Элементы векторной алгебры. Метод координат на плоскости. Прямая линия на плоскости (стр. 4 )

Найдем формулу для вычисления расстояния между точками М1 (х1, у1) и М2 (х2, у2).

 

d=

16. Метод координат на плоскости. Окружность

Метод координат в геометрии состоит в том, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем. И тем самым при доказательстве теорем или решении задач используют аналитические методы. При изучении геометрических объектов методом координат часто рассматривают две задачи.

1.  По заданным геометрическим свойствам фигуры составить аналитические условия, определяющие эту фигуру.

2.  По заданным аналитическим условиям, определяющим фигуру выяснить ее геометрические свойства.

Рассмотрим примеры решения первой задачи.

Найти условия, определяющие каждую из фигур.

3£х£5

2

4

Рассмотрим пример решения второй задачи. Установить вид фигуры Φ, которая в данной прямоугольной системе координат системе имеет уравнение х2+у2=4. Если М(х, у)- произвольная точка фигуры Φ, то ее координаты удовлетворяют уравнению. Так как ОМ2= х2+у2, то для точки М имеем: ОМ2=4, или ОМ=2. Таким образом, любая точка фигуры Φ удалена от начала координат на расстояние r=2, т. е. лежит на окружности ω радиуса r с центром в начале координат. Если точка М1(х1,у1) не принадлежит фигуре Φ, то 4,т. е. ОМ12. Это означает, что М1ω. Т. о., фигура Φ, заданная уравнением х2+у2=4 является окружностью ω.

При изучении геометрии на плоскости методом координат в качестве фигур чаще всего рассматривают линии. Примерами линий являются окружность, парабола, синусоида и др. Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в виде F(х, у)=0, где F(х, у)- многочлен от переменных х и у.

Окружность

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Оху. Уравнение (х-а)2+(у-в)2=r2 определяет окружность радиусом r с центром С(а, в). Оно называется каноническим. Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е., если а=в=0, то уравнение окружности имеет вид х2+у2=r2.

Пусть дана окружность с центром С(а;в), М(х;у)– произвольная точка окружности..

М

У М

.

х

r – радиус

Пример 1.

Составить уравнение окружности

а)с центром А (0; 5), r=3

х2+(у-5)2=9;

б)А (-1; 2), r=2

(х+1)2+(у-2)2=4

в)А (-3; -7) r=

(х+3)2+(у+7)2=3.

Пример 2. Написать уравнение окружности с центром в начале координат проходящей через т. В (-1; 3)

Глава 3. Прямая линия на плоскости

17. Способы задания прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется ее направляющим вектором.

Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны. Поэтому положение прямой однозначно определяется, если даны

1)  направляющий вектор прямой и некоторая ее точка;

2)  две точки прямой.

1.  Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Пусть в некоторой аффинной системе координат О заданы точка М0(х0; у0)Îd и направляющий вектор

М(х, у)

О

d

М0

Пусть , тогда , а их координаты пропорциональны.

(1)

(1´)

Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

2.  Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть в аффинной системе координат О заданы две точки

 

О

Направляющим вектором служит вектор :, тогда уравнение прямой имеет вид.

(2)

Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки Р (2; -8), Q (1; 7)

3.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмторим уравнение (1)

Пусть (3)

Отсюда , k – угловой коэффициент прямой.

Геометрический смысл углового коэффициента.

Пусть прямая d задана в прямоугольной системе координат О

 

d

α

О

Угловой коэффициент равен тангенсу угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Если в качестве М0 взять точку, лежащую на оси ординат, то ее координаты будут М0(0; b)

(3)

Число b по модулю равно длине отрезка, который отсекает прямая на оси ординат.

4.  Параметрические уравнения прямой.

Выберем аффинную систему координат О и зададим прямую d точкой М0(х0; у0) и - направляющим вектором.

Пусть М (х; у) произвольная точка прямой, тогда коллинеарны, а значит существует такое число t, что

В координатах это уравнение записывается так

или (4)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, а t ее параметром.

Смысл этих уравнений заключается в следующем: каково бы ни было число t, точка с координатами (х; у), которые удовлетворяют уравнению (4) лежит на прямой d.

И обратно, если (х; у) – точка прямой d, то всегда найдется такое t, что х и у выражаются через х0 и у0, (а1; а2) при помощи уравнений (4).

5. Уравнение прямой «в отрезках»

Пусть прямая d задана в прямоугольной системе координат , a и b - отрезки, которые она отсекает на осях

d

B (0; b)

b

A (a; 0)

a

(5)

Пример.

5.  Уравнение прямой, заданной точкой и перпендикулярным вектором

Определение. Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

 

М0

М

d

(А; В)

Из того, что

(6)

А=а2, В=-а1 - связь между координатами направляющего и перпендикулярного вектора.

7. Общее уравнение прямой

Из (6) следует:

Пусть

(7) – общее уравнение прямой

Теорема.

Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени, есть прямая.

Вектор с координатами (-В; А) является направляющим вектором этой прямой.

Обратное утверждение.

Любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая линия.

18. Исследование общего уравнения прямой

Пусть в аффинной системе координат прямая задана общим уравнением , выясним особенности расположения прямой относительно системы координат, если некоторые из чисел А, В, С равны 0.

1. С=0

- прямая проходит через начало координат.

2. А=0

Если А=0, С≠0, то прямая не проходит через начало координат и параллельна оси Ох; если же А=С=0, то прямая совпадает с осью Ох и имеет уравнение у=0.

3. В=0

Ах+С=0

х=- или х=а

если В=0, С≠0, то прямая не проходит через начало координат и параллельна оси Оу. Если В=С=0, то прямая совпадает с осью ординат Оу и имеет уравнение х=0.

Геометрический смысл трехчлена

Прямая d разделяет множество точек плоскости на 2 полуплоскости с общей границей.

d

Теорема: если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением , то полуплоскости с границей d определяются неравенствами

и

19. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть в аффинной системе координат заданы прямые

Возможны три случая расположения прямых

Пересекаются	Параллельны
d1∩d2	d1||d2	d1||d2

 

Совпадают

d1=d2

1. Прямые d1 и d2 пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при х и у не пропорциональны.

Чтобы найти точку пересечения прямых нужно решить систему, состоящую из уравнений прямых d1 и d2.

2. Прямые d1||d2 тогда и только тогда, когда коэффициенты при х и у в уравнениях пропорциональны, но не пропорциональны .

3. Прямые совпадают, если все коэффициенты пропорциональны

Пример: найти взаимное расположение двух прямых

2х – 4у + 3 = 0

х – 2у = 0

, значит прямые параллельны

- прямые пересекаются

20. Расстояние от точки до прямой

 

Пусть

Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую d.

Пусть , найдем скалярное произведение

Так как , ее координаты удовлетворяют уравнению прямой d, то есть

Пример: Дана прямая . Найти расстояние от начала координат до прямой а.

Решение

21. Угол между прямыми.

 

Пусть прямые d1 и d2 пересекаются в точке А.

При пересечении образуются четыре угла. Угол 1 равен углу 3, угол 2 равен углу 4.

Определение.

Углом между прямыми d1 и d2 называется величина того из этих углов, которые не превосходит остальных

Пусть направляющий вектор , - направляющий вектор

Направляющие векторы прямых выберем так, чтобы угол между ними был острый.

Направленным углом между прямыми d1 и d2 называется направленный угол между векторами и

Таким образом φ – направленный угол между пересекающимися прямымизаключен в пределах

1. Пусть прямые d1 и d2 заданы уравнениями (1) - через точку и направляющий вектор

Чтобы найти угол между прямыми достаточно найти угол между их направляющими векторами

2. Пусть прямые d1 и d2 заданы точкой и перпендикулярным вектором

 

Угол между прямыми d1 и d2 равен углу между векторами и , где , а

3. Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

у

φ

d2

α1 α2

х

d1

Если k1=k2 , то прямые параллельны.

Если

условие перпендикулярности прямых.

Пример: Найти угол между прямыми

Список литературы

Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , , и др.- 2-е изд. – М.:Просвещение, 1993. , Геометрия.-М.:Просвещение,1986. , , Курс элементарной геометрии. –М.:Сантакс-Пресс,1997. Курс элементарной геометрии. –М.:Гостехиздат,1948. Геометрия. – М.:Наука,1983. Сборник задач по геометрии / Под ред. –М.:Просвещение,1975 Сборник задач по геометрии / Под ред. –М.:Просвещение,1980

Перейти к оглавлению