Тема: интегральное исчисление функции одной переменной (стр. 4 )

Кривая симметрична относительно полярной лси. Полярный угол для всей кардиоиды изменяется от 0 до , для половины кардиоиды угол изменяется от 0 до .

Тогда

Ответ: (кв. ед).

2.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками и (рис. 12).

Возьмем на дуге точки с абсциссами и проведем хорды , длины которых обозначим соответственно . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Длина ломанной равна

.

Определение. Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

Длина всей дуги , заключенной между точками и , вычисляется по формуле

.

Пример 16. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четверти окружности, расположенной в 1 четверти.

Из уравнения окрежности , .

Тогда .

Длина всей окрежности

Ответ: (лин. ед).

2 случай. Длина дуги кривой, заданной параметорически:

и , ,

Вычисляется по формуле

.

Пример 17. Вычислить длину окружности, заданной параметрически:

Решение. Для всей окружности изменяется от 0 до , тогда для четверти окружности изменяется от 0 до .

.

Ответ: .

3 случай. Если кривая задана в полярных координатах , то длина дуги кривой, заключенной между лучами и (рис. 10), можно вычислить по формуле

.

Пример 18. вычислить длину кардиоиды .

Решение. Для всей кардиоиды полярный угол изменяется от 0 до , для половины – от 0 до .

Тогда

Ответ: (ед.).

2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

1 случай. Метод параллельных сечений.

Пусть для некоторого тела известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перепендикулярной к оси (рис. 13).

Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. будет функцией от : . Пусть непрерывная функция. Проведем плоскость, перепендикулярную оси через тточку деления отрезка .

Эти плоскости разобьют тело на слои. На каждом частичном промежутке возьмем произвольную точку и заменим каждый слой цилиндром с высотой и основанием . Объем каждого такого цилиндра равен . Тогда объем всего ступенчатого тела будет равен сумме объемов . Так как есть непрерывная функция, то существует конечный предел

,

Который называется объемом тела , т. е.

.

Пример 19. Найти объем теола, образованного поверхностью , .

Решение. Построим это тело (параболоид, отсеченный плоскостью ) (рис. 14).

Проведем сечение через произвольную точку . Сечением будет круг радиуса , уравнение сечения .

Известно, что площадь круга равна , следовательно, площадь сечения, проведенного через произвольную точку , равна

.

Тогда

.

Ответ: (куб. ед).

2 случай. Вычисление объема тела вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми , , вращается вокруг оси (рис. 15).

В этом случае произвольное сечеине тела плоскостью, перпендикулярной к оси , есть круг радиуса , площадь которого

.

Тогда

.

Если кривалинейная трапеция, ограниченная непрерывной функцией , осью и прямыми и , вращается вокруг оси , то объем полученногго тела вращения можно вычислить

.

Пример 20. найти объем тела, образованного вращением вокруг оси параболы , ограниченной прямой (рис. 16).

Решение. Объем тела вращения вокруг оси вычислим по формуле

.

В нашем примере , .

Следовательно,

.

Ответ: (куб. ед).

2.11. ПРИБЛИЖЕНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Не для всякой непрерыной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интеггралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы вычисления определенных интегралов.

Разделим отрезок интегрирования на четное число частей сущность метода парабол состоит в том, что площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам и и ограниченной заданной кривой , заменяется площадью такой криволинейной трапецией, которая сверху ограничена параболой, проходящей через 3 точки (рис. 17): , , .

Площадь параболической трапеции на отрезке будет равна

,

т. е. мы имеем приближенное равенство

и на каждом отрезке

Просуммировав площади параболических трапеций, будем иметь

.

Это и есть формула Симпсона.

Пример. Вычислить интеграл .

Данный интеграл от дифференциального бинома в дифференциальных функциях не вычисляется.

Разделим отрезок интегрирования на 10 равных частей, длина частичного отрезка

Составим таблицу.

			3	0,3	1,00404	7	0,7	1,11360
0	0	1	4	0,4	1,01272	8	0,8	1,18727
1	0,1	1,00005	5	0,5	1,03078	9	0,9	1,28690
2	0,2	1,00080	6	0,6	1,063283	10	1,0	1,41421

По формуле Сипсона