1.Кинематика поступательного движения материальной точки и вращательного движения твердого тела.

Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором :

(1.1)

где единичные по модулю и взаимно перпендикулярные векторы (орты системы координат); координаты точки.

Средняя скорость

, (1.2)

где вектор перемещения материальной точки за интервал времени .

Мгновенная скорость

(1.3)

где проекции вектора скорости на оси координат.

Модуль скорости

(1.4)

Ускорение материальной точки

(1.5)

где проекции вектора ускорения на оси координат.

Модуль ускорения

(1.6)

При криволинейном движении материальной точки вектор ускорения

(1.7)

где проекция вектора ускорения на направление перпендикулярное вектору скорости (нормальное ускорение), проекция вектора ускорения на направление параллельное вектору скорости (тангенциальное ускорение).

Нормальное ускорение вычисляется по формуле

, (1.8)

где R – радиус кривизны в данной точке траектории, u – модуль скорости.

Тангенциальное ускорение вычисляется по формуле

(1.9)

Модуль ускорения

(1.10)

При равномерном движении материальной точки вдоль оси ()

(1.11)

где координата в момент времени .

При равноускоренном движении материальной точки вдоль оси ()

(1.12)

, (1.13)

где координата и скорость в момент времени .

При заданной оси вращения положение твердого тела определяется углом поворота .

Средняя угловая скорость

(1.14)

где приращение угла поворота за время .

Мгновенная угловая скорость

(1.15)

Угловое ускорение

(1.16)

При равномерном вращении твердого тела ()

(1.17)

где начальное значение угла поворота.

При равноускоренном вращении твердого тела ()

(1.18)

(1.19)

где начальная угловая скорость.

Связь линейной и угловой скорости точки движущейся по окружности

(1.20)

где угловая скорость, радиус окружности.

Связи тангенциального и углового ускорения точки движущейся по окружности:

(1.21)

где угловое ускорение.

Связь нормального ускорения и угловой скорости точки движущейся по окружности

. (1.22)

2.Динамика поступательного движения тела.

Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки)

(2.1)

где масса, ускорение, геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку.

Сила упругости для продольного растяжения или сжатия

(2.2)

где коэффициент упругости; – модуль абсолютной деформации.

Сила гравитационного притяжения двух материальных точек и

(2.3)

где гравитационная постоянная; расстояние между материальными точками.

Сила трения скольжения

(2.4)

где коэффициент трения скольжения; сила нормального давления.

Координаты центра масс системы материальных точек

(2.5)

где масса, координаты -й материальной точки.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

(2.6)

где число материальных точек, входящих в систему,,масса, скорость -й материальной точки.

Механическая работа, совершаемая силой

(2.7)

где угол между направлениями векторов силы и перемещения . Интегрирование ведется вдоль траектории движения.

Кинетическая энергия материальной точки

(2.8)

Потенциальная энергия тела при его продольном растяжении или сжатии.

(2.9)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и , находящихся на расстоянии друг от друга

(2.10)

Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется (закон сохранения механической энергии).

(2.11)

3.Динамика вращательного движения твердого тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

(3.1)

где – момент силы относительно оси, момент инерции тела относительно этой же оси, угловое ускорение.

Модуль момента силы относительно оси

, (3.2)

где d – плечо силы.

Момент инерции материальной точки

(3.3)

Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости обруча

. (3.4)

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню

(3.5)

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно стержню

(3.6)

Момент инерции однородного диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр диска (цилиндра) перпендикулярно плоскости диска

(3.7)

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара

. (3.8)

Теорема Штейнера

, (3.9)

где момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; расстояние между осями.

Закон сохранения момент импульса:

, (3.10)

где момент инерции и угловая скорость – го тела, входящего в систему.

Работа момента силы

(3.11)

где угол поворота.

Кинетическая энергия вращающегося тела

(3.12)

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

, (3.13)

где кинетическая энергия поступательного движения тела, кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

4.Колебания

Уравнение свободных гармонических колебаний точки

(4.1)

где амплитуда колебаний, начальная фаза, циклическая частота, период колебаний.

Уравнение затухающих колебаний

(4.2)

где время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз (время релаксации).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

(4.3)

Период колебаний тела на пружине

(4.4)

где - масса тела, - жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

(4.5)

где длина маятника, ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

(4.6)

где момент инерции тела, относительно оси колебаний; расстояние центра масс маятника от оси колебаний.