Элементы векторной алгебры. Метод координат на плоскости. Прямая линия на плоскости (стр. 1 )

ГОУ СПО «Валуйский педагогический колледж»

Элементы векторной алгебры.

Метод координат на плоскости.

Прямая линия на плоскости

Курс лекций по геометрии

Часть I

Автор-составитель:

преподаватель математических

дисциплин

Валуйки, 2007

Печатается по решению

научно-методического совета

Валуйского педагогического

колледжа

Рецензент:

- преподаватель математических дисциплин Валуйского педагогического колледжа

Автор-составитель:

- преподаватель математических дисциплин Валуйского педагогического колледжа

Учебное пособие составлено в соответствии с рабочей программой курса геометрии для специальности Математика среднего профессионального образования (повышенный уровень). Первая часть охватывает материал, изучаемый на 2 курсе –«Элементы векторной алгебры», «Метод координат но плоскости», «Прямая линия на плоскости». Изложение теории сопровождается примерами решения геометрических задач, в том числе задач курса геометрии средней школы. Основой учебного пособия послужил теоретический материал источников, указанных в списке литературы.

Данное учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы студентов при подготовке к семинарским и практическим занятиям, экзаменам.

Содержание

Глава 1.Элементы векторной алгебры в пространстве

1.Цели и задачи курса 5

2.Вектор. Линейные операции над

векторами 5

3.Сложение и вычитание векторов 7

4.Умножение вектора на число 9

5.Линейная зависимость векторов 9

6.Трехмерное векторное пространство. Базис

векторного пространства. Координаты вектора

и их свойства 18

7. Скалярное произведение векторов

и его свойства 23

8.Направляющие косинусы 27

9.Векторные подпространства 28

Глава 2.Метод координат на плоскости

10. Аффинная система координат на плоскости 30

Прямоугольная декартова система координат

11.Простейшие задачи метода координат 32

на плоскости

12.Деление отрезка в данном отношении 33

13.Ориентация плоскости. Угол между векторами

на ориентированной плоскости 36

14. Формулы преобразования координат 39

15. Полярная система координат 43

16.Метод координат на плоскости. Окружность 46

Глава 3.Прямая линия на плоскости

17.Способы задания прямой 49

18.Исследование общего уравнения прямой

19.Взаимное расположение двух прямых на 54

плоскости 56

20.Расстояние от точки до прямой 57

21. Угол между прямыми 59

22. Список литературы 63

Глава 1.

Элементы векторной алгебры в пространстве.

1. Цели и задачи курса

Курс геометрии должен обеспечить развитие у будущих преподавателей достаточно широкого взгляда на геометрию и вооружить знаниями, дающими возможность преподавать геометрию в средней школе. Курс построен так, чтобы при естественных изменениях содержания школьных учебников по геометрии будущие учителя могли ориентироваться в новой ситуации и быстро перестраиваться. Задача изучения геометрии – развивать умственные способности, логическое мышление, пространственное воображение, приобретать графическую культуру, усвоить необходимый объем знаний.

2. Вектор. Линейные операции над векторами

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором изучаются свойства геометрических образов (точка, линия, поверхность и тело) средствами алгебры и анализа на основе метода координат.

Определение. Вектор – направленный прямолинейный отрезок (т. е. для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом).

– вектор с началом в точке А и концом в точке В.

Понятие «вектор» ввел в науку в середине 19 века ученый Уильям Гамильтон, известный своими исследованиями в оптике и механике. «Вектор» (лат.) – несущий ведущий, переносящий.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым:

Определение. Длиной вектора называется длина отрезка АВ. Обозначается . Длина нулевого вектора считается равной нулю.

А

В =

Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (или существует прямая которой они параллельны). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Если два ненулевых вектора и коллинеарны и если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то векторы и сонаправлены, а если лучи не являются сонаправлеными, то векторыи называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Определение. Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Любой вектор равен самому себе.

Пусть – произвольный вектор, О – некоторая точка. Существует одна и только одна точка М такая, что = . Построение точки М называется откладыванием вектора от точки О. От любой точки можно отложить вектор, равный данному и только один.

Лемма. Если =, то = .

Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Для противоположный , для нулевого – нулевой вектор.

3. Сложение и вычитание векторов

Определение. Суммой + векторов = и = называется третий вектор = и обозначается = +.

Из этого определения следует, что для любых трех точек А, В,С пространства имеет место равенство

+ = (правило треугольника)

Сумма векторов не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор а.

Если представители слагаемых векторов приложить к одной точке, т. е.

=, = , то сложение выполняется по правилу параллелограмма:

+ = = .

Очевидно, что + = , + =, + =.

Отсюда следуют свойства: + (-) =

+ =

+ =

Теорема. Для произвольных векторов , , справедливы следующие равенства:

1)  + = + (переместительное свойство)

2)  (+)+=+(+) (сочетательное свойство)

Доказательство (см. Геометрия 7-9 кл., )

На основании теоремы, суммой векторов , и называют вектор ++ (скобки можно опустить). Можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Аналогично, сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило сложения нескольких векторов называется правилом многоугольника. Если А1, А2 , А3 ,… ,Ап – произвольные точки, то . Если начало первого вектора и конец последнего совпадают, то сумма векторов равна нулевому вектору.

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор , что

+ = .

из определения следует, что = + (-).

Разность векторов можно найти по формуле – = + (-).

По правилу треугольника + = ,тогда = –

Замечание. Выражения – + = +(-) + ,

+ + + (-) = + + - равносильны, т. е. вычитание всегда заменимо сложением.

4. Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет условиям:

а) =

в) , если 0 и , если 0,

Векторы и всегда коллинеарны.

= 0 тогда и только тогда, когда =0 или = : =, 0=.

Теорема. Для произвольных чисел и и векторов ,справедливы следующие равенства:

1)  1 = , (-1) = -;

2)  ( )=( )

3)  (+ )= +

4)  (+ ) =+

5. Линейная зависимость векторов

Теорема о коллинеарных векторах.

Если векторы и коллинеарны и вектор ≠, то существует единственное число α , такое, что .

Доказательство.

1. Докажем существование числа α. Так как коллинеарны, то или сонаправлен с или противоположнонаправлен. В первом случае положим:

, =-

По определению произведения вектора на число получаем равенство теоремы.

2.Докажем теперь, что число α определяется однозначно.

Пусть α1 – число, удовлетворяющее условию теоремы, то есть , но . Отсюда следует =

, т. к.

, то , - единственное.

Определение.Вектор параллелен плоскости , если он параллелен некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Очевидно, если вектор , то он параллелен любой плоскости параллельной плоскости .

Определение.Векторыназываются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Если, по крайней мере, один из векторов нулевой, то эти векторы компланарны.

На рисунке изображен параллелепипед.

В1 С1

А1 Д1 - компланарны

- некомпланарны

В С

А Д

Любые два вектора всегда компланарны; три вектора среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Замечание. Пусть - компланарные векторы. Отложим от некоторой точки О вектор , , тогда точкиО, А,В, С – лежат в одной плоскости.

Теорема о компланарных векторах.

Если векторы - компланарны, а векторы - неколлинеарны, то существуют единственные числа α и ß, такие что .

Доказательство.

1.  Докажем существование чисел α и ß. Отложим о некоторой точки О векторы ,.

Пусть , , т. к. - компланарны, то точки О, А,В, С – лежат в одной плоскости, причем т. О, А, В – не лежат на одной прямой ( векторы, = не коллинеарны).

В

О А

Если точка С лежит на прямой ОВ, тогда и коллинеарны.

Тогда существует такое число , что по предыдущей теореме. Или

В

С

О С1 А

Проведем СС1 || , ОВ

Но||; || . Поэтому существуют числа α и β такие, что =+, т. е.имеет место равенство .

2. Единственность чисел α и β.

Пусть α1 и β1 – числа удовлетворяющие условию теоремы

, т. е. , что противоречит условию теоремы.

Справедливо обратное утверждение (признак компланарности трех векторов)

Теорема. Если вектор можно представить в виде , где и неколлинеарны, а α и β – некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Определение.

Рассмотрим систему векторов и зададим n действительных чисел .

Линейной комбинацией векторов с действительными коэффициентами называется вектор равный сумме произведений этих векторов на соответствующие коэффициенты.

Говорят, что вектор линейно выражается через векторы . А числа называют коэффициентами разложения.

Определение.

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от 0, такие что

Если это равенство справедливо только в случае, что , то система называется линейно независимой.

При n=1 имеем систему, состоящую из одного вектора. Такая система будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

При n>1 система векторов линейно зависима тогда, и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора. Если система векторов линейно независима, то ее любая часть также линейно независима.

Теоремы раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов.