а) интегралы вида 
, 
.
.
В общем случае
;
б) интегралы вида 
, 
.
.
В общем случае
;
в) интегралы вида 
.
Выделяя в знаменателе полный квадрат относительно 
, исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов 
.
Пример 16.
г) интегралы вида 
, 
.
Выделим в числителе производную знаменателя 
:
.
Замечание. Если в результатет выделения полного квадрата в знаменателе мы получили не сумму, а разность квадратов, то интеграл с помощью аналогичных преобразований сведется к сумме табличных интегралов вида 
и 
.
Пример 17.
Пример 18.
д) интеграл вида 
где 
.
Палагая в последнем интеграле 
, 
, получим
.
Этот интеграл можно вычислить, используя рекуррентную формулу
Пример 19.
Последний интеграл вычислим отдельно:
.
Для вычисления этого интеграла применим рекуррентную формулу при 
, 
:
Окончательно имеем
Общее правило интегрирования рациональных выражений:
Если рациональная дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы целой части и правильной дроби.
1. Оставшуюся правильную дробь разложить на сумму простейших дробей.
2. Вычислить интегралы от целой части и всекх простейших дробей.
3. Записать ответ в виде суммы полученных интегралов.
1.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1 случай. Интегралы вида 
.
.
Подстановка 
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример 20.
2 случай. Интегралы вида 
.
а) 
- целые, положительные, хотя бы одно из них нечетное, (
).
Используется подстановка 
.
Пример 21.
б) - целые, положительные, 
- нечетное (
).
Подстановка 
.
Пример 22.
в) - целые, положительные, четные. В этом случае целесообразно применять формулы понижения степени:
, 
, 
,
котрые приводят рассматриваемый интеграл к интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными, степенями.
Пример 23.
г) - целые отрицательные, четные. В этом случае удобно применять подстановку 
и использовать формулы:
, 
, 
.
Пример 24.
д) - целые, отрицательные. В этом случае целесообразно применять подстановку или .
Пример 25.
.
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
.
.
Отсюда 
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
в левой и правой частях полученного равенства:
Решая полученную систему, находим:
;
;
; 
.
Окончательно получили
.
Тогда
3 случай. Интегралы вида
, 
, 
.
Указанные интегралы непосредствен6но высиляются, если их подынтегральные функции преобразовать согласно формулам:
,
,
.
Пример 26.
4 случай. Интегралы вида
,
, 
, 
.
Интегралы , с помощью подстановки сводятся к интегралам от рациональной функции. Аналогично, для интегралов , используется подстановка 
.
Пример 27.
.
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
.
Отсюда
.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства:
Решая полученную систему, находим: 
; 
; .
Следовательно,
.
Тогда
Пример 28.
1.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
1 случай. Интегралы вида 
.
Пусть 
(НОК – наименьшее общее кратное).
Сделаем подстановку: 
, 
.
Пример 29. 
.
Выпишем показатели степени : 
. 
. Тогда 
,
.
2 случай. Интегралы вида 
.
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки: 
, где .
Пример 30.
3 случай. Интегралы вида 
.
Эторт интеграл всодится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки: 
, где .
4 случай. Интеграл вида 
.
В результате выделения под знаком радикала полного квадрата, интегралы этого вида сводятся к табличным интегралам 
или 
.
Пример 31.
5 случай. Интеграл вида 
.
Вычисление этого интеграла можно разбить на этапы:
1. в числителе поынтегральной дроби выделим производную подкоренного выражения, стоящего в знаменателе, и сделаем компенсирующие преобразования с числителем.
2. интеграл разобьем на два интеграла так, чтобы числитель подынтегральной дроби первого интеграла содержал производную подкоренного выражения.
3. первый полученный интеграл будет табличным, вычисление второго интеграла приведено выше.
Пример 32.
Замечание. Если в подкоренном выражении коэффициент при 
, то в результате выделения полного квадрата исходный интеграл сведется к сумме интегралов вида 
и 
.
6 случай. Интегралы вида
, 
, 
.
а) интегралы вида с помощью тригонометрической подстановки 
или 
сводятся к интегралам от тригонометрической функции.
Пример 33.
б) интегралы вида с помощью тригонометрической подстановки 
или 
сводятся к интегралам от тригонометрической функции.
Пример 34.
Выразим 
через , используя тригонометрическую формулу 
и саму подстановку 
, т. е. 
:
.
Окончательно
;
в) интегралы вида с помощью тригонометрической подстановки 
или 
сводятся к интегралам от тригонометрического выражения.
Пример 35.
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИННТЕГРАЛА
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартовая система координат 
и на отрезке 
, где 
, определена непрерывная неотрицательная функция 
, т. е. 
.
Определение. Фигура 
, ограниченная снизу отрезком оси 
, сверху – графиком функции , а слева и справа – отрезками прямых 
и 
, называется криволинейной трапецией (рис. 2).
 |
Необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком кривой , прямыми и и осью .
1. разобьем отрезок на частей точками:
.
Обозначим 
-ый отрезок 
и длину его 
, 
.
2. на каждом из полуенных частичных отрезков выберем произвольную точку 
и найдем значение функции в этой точке 
.
3. произведение 
определяет площадь прямоугольника, основанием которого служит отрезок , а высотой .
4. составим сумму
.
5. пусть 
, т. е. число частичных отрезков стремится к 
. Если при этом величина 
стремится к определенному пределу 
, независящему от способа разбиения отрезка на частей и выбора точек 
внутри каждого полученного отрезка, то величину будем называть площадью криволинейной трапеции.
Таким образом,
.
2.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Число 
называется определенным интегралом от функции на отрезке , если при любых разбиениях отрезка таких, что , и при любом выборе точек интегральная сумма 
стремится к одному и томе же пределу .
Этот факт записывают следующим образом:
.
Функция называется подынтегральной функцией, отрезком интегрирования, 
и 
- нижним и верхним пределами интегрированя соответственно.
Свойства определенного интеграла
1. если 
, то
.
2. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
..
Действительно,
.
3. определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
.
Действительно,
4. 
.
5. 
6. пусть интегрируема на отрезке . Если точка 
, то
.
Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку 
в число точек деления. Если 
, то
.
Каждая из написанных сумм является интегральной суммоу функции для отрезков 
и 
.
Следовательно,
.
Замечание. Точка модет быть внешней по отношению к отрезку .
7. если 
для любого 
, то
.
8. если на отрезке , где , функции и 
удовлетворяют условию 
, то
.
Доказательство. Рассмотрим разность
.
Здесь 
по условию теоремы, следовательно, каждое слагаемое интегральной суммы неотрицательно, неотрицательна вся интегральная сумма и неотрицателен ее предел, т. е.
или
.
Таким образом,
9. (оценка определенного интеграла).
Если 
и 
- наименьшее и наибольшее значениея функции на отрезке и , то
.
Доказательство. По условию 
.
На основании свойства 8 имеем
.
Учитывая, что
, 
.
получаем
.
10. (теорема о мреднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка 
, что справедливо следующиее равенство:
.
Доказательство. Пусть для определенности . Если и наименьшее и наибольшее значениея функции на , то
Отсюда
.
Обозначив 
, имеем 
Так как непрерывна на отрезке , то она принимает все промежуточные значения, заключенные между и .
Следовательно, существует значение 
, для которого 
, т. е.
,
отсюда
.
Замечание. Значение функции называется средним интегральным значением на интервале 
.
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от функии на отрезке равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
, 
, , , т. е.
.
Механический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от скорости 
по отрезку равен путиЮ пройденному точкой от момента 
до момента 
:
.
2.3. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости). Если функци непрерывна на некотором отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
