ТЕМА: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Во многих задачах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот – восстанавливать функцию по ее производной. Например, по известному закону изменения пути с течением времени 
методом дифференцирования находим скорость 
, а затем и ускорение 
. Часто приходится решать обратную задачу: ускорение 
задано функцией от времени 
: 
, требуется определить скорость 
и пройденный путь 
в зависимости от . Таким образом, здесь оказывается нужным по функции восстановить ту функцию 
, для которой является производной, и замет, зная функцию 
, найти ту функцию , для которой производная будет .
1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Функция 
называется первообразной для функции 
на интервале 
, если дифференцируема на и 
.
Пример 1. 
есть первообразная для функции 
на интервале 
, так как 
.
Пример 2. 
есть первообразная для функции 
на интервале 
, так как 
.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если первообразная для функции на , то 
также первообразная, где 
- произвольное постоянное число.
Доказательство. Так как первообразная для функции , то справедливо .
Вычислим производную от функции :
.
Следовательно, также первообразная для функции .
Лемма. Функция, производная которой на некотором интервале равна нулю, постоянна на этом интервале.
Теорема 2. Если 
и 
две первообразные для на , то 
на , где - некоторая постоянная.
Доказательство. По условия 
. Составим функцию 
. Очевидно, что
, 
.
Используя лемму, заключаем, что 
, т. е. 
. Отсюда .
Определение. Семейство всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом этой функции на интервале и записывается
.
Знак 
называется интегралом, 
- подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией.
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции . Сформулируем ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции 
.
Действительно, пусть , где 
.
Тогда
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
Действительно,
,
отсюда
.
3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной
.
Действительно,
.
4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:
.
Действительно, возьмем производные от левой и правой частей:
.
.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, т. е.
.
Геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть - неопределенный интеграл функции на некотором интервале . При фиксированном значении 
получим конкретную функция 
, для которой можно построить график, его называют интегральной кривой. Положив 
, получим другую функцию 
с соответствующей кривой. Следовательно, неопределенный интеграл можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых. Величина является параметром этого семейства: каждому конкретному значению соответствует единственная интегральная кривая в семействе.
 |
Пример 3.
является неопределенным интегралом функции 
.
1.2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
, 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
10. 
.
11. 
12. 
.
Вывод эьтих формул основан на прямом использовании определения неопределенного интеграла.
1.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.3.1. Непосредственное интегрирование
При непосредственном интегрировании используем следующие преобразования дифференциала:
1. 
, то есть, всегда можно добавить под знак дифференциала «нужное слагаемое 
» или «нужный множитель », при этом вводим компенсирующий множитель «
», например, 
.
2. 
Эта операция называется подведение функции под знак дифференциала, нпример,
или 
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
1.3.2. Интегрирование подстановкой (замена переменной)
Теорема. Если - непрерывная функция на интервале , и функция 
есть непрерывно – дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения , то справедлива формула
.
Пример 6.
Пример 7.
1.3.3. Интегрирование по частям
Теорема. Пусть 
, 
- две непрерывные функции, имеющие непрерывные производные. Справедлива формула интегрирования по частям
.
Дествительно,
.
отсюда
.
Тогда
.
Учитывая, что 
, 
,
получим
Интегрирование по частям применяют в том случае, когда под знаком интеграла стоит произведение двух функций различной структуры и ни одна из них не является производной другой или части другой функции, причем за принимают ту функцию, которая после дифференцирования наиболее упрощается, за 
все, что «осталось» под знаком интеграла, при условии, что может быть найден.
Интегралы, которые вычисляются с помощью интегрирования по частям, можно разбить на три группы.
I. Интегралы вида 
, 
, 
.
Для этой группы интегралов за функцию следует взять многочлен 
, т. е. 
, за - все что «осталось» под знаком интеграла.
Пример 8.
.
Пример 9.
В результате применения формулы интегрирования по частям получили интеграл 
, котрый также берется по формуле интегрирования по частям
.
Таким образом,
.
II. Интегралы вида 
, 
, 
, 
.
Для этой группы интегралов за рекомендуется взять 
, т. е. 
.
Пример 10.
Пример 11.
III. Интегралы вида 
, 
.
Для нахождения интегралов этого вида формула интегрирования по частям применяется дважды, причем за функцию рекомендуется оба раза обозначать либо 
, либо тригонометрическую функцию.
Пример 12.
Обозначив 
, получим
Из последнего уравнения находим
Таким образом,
1.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
1.4.1. Разложение рациональной дроби на простейшие
Определение. Отношение двух алгебраических многочленов 
, где
, 
, 
,
, 
, 
,
называется рациональной дробью.
Если 
, то рациональная дробь 
называется правильной например, 
, если 
, то рациональная дробь называется неправильной, например, 
, 
.
Простейшими рациональными выражениями являются выражения вида:
; 
; 
; 
.
Если рациональная дродь неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы целой рациональной функции 
и правильной дроби 
: 
.
Например, 
неправильная дробь.
Целую часть выделяем делением многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе:
|
|
|
|
| |
| |
| |
| |
| |
Данная дробь представляется в виде
.
Это действие называется выделением «целой части» уголком: первый член частного получим делением первого члена делимого на первый член делителя. Записываем в частное. Умножаем делитель на полученный результат и подписываем под делимым, вычитаем это произведение из делимого. Получаем разность, которая является многочленом степени ниже исходной. Продолжаем деление до тех пор, пока степень остатка будет меньше степени делителя:
.
Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
На практике представление правильной дроби в виде линейной комбинации простейших дробей проводят по следующей схеме:
а) Знаменатель 
данной дроби раскладывают на мнодители;
б) Записывают дробь в виде линейной комбинации простейших дробей:
,
где 
- кратность корня ; 
ть корня 
;
в) Проводят эту линейную комбинацию простейших дробей к общему знаменателю . В результате получают тождественные дроби, у которых знаменатели одинаковы, следовательно, равны и многочлены, стоящие в читслителе;
г) Приравнивая коэффициенты при рдинаковых степенят 
в левой и правой частях полученного равенства многочленов, получают систму для определения неопределенных коэффициентов;
д) Записывают в виде линейной комбинации простейших дробей.
Разложить следующие дроби на сумму простейших дробей.
Пример 13. 
.
а) Найдем корни многочлена, стоящего в знаменателе дроби:
, 
, 
.
Корнями являются действительные числа, следовательно, квадратный многочлен может быть представлен в виде произведения линейных множителей:
;
б) Дробь представим в виде суммы простейших дробей:
;
в) 
, т. е.
г) Приравниваем числители: 
.
Сравниваем коэффициенты при степенях :
Из полученной системы находит 
и 
:
, 
.
д) Разложение имеет вид
.
2. 
.
а) 
.
Корнями многочлена, стоящего в знаменателе рациональной дроби, являются действительные корни 
, 
, причем последний корень кратности 2 (т. е. повторяется 2 раза).
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов иногда удобно не сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частых равенства, а использовать метод частных значений, т. е. вместо подставить конкретные значения:
д) 
.
Пример 14. 
а) 
, действительеных корней нет. Следовательно, квадратный чтехчлен 
разложить на линейные множители нельзя;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Для определения , , сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства многочленов:
Решая полученную систему, находим
, 
, 
.
д) 
.
Пример 15. 
.
а) 
. Сумма 
не раскладывается на линейные множители, причем эта скобка во второй степени;
б) Дробь представим в виде суммы простейших дробей:
;
в) 
;
;
;
г) 
.
Решая полученную систему, находим
, 
, 
, 
.
д) Следовательно, 
.
1.4.2. Интегрирование простейших рациональных выражений
Провстейшими рациональными выражениями являются выражения вида:
; ; ; .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
