φ3=(
). Предыдущие формулы принимают вид
, 
, 
.
Числа cosφ1, cosφ2, cosφ3 называются направляющими косинусами вектора 
в базисе
Утверждение.
1. Каждая координата вектора равна произведению длины этого вектора на соответствующий направляющий косинус.
Если вектор единичный, то его координаты равны направляющим косинусам. Выразим длину вектора
3. Сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна 1.
9. Векторные подпространства
1. Пусть L — непустое множество векторов из векторного пространства V. Множество L называется векторным подпространством пространства V, если выполнены следующие два условия.
1°. Если L и L, то 
L.
2°. Если L, то α L для любого α R.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
