При изучении дисциплин «Математика» и "Избранные главы математики" предполагаются
следующие виды самостоятельной работы студентов с учебным материалом:
- работа с литературой обязательного и дополнительного перечня;
- выполнение расчётно−графических работ:
I семестр
РГР №1 «Предел и непрерывность»,
РГР №2 «Дифференциальное исчисление функции одной
действительной переменной»,
РГР №3 «Интегральное исчисление функции одной
действительной переменной»;
II семестр
РГР №4 «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,
РГР №5«Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы»,
РГР №6 «Числовые и функциональные ряды»;
III семестр
РГР №7 «Теория функции комплексного переменного»,
РГР №8 «Ряды, интегралы и преобразования Фурье»;
РГР №9 «Теория вероятностей»;
IV семестр
РГР №10 «Марковские цепи».
- еженедельные домашние задания.
Формы текущего контроля знаний
При изучении дисциплин «Математика» и "Избранные главы математики" предполагаются следующие формы текущего контроля знаний
I семестр
Контрольная работа №1 " Предел функции".
Контрольная работа №2 " Производная функции"
- Контрольная работа №3 "Интегрирование"
- АСТ−тест по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной действительной переменной»
- II семестр
- Контрольная работа №4 "Дифференциальные уравнения".
- Контрольная работа №5 "Кратные и криволинейные интегралы".
- Контрольная работа №6 "Числовые и степенные ряды".
- III семестр
- Контрольная работа №7 "Особые точки".
- Контрольная работа №8 "Ряды и преобразования Фурье".
- Контрольная работа №9 "Теория вероятностей".
- IV семестр
- Защита домашних заданий: " Выборочный метод", "Интервальные оценки", "Линейная корреляция", "Статистическая проверка гипотез".
- Теоретический тест " Случайные процесы и методы оптимизации"
Вопросы к экзаменам и зачётам
I семестр (зачет)
1. Числовые множества.
2. Понятие функции. Многозначная, гиперболические функции. Свойства функций.
3. Последовательность.
4. Предел функции в точке.
5. Предел функции на бесконечности.
6. Теоремы о пределах функции.
7. Свойство пределов, связанных с неравенствами.
8. Бесконечно малые функции. Свойство бесконечно малых функций.
9. Бесконечно большие функции. Свойство бесконечно больших функций.
10.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.
11Неопределенность (¥¤¥)
12. Неопределенность (¥ - ¥).
13.1 замечательный предел. Доказательство. Следствие. 14.Эквивалентные бесконечно малые величины.
^.Неопределенность (0/0).
16. 2 замечательный предел. Следствие.
17. Предел степенно-показательных функций.
18.Неопределенность (I¥).
19.Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
20.Классификация точек разрыва.
21. Свойства непрерывных на отрезке функций.
22.Асимптоты графика функций.
23.Приращение функции в точке. Теорема о приращении непрерывной
функции в точке.
24.Производная функции в точке.
25.Геометрический и механический смысл производной. 26.Теорема о связи непрерывной и дифференцируемой функций. 27.Таблица производных. Вывод производных элементарных функций.
28.Основные теоремы: о производных суммы, произведения частного,
сложной и обратной функций.
29.Производные высших порядков.
30.Первая и вторая производные параметрически заданной функции. 31. Дифференциал функции и его свойства. 32.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ролля,
теорема Лагранжа (доказательство), теорема Лопиталя.
33.Условия монотонности функции.
34.Точки экстремума. Необходимое условие существования точек экстремума. Критические точки.
35.Достаточное условие существования экстремума.
36.Выпуклость графика функции.
37.Условие выпуклости графика функции.
38.Точки перегиба. Необходимое условие существования точек перегиба. Критические точки.
39. Достаточное условие существования точек перегиба.
40.Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на отрезке.
41 .Полная схема исследования функции.
42.Приближенное решение трансцендентных уравнений методом хорд и касательных.
43.Первообразная. Теорема о множестве всех первообразных (доказательство).
44.Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла (доказательство одного).
45.Таблица неопределенных интегралов. Вывод для элементарных функций.
46.Замена переменной в неопределенном интеграле.
47.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Основные классы интегрируемых по частям функций.
48.Интегрирование квадратичных трехчленов.
49.Интегрирование рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби на простые дроби.
50.Интегрирование неправильной дроби.
51.Интегрирование иррациональных выражений. Биномиальные подстановки.
52.Универсальная тригонометрическая подстановка.
53.Частные тригонометрические подстановки.
54.Определенный интеграл. Геометрический смысл. Свойства определенных интегралов.
55.Интеграл с переменным верхним пределом, свойства.
56.Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
57.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
58.Вычисление площадей плоских фигур.
59. Длина дуги кривой.
60.Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).
61.Несобственный интеграл I рода.
62.Несобственный интеграл II род.
II семестр (экзамен)
1. Метод наименьших квадратов.
2. Интерполирование. Интерполяционный многочлен Ньютона и Лагран-жа.
3. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Формула Эйлера.
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Особые решения.
6. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним.
7. Линейные дифференциальные уравнения I порядка, уравнения Бернул-ли.
8.Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка.
9.Линейные дифференциальные уравнения И порядка с постоянными коэффициентами: общая теория. Фундаментальная система решений.
10.Решение однородных линейных дифференциальных уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.
11.Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений II порядка с правой частью специального вида.
12.Метод Лагранжа - вариации постоянных.
13.Понятие о краевых задачах.
14.Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
15.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сведение к одному дифференциальному уравнению высшего порядка.
16.Метод интегрируемых комбинаций.
17.Автономные и неавтономные системы, геометрический смысл решения. Фазовое пространство. Точки покоя.
18.Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
19.Классификация линейных уравнений в частных производных II порядка и приведение их к каноническому виду.
20.Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи.
21.Основные уравнения математической физики.
22. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление в декартовых координатах путем сведения к повторному.
23.Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
24.Приложение двойного интеграла к геометрии и физике.
25.Тройной интеграл его свойства.
26.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
27.Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
28.Приложение тройного интеграла.
29.Криволинейные интегралы I рода. Свойства, Вычисление.
30.Криволинейные интегралы II рода. Свойства, Вычисление.
31.Связь криволинейных интегралов I и II рода.
32. Формула Грина и ее следствия.
33.Приложение криволинейных интегралов.
34.Поверхностные интегралы I рода. Свойства. Вычисление.
35.Ориентация поверхности.
36.Поверхностные интегралы II рода. Свойства. Вычисление.
37.Связь поверхностных интегралов I и II рода
38.Формула Остроградского-Гаусса и формула Стокса.
39.Теория поля. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент.
40.Векторное поле. Векторные линии. Поток. Дивергенция. Приложение формулы Остроградского-Гаусса.
41.Циркуляция. Ротор. Приложение формулы СтоксаСпециальные поля. Потенциальное и соленоидальные поля.
43.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости.
44. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
45.Знакопеременные ряды. Теорема. Лейбница.
46.Числовые ряды в комплексной форме.
47.Функциональные ряды. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак Вейерштрасса.
48.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Радиус сходимости.
49.Степенные ряды в комплексной форме. Элементарные ф. к.п.
50.Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение функции в ряд Тейлора.
51 .Приложение рядов Тейлора.
52.Интегралы зависящие от параметра.
5 3. Гамма-функции.
54.Бэта-функции. Связь с Г-функцией.
55.Цилиндрические функции.
56.Обобщенные функции. Ступенчатые функции. Функция Хевисайда. Сглаживание функции.
III семестр (экзамен)
1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.
2. Аналитические функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части,
3. Интегрирование функции комплексного переменного.
4. Теорема Коши (доказательство). Следствия.
5. Интегральная формула Коши. Следствия.
6. Первообразная функции комплексного переменного. Регулярность первообразной.
7. Ряд Тейлора. Разложение ф. к.п. в ряд Тейлора.
8 Ряд Лорана. Разложение ф. к.п. в ряд Лорана.
9. Изолированные особые точки, их классификация.
10. Вычеты их вычисление.
11. Основные георемы о вычетах.
12. Применение вычетов к вычислению интегралов.
13. Преобразование Лапласа, его свойства.
14. Основные теоремы об оригиналах и изображениях.
15. Восстановление оригинала но изображению. Теорема обращения.
16. Операция свертки. Интеграл Дюамеля.
17. Телеграфное уравнение.
18. Ортонормированные системы функций.
19. Ряд Фурье периодических функций в действительной форме. Теорема Дирихле.
20. Ряд Фурье четных и нечетных функций в действительной форме.
21.Ряды Фурье в комплексной форме.
22.Интеграл Фурье. Интегральная теорема Дирихле.
23.Интеграл Фурье четных и нечетных функций. Синус и косинус преобразование Фурье.
24. Преобразование Фурье, Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье.
25.Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа (затухающие оригиналы).
26.Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
27. Классическая вероятность. Статистическая вероятность.
28. Основные теоремы о вероятностях случайных событий.
29. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
30.Геометрическая, вероятность.
31. Схема Бернулли. Повторные независимые испытания..
32.Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.
33.Дискретные случайные величины. Функция распределения. Числовые характеристики и их свойства.
34.Законы распределения д. с.в,: биноминальный, геометрический, гиперболический.
35. Операции над независимыми случайными величинами.
36.Двумерная д. с.в. Ковариация.
37.Непрерывная случайная величина. Интегральная и дифференциальная функции, их свойства.
38. Числовые характеристики непрерывной случайной величины,
39. Основные законы распределения непрерывной случайной величины: равномерный, нормальный, показательный.
40. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева.
41.Обобщение понятия функции плотности вероятностей на случай Д. С.В.
IV семестр (зачет)
1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема теории вероятностей. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Предельные теоремы.
2. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия.
3. Статистические оценки: несмещённые, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки.
4. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
5. Определение необходимого объёма выборки.
6. Метод наибольшего правдоподобия.
7. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
8. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки. Определение параметров линейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов непосредственно и с помощью линеаризующих замен переменных.
9. Статистическая проверка статистических гипотез. Виды статистических гипотез. Понятие о критериях согласия.
10. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения.
11. Проверка гипотезы о виде распределения.
12. Случайные процессы. Системы дискретного типа. Сечение случайного процесса. Случайные процессы с дискретным временем. Случайные процессы с непрерывным временем.
13. Поток событий. Однородный поток событий. Регулярный поток событий. Стационарный поток событий. Поток событий без последствий. Ординарный поток событий.
14. Простейший поток событий (пуассоновский поток событий). Мгновенная плотность потока. Нестационарный пуассоновский поток.
15. Поток с ограниченным последствием (поток Пальма).
16. Потоки Эрланга. Законы распределения Эрланга. Нормированный поток Эрланга.
17. Цепи Маркова. Цепь Маркова с дискретным временем. Цепь Маркова с непрерывным временем. Однородная цепь Маркова. Переходная вероятность. Матрица перехода. Графы состояний системы. Равенство Маркова. Стохастические и регулярные матрицы перехода. Предельные вероятности.
17. Классификация оптимизационных задач и методов: задачи и методы математического программирования, вариационного исчисления, оптимального управления.
18. Задачи на условный экстремум.
19.Понятие о задачах оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Институт/факультет | Институт управления, автоматизации и телекоммуникаций | |||
направление подготовки/ специальность | 190402 "Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте" | |||
Курс | 1 | Группа (ы) | 215-218 |
ПРИМЕРНЫЙ КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
занятий по дисциплине «Математика»_________________________________
полное наименование дисциплины
в первом семестре
Число часов лекций | 18 |
Число часов практических занятий | 36 |
Число часов лабораторных занятий | 0 |
Всего аудиторных занятий | 54 |
Число часов самостоятельной работы | 80 |
Форма отчетности | зачет |
Лектор доцент
должность, Ф. И.О.
Руководители групповых занятий Доцент
должность, Ф. И.О.
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
Недели | Количество часов | Тема и структура лекций | Формы проведения. Использование ТСО, ЭВМ | Количество часов | Тема и содержание практических и лабораторных занятий | Формы проведения. Использование ТСО, ЭВМ | Контроль качества усвоения материала |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
1 | 2 | Функция: способы задания и свойства. Основные элементарные функции и их свойства. Сложная функция. Числовые последовательности и действия с ними.. Предел функции. Предел функции в точке и на бесконечности Теоремы о пределах. | 2 | . Числовые множества. Элементарные функции. Графики элементарных функций. | Домашнее задание 1: "Графики и свойства элементарных функций" | ||
2 | 2 | 2 | Область определения функции. Свойства функций (монотонность, четность, ограниченность, периодичность)Гиперболические функции. Последовательность. | ||||
3 | 2 | . Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса.. Односторонние пределы функции в точке. Арифметические свойства предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их связь. Сравнение бесконечно малых функций. Первый и второй замеча-тельные пределы и их следствия | 2 | . Предел функии. Теоремы о пределах, неопределенности (¥¤¥) и (¥-¥). Предел последовательности. | Тип. расчет №1 "Предел и непрерывность" | ||
4 | 2 | 2 | Неопределенность (0/0), первый замечательный предел. | Теоретический тест 1: по теме "Предел" | |||
5 | 2 | Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерыв-ность основных элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Определение и свойства функции, непрерывной на отрезке. Асимптоты. | 2 | Второй замечательный предел. Предел степенно-показательной функции. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. | Теоретический тест 2: "Непрерывность" | ||
6 | 2 | 2 | Контрольная работа №1 " Предел функции". . Асимптоты графика функции. | Контрольная работа №1 " Предел функции". | |||
7 | 2 | Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь с непрерывностью. Правила и формулы дифференцирования. Производные сложной, обратной, неявной и параметрически заданной функций. Логарифмическое диффе-ренцирование. Производные высших порядков | 2 | . Производная функции. Дифференцирование функции по определению. Правила и формулы дифференцирования. Производная сложной функции | Тип. расчет №2 "Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной". | ||
8 | 2 | 2 | . Геометрический и физический смысл производной. Производная неявной функции. Производные высших порядков. Производная параметрически заданной функций. | Домашнее задание 2: "Метод хорд и касательных" | |||
9 | 2 | Дифференциал функции: определение, свойства, способы вычисления. Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применение. Правило Лопиталя. Приложения производной к исследованию свойств функций. | 2 | Логарифмическое дифференцирование. Правило Лопиталя. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функии непрерывной на отрезке. Условия существования точек перегиба. |
10 | 2 | 2 | Контрольная работа №2 " Производная функции" Полное исследование функции. | Контрольная работа №2 " Производная функции" | |||
11 | 2 | Первообразная и неопределённый интеграл: определение и свойства. Правила интегрирования. Таблица основных первообразных. Методы интегрирования. | 2 | Дифференциал функции. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Правила интегрирования. Метод замены. | Домашнее задание 3: "Полное исследование функции". | ||
12 | 2 | 2 | Интегрирование квадратных трехчленов в знаменателе. Интегрирование рациональных дробей. | ||||
13 | 2 | Определение и свойства определённого инте-грала. Интеграл с переменным верхним преде-лом. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. | 2 | . Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Циклические интегралы. Интегрирование, иррациональных функций. | Теоретический тест 3: "Интегрирование" | ||
14 | 2 | 2 | Тригонометрические подстановки. | ||||
15 | 2 | Определение и свойства несобственных интегралов. Сходимость несобственных интегралов. Критерий Коши. Признаки сходимости несобственного интеграла первого рода: признак сравнения, признак Дирихле, частный признак сравнения. Вычисление несобственных интегралов | 2 | Определенный интеграл. Замена переменной и интегрирование по частям. |
16 | 2 | 2 | Контрольная работа №3 "Интегрирование" | 2 | Контрольная работа №3 "Интегрирование" | ||
17 | 2 | . Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади сектора, вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объёмов тел вращения, | 2 | Несобственные интегралы I и II рода. | АСТ - тест "Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной действительной переменной" | ||
18 | 2 | . | 2 | Вычисление площадей плоских фигур. |
2. Выполнение плана самостоятельной работы
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
