Тема: интегральное исчисление функции одной переменной (стр. 3 )

2.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Теорема 1. Если непрерывная функция и , то имеет место равенство .

Доказательство. Найдем .

Составим

,

где (см. св-ва 3.10), тогда

и ,

и так как при , то и , следовательно,

.

Иными словами, производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции, подсчитанной при верхнем пределе.

Замечание. Из сформулированной выше теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция непрерывна на отрезке , то в этом случае определенный интеграл существует, т. е. существет функция

.

Так как , то функция является первообразной от функции .

Теорема 2. (формула Ньютона-Лейбница). Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Доказательство. Пусть - некоторая первообразная от функции . По теореме 1 функция есть также первообразная от . Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое . Следовательно, можно записать

.

Для определения постоянного положим в этом равенстве , тогда

или ,

откуда .

Следовательно,

.

Полагая, , получим формулу Ньютона-Лейбница

или, заменив переменную интегрирования на :

.

Выражение называется двойной подстановкой.

С учетом последнего, формула Ньютона-Лейбница можно записать

.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

2.5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.5.1. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Пусть , где - монотонная в неготорой области . Если:

1.  ;

2.  непрерывны на отрезке ;

3.  определена и непрерывна на отрезке ,

то .

Замечание 1. отметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной, мы не возвращаемся к старой переменной.

Замечание 2. чаще новую переменную вводят по формуле , тогда , находят и пересчитывают пределы интегрирования

Пример 4.

Пример 5.

2.5.2. Интегрирование по частям

Теорема. Если цункции и непрерывные вместе мо своими производными на , то

.

Доказательство. .

Интегрируя обе части тождества в пределах от до , получим:

.

Так как , то , поэтому последнее равенство может быть записано в виде

или окночательно

.

Пример 6.

.

2.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении предполагалось, что:

1.  отрезок интегрирования конечен.

2.  функция определена и ограничена на этом отрезке.

Если нарушается хотя бы одно из условий 1 – 2, то интеграл называется несобственным интегралом.

Несобственные интегралы разделяются на несобственные интегралы 1 рода и несобственные интегралы 2 рода.

2.6.1. Несобственные интегралы 1 рода

К несобственным интегралам 1 рода относятся интегралы, у которых нарушено первое условие, т. е. отрезок интегрирования не конечен

, , .

Определение. Если существует конечный предел , то говорят, что несобственный интеграл сходится и за его значение принимается найденный предел.

Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся (не существует).

Аналогично определяется сходимость или расходимость несобственных интегралов и для других бесконечных интегралов:

,

.

Последнее равенство следует понимать так: если оба несобственные интегралы, стоящие справа, сходятся, то сходится интеграл, стоящий слева. Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится интеграл стоящий слева.

Пример 7.

.

Предел существует (равен конечному числу), следовательно, несобственный интеграл первого рода сходится.

Пример 8.

.

Предел не существует, следовательно, несобтсвенный интеграл 1 рода расходится.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезны следующие две теоремы.

Теорема 1. Если для всех () выполняется неравенство и если сходится, то также сходится, при этом .

Теорема 2. Если для всех () выполняется неравенство , причем расходится, то расходится и интеграл .

В теоремах 1-2 рассматривались несобтсвенные интегралы от ннеотрицательных функций. Для случая функции , меняющей знак в бесконечном интеграле, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Если интеграл сходится, то интеграл сходится абсолютно.

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

2.6.2. Несобственные интегралы 2 рода

К несобтсвенным интегралам 2 рода относятся интегралы от неограниченных на функций, т. е. нарушено 2-ое условие (ограниченности на ).

Пусть определена и непрерывна на интегравале и

.

Интеграл от функции определяется следующим образом:

.

Если предел, стоящий справа, существует, то говорят, что несобтсвенный интеграл 2 рода сходится или существует. Если же предел, стоящий справа, не существует, то несобственный интеграл расходится или не существует.

Если функция имеет точку разрыва на леврм конце отрезка , то

.

Если функция имеет разрыв в точке , и хотя бы с одной стороны, то .

Если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, сходится, то сходится и интеграл, стоящий слева.

Пример 9. .

Подынтегральная функция не определена при , следовательно, мы имеем несобственный интеграл 2 рода (при верхнем пределе).

.

Несобственный интеграл сходится и равен .

Пример 10. .

На отрезке интегрирования подынтегральная функция имеет точку разрыва .

.

Рассмотрим первое слагаемое.

.

Предел не существует, следовательно, несобственный интеграл 2 рода по определению расходится.

Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечныи пределами.

2.7. ОБЩИЙ ПРИНЦИП ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Общий принцип приложений определенного интеграла к вычислению геометрических, физических и других величин.

1.  вычисляемая величина произвольным образом разбивается на малых величин: .

2.  каждая величина заменяется величиной (близкой к ), вычисление которой ведется по известной формуле; ошибка должна бять бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е. и - бесконечно малые одного порядка.

3.  величину выражают через некоторую переменную , выбранную так, чтобы приняло вид .

4.  искомая величина вычисляется как предел суммы

.

2.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

1 случай.

а) площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой и прямыми , , (рис. 3), вычисляется по формуле ;

б) площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми и , а справа и слева отрезками прямых , (возможно точками) (рис. 4), вычисляется по формуле .

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Построим фигуру, ограниченную заданными линиями.

Данная фигура ограничена сверху кривой и снизу прямой , то для вычисления площади применим формулу:

.

Для того чтобы найти пределы изменения , найдем абсциссы точек пересечения линий:

.

Следовательно, для данной области , т. е. , .

.

Ответ: (кв. ед.);

в) площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми и , а снизу и сверху отрезками прямых и (возможно точками) (рис. 6), вычисляем по формуле .

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Построим фигуру, ограниченную линиями , (рис. 7).

Фигуру можно рассматривать относительно оси : слева ограничена кривой , справа .

Найдем ординаты точек пересечения:

, т. е. .

Тогда

.

Ответ: (кв. ед).

2 случай. Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрической форме (рис. 8):

и , .

Так как , сделаем замену переменной в этом интеграле:

.

Следовательно,

.

Эта формула справедлива как для криволинейной трапеции, так и для замкнутой кривой или петли.

Пример 14. Вычислить площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды и осью :

Решение. Построим одну арку циклоиды, для этого составим таблицу значений.

Таблица 1

	0
	0	0,16	1,14	3,28	6,28	9,27	11,42	12,41	12,56
	0	0,58	2	3,14	4	3,41	2	0,58	0

По формуле имеем

Ответ: (кв. ед).

3 случай. Площадь криволинейного сектора.

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением , где - непрерывная функция при . Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и радиус – векторами и (рис. 10) вычисляем по формуле

.

Пример 15. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой .

Решение. Построим кривую , для этого составим таюлицу значений.

Таблица 2

	0
	2	1,7		0,3	0	0,3		1,7	2