Теория машин и механизмов (стр. 3 )

Подставляя величины и в условие (37) и решая относительно z, имеем

. (38)

Если , то из этого выражения получается минимальное число зубьев колеса без смещения, которые не будут подрезаны реечным инструментом,

. (39)

При проектировании колес без смещения число зубьев необходимо брать равным или больше zmin. В случае стандартного инструмента

.

Для косозубых колес уравнение (39) приобретает вид

. (40)

Следовательно, косозубые колеса менее подвержены подрезанию зубьев, поскольку , а .

Для уменьшения габаритов зубчатых передач колеса следует проектировать с малым числом зубьев. Однако при , чтобы не произошло подрезания, колеса должны быть изготовлены со смещением инструмента. Выясним, каково же то минимальное смещение, при котором не получается подрезания зубьев. Оно определяется также из выражения (37), на основании которого, используя (38), можно записать, что

. (41)

Подставляя сюда значение из (39) и решая относительно х, имеем

, (42)

а, переходя к минимальному значению хmin, получаем формулу

. (43)

Из зависимости (43) следует, что зубчатое колесо, имеющее , можно нарезать с положительным, нулевым и даже с отрицательным смещением, поскольку для такого колеса . Для зубчатого колеса, у которого , можно взять положительное или нулевое смещение, а для колеса, у которого , –– только положительное смещение.

Если увеличивать коэффициент смещения, то толщина зуба Sa у вершины будет уменьшаться. При некотором коэффициенте смещения, называемом максимальным (хmax), наступает заострение зуба (). Опасность заострения особенно велика у колес с малым числом зубьев (меньше 15).

Для предотвращения излома вершины заостренного зуба коэффициент смещения назначают так, чтобы толщина Sa была бы не меньше 0,25m (). Толщину зуба Sa при проектировании определяют по уравнению , положив и согласно уравнению .

Качественные показатели зубчатой передачи

Рассмотрим качественные показатели, которые дают возможность оценить передачу в отношении плавности и бесшумности зацепления, возможного износа и прочности зубьев, а также сравнить ряд передач по тем же показателям. Такая оценка важна для рационального назначения расчетных коэффициентов смещения при проектировании зубчатых передач.

Коэффициент перекрытия учитывает непрерывность и плавность зацепления в передаче. Такие качества передачи обеспечиваются перекрытием работы одной пары зубьев работой другой пары. Для этого каждая последующая пара зубьев должна войти в зацепление еще до того, как предшествующая пара выйдет из зацепления. О величине перекрытия судят по коэффициенту перекрытия, который выражают отношением угла торцового перекрытия к угловому шагу. Угол торцового перекрытия ja –– это угол поворота колеса от положения зубьев при входе в зацепление, когда они касаются в точке В', до положения зубьев при выходе из зацепления, когда они касаются в точке В" (рис. 26, а).

Рис. 26. Условие непрерывности зацепления

Следовательно, коэффициент перекрытия прямозубой передачи

. (44)

Здесь –– угловой шаг; , где –– длина активной линии зацепления. Она складывается из длин дополюсной gf и заполюсной ga частей активной линии зацепления (рис. 26, б):

, (45)

. (46)

Подстановка (45) и (46) в (44) с учетом определяет значение коэффициента перекрытия прямозубой передачи

. (47)

Если при расчете по формуле (47) получится , то в этом случае непрерывности процесса зацепления зубьев не будет: одна пара зубьев успеет выйти из зацепления еще до того, как следующая пара зубьев войдет в него. Поэтому минимально допустимым значением ea является 1,05, которое обеспечивает непрерывность процесса зацепления с пятипроцентным запасом.

Важно отметить, что коэффициент перекрытия b уменьшается при увеличении коэффициентов смещения х1 и х2. Поэтому при проектировании передачи коэффициенты смещения надо назначать так, чтобы ea не получился бы меньше 1,05.

Продолжительность зацепления одной пары зубьев в косозубой передаче () больше, чем в прямозубой (). Поэтому и коэффициент перекрытия косозубой передачи eg больше ea и подсчитывается по формуле

. (48)

В этой сумме слагаемое ea определяется по формуле (47). Второе слагаемое . Здесь –– ширина зубчатого колеса, y –– коэффициент ширины зубчатого колеса, назначаемый из условий прочности и износостойкости зуба, –– осевой шаг косого зуба. Подставив b и рх в выражение для eb, получим

. (49)

Как непосредственно следует из уравнений (48) и (49), коэффициент перекрытия eg косозубой передачи () больше коэффициента перекрытия в прямозубой (), что является достоинством косозубой передачи.

Коэффициент скольжения учитывает влияние геометрических и кинематических факторов на величину проскальзывания профилей в процессе зацепления. Наличие скольжения при одновременном нажатии одного профиля на другой приводит к износу профилей. Коэффициенты скольжения выражаются формулами:

; , (50)

где vск –– скорость скольжения; vK1-K, vK2-K –– скорости перемещения точек контакта по профилям зубьев первого и второго колеса.

За время одного оборота колеса с меньшим числом зубьев z1 второе колесо не завершает полный оборот. Следовательно, его зубья в u12 раз реже вступают в контакт, чем зубья первого колеса, и поэтому меньше изнашиваются. Для того, чтобы сравнивать интенсивность износа зубьев по коэффициентам скольжения, разделим l2 на u12 = w1/w2 = z2/z1:

l1 = vск/vK1-K; l2 = vск/vK2-K.

Расчетные формулы для l1 l2 имеют такой вид:

, (51)

где lk –– величина алгебраическая, выражающая расстояние от полюса зацепления Р до текущего положения точки К контакта пары зубьев (рис. 27); lp1 и lp2 –– абсолютные значения длин отрезков РN1 и РN2.

Рис. 27

В процессе зацепления точка контакта К зубьев движется вдоль линии зацепления от положения В' (вход зубьев в зацепление) до положения В" (выход зубьев из зацепления). Отсюда следует, что расстояние lk изменяется от значения (–В'Р) до нуля и затем от нуля до значения (+В"Р). Поэтому, как вытекает из формул (51), коэффициенты скольжения l1 и l2 также изменяются в процессе зацепления. Наибольшее значение l1 приобретает в положении В', а l2 –– в положении В" (рис. 28).

Коэффициенты скольжения l1 и l2 зависят от коэффициентов смещения х1 и х2. Воздействуя на х1 и х2, конструктор получает значения коэффициентов l1 и l2, отвечающие условиям эксплуатации.

Коэффициент удельного давления учитывает влияние геометрии зубьев (радиусов кривизны их профилей) на величину контактных напряжений, возникающих в местах соприкосновения зубьев. При чрезмерном нагружении контактные напряжения могут быть столь значительны, что вызовут выкрашивание материала на рабочей поверхности зубьев.

Рис. 28. Изменение коэффициента удельного

давления в процессе обкатки

Контактные напряжения определяются по формуле Герца:

, (52)

где Q –– сила взаимодействия зубьев; b –– ширина зубчатых колес; –– приведенный модуль упругости их материалов; r –– приведенный радиус кривизны эвольвентных профилей в точке контакта, посредством которого определяется влияние геометрии зуба на контактные напряжения.

Для текущего момента зацепления зубьев (см. рис. 26)

, (53)

или, согласно свойствам эвольвентных профилей

. (54)

Коэффициентом удельного давления называется отношение

. (55)

Коэффициент –– величина безразмерная, не зависящая от модуля m, так как r пропорционален модулю.

Поскольку точка К контакта зубьев движется вдоль линии зацепления, расстояние N1К увеличивается, а расстояние N2К уменьшается (см. рис. 26). Поэтому, как следует из уравнения (55), коэффициент удельного давления изменяется в процессе зацепления. График этого изменения представлен на рис. 29. Подставив коэффициент в формулу Герца (52), получим

. (56)

Рис. 29. Изменение коэффициента скольжения в процессе обкатки

Коэффициент удельного давления уменьшается при увеличении коэффициентов смещения х1 и х2. Поэтому конструктор может снижать контактные напряжения, назначая коэффициенты смещения х1 и х2 так, чтобы коэффициент имел возможно меньшее значение.

Выбор коэффициентов смещения для передач внешнего зацепления

с помощью блокирующего контура

При назначении коэффициентов смещения х1 и х2 для любой передачи должны быть выполнены следующие три условия:

1)  отсутствие подрезания;

2)  отсутствие заострения;

3)  непрерывность зацепления.

Первое условие применительно к шестерне выполняется, если ее коэффициент смещения х1 превосходит свой минимальный уровень хmin. Второе и третье условия ограничивают коэффициент смещения х1 шестерни верхними пределами х'min и х"min. Эти пределы неодинаковы, и для расчета зубчатой передачи важен тот хmax1, который имеет меньшее значение. Таким образом, коэффициент смещения х1 шестерни надо назначать так, чтобы соблюдалось соотношение хmin1 £ х1 £ хmax1. То же самое следует сказать и о коэффициенте смещения x2 колеса, хmin2 £ х2 £ ≤ хmax2.

Внутри указанных пределов коэффициенты смещения х1 и х2 надо назначать так, чтобы зависящие от них качественные показатели передачи, характеризующие ее свойства (плавность хода, износостойкость, прочность), имели бы оптимальные значения. При этом надо учитывать конкретные условия работы передачи: быстроходность, характер нагрузки, наличие или отсутствие закрытой масляной ванны, материалы шестерни и колеса и вид их термообработки и др.

Для передачи с числом зубьев z1 и z2 можно построить в координатах х1 и х2 область допустимых значений коэффициентов смещения (рис. 30). Эта область ограничена линиями хmin1, хmin2, ea = 1,0, Sa1 = 0, Sa2 = 0, составляющими так называемый блокирующий контур. Допустимые значения коэффициентов х1 и х2 содержатся внутри блокирующего контура.

Рис. 30. Блокирующий контур

Для каждой зубчатой передачи можно построить свой блокирующий контур. Пример такого контура для прямозубой передачи z1 = 12, z2 = 15 представлен линией на рис. 30. Как видно, линии Sa1 = 0, Sa2 = 0 вышли за пределы допустимой области. Это указывает на то, что для передачи 12/15 ограничение по ea = 1,0 наступает раньше, чем ограничение по заострению. Помимо блокирующего контура в координатах х1 и х2 указывают также изолинию ea = 1,2, а иногда и некоторые другие, характеризующие геометрию и свойства зубчатой передачи. На рис. 30 линиями указано также возможное расширение допустимой области, которое, однако, не рекомендовано стандартом.

6. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КОСОЗУБЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Изготовление косозубых колес

Косозубые колеса, как и прямозубые, изготовляются способом обкатки, в основу которого положен процесс станочного зацепления. Нарезание косого зуба можно выполнить стандартным режущим инструментом: установить рейку так, чтобы линия ее зуба составляла с осью колеса угол β, равный углу наклона делительной линии.

Такой же наклон получат зубья изготовляемого колеса на его стандартно-начальном цилиндре. А так как в реечном станочном зацеплении делительный цилиндр совпадает со станочно-начальным, то именно на делительном цилиндре зубья получатся расположенными под углом β, на который наклонен инструмент на станке.

Связь с прямозубыми колесами

Движения обката при изготовлении как прямозубых, так и косозубых колес одинаковы. Отсюда следует весьма важный вывод: все принципиальные положения, касающиеся станочного зацепления прямозубого колеса с прямозубой производящей рейкой, справедливы также для станочного зацепления косозубого колеса с косозубой производящей рейкой.

Вместе с тем процесс изготовления косозубых колес имеет и свои особенности, вытекающие из того, что инструмент установлен на станке наклонно. Параметры полученного исходного производящего контура (ИПК) будут отличаться от параметров стандартного ИПК.

Например,

, (57)

где p –– шаг стандартного ИПК.

Поэтому

, (58)

где m –– стандартный модуль инструмента.

Расчетный реечный ИПК, как и стандартный, имеет эвольвентные кромки. Зубья при изготовлении получают эвольвентный профиль. Значит, косозубая цилиндрическая передача является эвольвентной передачей. Отсюда следует еще один важный вывод: все теоретические положения и зависимости, полученные для прямозубой эвольвентной передачи, полностью справедливы и для косозубой, но сформированной не на базе стандартного, а на базе расчетного ИПК.

Радиус основного цилиндра

. (59)

Высота зуба

. (60)

Коэффициент высоты ножки зуба

. (61)

Коэффициент радиального зазора:

, (62)

. (63)

Свойства косозубой передачи

Благодаря косине зуба, он выходит из зацепления не сразу весь, а постепенно. После того, как профиль ЭА выйдет из зацепления, шестерня повернется еще на угол до момента выхода из зацепления профиля ЭС.

Продолжительность зацепления одной пары зубьев в косозубой передаче большая, чем в прямозубой, в которой зуб выходит из зацепления одновременно весь по всей своей длине. Поэтому

, (64)

где –– угол поворота шестерни за время полного зацепления одной пары косых зубьев; –– угол поворота шестерни в зацеплении прямых зубьев.

Коэффициентом перекрытия косозубой передачи называют отношение:

, (65)

, (66)

где –– коэффициент торцевого перекрытия,

, (67)

–– коэффициент осевого перекрытия,

, (68)

. (69)

Коэффициент перекрытия косозубой передачи больше коэффициента перекрытия прямозубой, что является достоинством косозубой передачи.

Для косозубых колес

. (70)

Так как , то , то есть косозубые колеса менее подвержены подрезанию, чем прямозубые.

7. КОНИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Во многих машинах осуществление требуемых движений механизмов связано с необходимостью передать вращение с одного вала на другой при условии, что оси этих валов либо пересекаются, либо скрещиваются. В таких случаях применяют соответственно или коническую, или гиперболоидную зубчатую передачу. Аксоидами колес первой являются конусы, аксоидами колес второй –– однополостные гиперболоиды. Обе передачи относятся к категории пространственных механизмов. Изложению основ их синтеза (геометрического расчета) по заданному передаточному отношению посвящена данная глава.

Если угол между осями равен 90°, то коническую зубчатую передачу называют ортогональной. В общем случае в неортогональной передаче угол, дополненный до 180° к углу между векторами угловых скоростей и звеньев 1 и 2, называют межосевым углом (рис. 31, а).

Связь между векторами и угловых скоростей 1 и 2 определяется соотношением

. (71)

Положение вектора относительно векторов и определяют углами и , сумма которых равна межосевому углу :

. (72)

Если через точку О пересечения осей О1О и О2О провести вектор , то он совпадет с мгновенной осью ОР относительного движения ведущего и ведомого звеньев и определит конические поверхности аксоидов, называемых начальными конусами. При обозначении параметров, относящихся к начальному конусу, используют индекс «».

а) б)

Рис. 31. Коническая передача

Углы и начальных конусов определяют при решении векторного соотношения (71) с использованием теоремы синусов (см. рис. 31, а):

.

Отношение модулей угловых скоростей || и || является передаточным отношением

. (73)

При заданном межосевом угле и передаточном отношении u12 углы начальных конусов определяют при совместном решении соотношений (72) и (73):

.

Искомые углы и начальных конусов находят по формулам

; (74)

. (75)

Для ортогональной передачи при = 90° соотношения (74) и (75) имеют частный вид:

(76)

Частным случаем неортогональной передачи является плоская коническая передача, в которой поверхность одного из начальных колес является плоскостью и угол при вершине 90° (рис. 31, б).

Образование боковой поверхности зубьев можно проследить по рис. 32. Плоскость П касается основного конуса и перекатывается по нему без скольжения. Любая прямая KL на обкатывающейся плоскости П в пространстве опишет коническую эвольвентную поверхность, а любая точка (К, L или другая) описывает траекторию, расположенную на сфере определенного радиуса, называемую сферической эвольвентой. В каждом сферическом сечении на боковой поверхности зуба можно выделить линию пересечения, называемую профилем зуба. Профили зубьев в сечениях конического колеса отличаются друг от друга. Различают торцовые сечения: внешнее, среднее, внутреннее и текущее. При обозначении параметров в том или ином сечении добавляют соответствующий индекс (рис. 33), например, для внешнего сечения –– «е», для среднего –– «m», для внутреннего –– «i», для текущего –– «х».

Рис. 32. Образование боковой поверхности зубьев

Рис. 33. Геометрия конического колеса

Радиус Re внешнего торцового сечения называют внешним конусным расстоянием. Расстояние между внешним и внутренним торцовыми сечениями конического колеса называют шириной зубчатого венца и обозначают «b».

Взаимодействие сопряженных эвольвентных конических поверхностей при заданных начальных конусах представляет коническое эвольвентное зацепление (рис. 34).

Рис. 34. Коническое эвольвентное зацепление

Полюсная прямая РО, лежащая в плоскости N1ON2, касательной к основным конусам, может рассматриваться как образующая боковых поверхностей зубьев. Любые сопряженные сферические эвольвенты Э1 и Э2 имеют линию зацепления, расположенную на сфере (например, N1PN2) и являющуюся дугой большого круга сферы.

Взаимодействие сферических эвольвент описать в аналитической форме довольно сложно. Учитывая, что высотные размеры зубьев невелики по сравнению с радиусом сферы и профили зубьев расположены на узком сферическом поясе, используют инженерную методику расчета, которая заключается в использовании дополнительных конусов (рис. 35).

Дополнительным делительным конусом называют соосную коническую поверхность, образующая которого (например, или на рис. 34) перпендикулярна образующей делительного конуса конического зубчатого колеса. Введение дополнительных конусов позволяет рассматривать взаимодействие профилей зубьев не на сфере, а на поверхности соприкасающихся со сферой дополнительных конусов. Если дополнительные конусы развернуть на плоскость, то профили зубьев становятся плоскими кривыми, достаточно близкими к обычным эвольвентам, соответствующим определенным размерам основных окружностей, радиусы и которых находят для эквивалентной цилиндрической передачи. Параметры эквивалентной цилиндрической передачи имеют дополнительный индекс «». Каждое из зубчатых колес такой передачи называют эквивалентным цилиндрическим зубчатым колесом с числами зубьев и в отличие от чисел зубьев z1 и z2 на конических колесах.

Рис. 35. Введение дополнительных конусов

Связь между числами зубьев z1 и или z2 и легко установить при рассмотрении размеров концентрических окружностей конического и эквивалентного цилиндрического колес:

Внешний окружной модуль me, соответствующий расстоянию между одноименными профилями соседних зубьев по дуге концентрической окружности конического колеса на внешнем торце, равен модулю эквивалентной цилиндрической передачи. Поэтому числа зубьев и можно выразить соотношениями:

. (77)

В общем случае числа и являются дробными и в процессе расчета не округляются, а вычисляются с точностью до 0,01.