Оказываем помощь студентам г. Миасс (стр. 5 )

б) в системе плоек. П1/П4
задача N2 = задаче N1

2| находим проекции точек с14Па4 = M4,N4

Ц обратным преобразованием определяем проекции точек М 2 и N 2

3 видимость проекций прямой а(А В) определяем по видимости проекций сферы Ф

® ®

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к ЛЕКЦИИ 10

В чем заключается способ нахождения точек линии пересечения кривой поверхности с плоскостью?

Какие разновидности линий получаются при пересечении цилиндра с плоскостью и как влияет расположение самой плоскости? При каких условиях в сечении конуса плоскостью получаются кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола? Какие разновидности кривых получаются при пересечении тора с плоскостью и как влияет расположение самой плоскости? В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью?

Когда при рещении задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью не используются проецирующие плоскости? Как определить видимость проекций прямой?

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ (2-ая позиционная задача, продолженние)

линия ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Подпись:

в общем случае (случае врезки) представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию, которая может распадаться на две и более замкнутые пространственные или плоские ломаные (случай проницания)

[ВЕРШИНЫ И СТОРОНЫ ЛОМАНОЙ

Т| вершины ломаной - точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника - с гранями первого многогранника

2] стороны ломаной - отрезки прямых, по ко-
торым пересекаются грани многогранников
----- 1 ~

^^^^^^^^^^^^^^ Лекция 11 ^Z

ПРИМЕРЫ ВРЕЗКИ И ПРОНИЦАНИЯ ДВУХ МНОГОГРАННИКОВ

ВРЕЗКА I В пересечении участвуют часть ребер пирамиды и часть

линия пересечения ABCDED 'с'в'А замкнутая

пространственная ломаная линия

ребер призмы

	V
/\
/ \

Подпись:

с=с

проницание!

/

в=в'

D=D

ребра призмы

линия пересечения распадается на две

замкнутые пространственные

ломаные линии ABCDA и A'b'c'd'a'

Лекция --

СХЕМА РЕШЕНИЯ

Решение задачи построения линии пересечения двух многогранников заключается в нахождении вершин или сторон (звеньев) ломаной,

СПОСОБ РЕБЕР

ДВА СПОСОБА 1

СПОСОБ ГРАНЕЙ

[основаны на использовании способа вспомогательных поверхностей

I 1-АЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА

2-АЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА

многократное построение точек пересечения ребра с плоскостями (с гранями) многократное построение линии пересечения двух плоскостей (граней)

При решении задач чаще применяют "способ ребер", который сразу дает опорные точки линии пересечения - вершины ломаной.

Лекция --

СОЕДИНЕНИЕ ТОЧЕК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ

Завершающим этапом построения линии пересечения двух многогранных поверхностей является соединение ее вершин и определение видимости, Этот этап осуществляется по определенным правилам.

ПРАВИЛО N1 [ ПОРЯДОК СОЕДИНЕНИЯ ВЕРШИН ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ |

отрезками прямых соединяют те пары вершин ломанной, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника и одновременно одной и той же грани второго

ПРАВИЛО N2

[ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ [

ВИДИМЫМИ относительно плоскостей П.|,П2.Пз считаются про-
екции тех звеньев ломаной, которые являются линией пересе-
чения двух видимых относительно этих плоскостей проекций
граней многогранников_____________________________________________

---- Лекиия---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1| Построить ЛИНИЮ поресечения призмы Ф и пирамиды 4'

А.

^} случай проницания 2] линия пересечения распадается на две замкнутые ломаные: плоскую и пространственную

призма является проецирующей относительно III. поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы в зоне наложения проекций (ломаные 1i2i3i1i и 4i5i6i7i8i4i)

Di=D]

АНАЛИЗ

алгоритм

фронтальные проекции вершин ломаных определяем по принадлежности соответствующим ребрам пирамиды

Ш опред. фронтальн. проекции вершин ломаных 1,2,3 и 4,5,7 по ^^2 принадлежи, фронтальн. проекци-92 ям ребер пирамиды SA, SB,5C [2] опред. фронтальн. проекции вершин ломаной 6 и 8 по алгоритму

а) РР' с Д ± П^;

б) Ап SABC = (gsio);

в) (9510) п {РР') =5.8.
[з] строим на П2 проекции звеньев:

(ЕРР'е') п (BSC)=5-4; (EPF'e') n (В SA)=5-6; (EFF'E') n (CSA)=4-8; {DFF'd') n (B SA)=7-6; (DFF'd') n (C5A)=7-8 и т. д. Вт Ш соедин. пары вершин ломаных отрезками прямых по правилу N1 ( рис. 4) 5] видимость -> по правилу N2 (рис. 4)

ПОСТРОЕНИЕ

______________________________ Лекция 11___________________________________

[ЗАДАЧА 2| Построить ЛИНИЮ пересечения призмы Ф и лирамиды

I АНАЛИЗ I

	\	^1
		N

	/

случай проницания Р [zj линия пересечения распадается на две — замкнутые пространственные ломаные призма является проецирующей относительно Пг - поэтому фронтальная проекция линии пересечения совпада-с фронтальной проекцией призмы в зоне наложения проекций {ломаные U2o3o4o5o1o и 1о2оЗи^5^1 )

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

алгоритм

при построении горизонтальной проекции линии пересечения используем вспомогательные плоскости Г|11П1, пересекающие пирамиду по многоугольникам, подобным основанию ABCD

= 7 Лекция 11

Подпись:
ЗАДАЧА 2| [ПОСТРОЕНИЕ

Т| Проводим плоскость г

2] определяем проекции вершин

1l,5i,4i и ll.5l.4i 3] проводим плоскость г' 4] определяем проекции вершин

2iH 21 5] проводим плоскость г" 6] определяем проекции вершин

3i и 3i 7] соединяем проекции вершин

1l'2i-3i,4i.5i и ll,2l,3l,4l,5l

отрезками прямых по правилу N1 Ц определяем видимость проекций

звеньев ломаной \'^.7.^.Ъ^Л\.Ъ^

Симметричные точки на не показаны

и 1|,2},з1л1, sl по правилу N2

Лекция ------

Тема: ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

12-ая позиционная задача продолженние)

[линия ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

л в общем случае (случае врезки) представляет собой совокупность нескольких плоских кривых, каждая из которых - результат пересечения кривой поверхности с одной из граней многогранника. Плоские кривые попарно пересекаются в точках пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

в случае проницания совокупность плоских кривых распадается на две части и более

Построение каждой из плоских кривых выполняется в соответствии с основным способом построения линии пересечения кривой поверхности с плоскостью (гранью)

точки ОПОРНЫЕ и ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ

Определяют отдельно для каждой кривой с учетом рекомендаций лекции N9
--- Q----

I Лекция ----

ПРИМЕРЫ ВРЕЗКИ И ПРОНИЦАНИЯ МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

[ ВРЕЗКА ~| в пересечении участвуют часть образующих конуса и часть

ребер призмы

линия пересечения

ABCDED 'С'В'Д замкнутая пространственная линия, состоящая из плоских кривых

[ПРОНИЦАНИЕ] в пересечении участвуют часть образующих конуса и все

ребра призмы

линия пересечения распадается на две

А=А

с=с

замкнутые пространственные

линии abcda и a'b'c'd'a'

10 •

i Лекция ----- 1

СХЕМА РЕШЕНИЯ

Решение задачи построения линии пересечения многогранной и кривой поверхностей заключается в нахождении совокупности плоских кривых и точек их взаимного пересечения

сводится к решению 2-х задач

I задача nT

задача N2

[основаны на использовании способа вспомогательных поверхностей

I 1-ая позиционная задача

2-ая позиционная задача |

построение точек пересечения прямой линии (ребра) с кривой поверхностью

построение линии пересечения кривой поверхности с плоскостью (с гранью)

~11

I Лекция 11 —

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

задача 1| Построить линию пересечения конуса Ф и многогранника *

,Ь,

Т] случаи проницания [2] линия пересечения распадается на две: 1. эллипс; 2.части эллипсов используем способ вспомогательных секущих плоскостей и профильную проекцию основания b конуса Ф

I алгоритм"

	^1
	/

V

анализ

H плоек, Е11П2 2 э S пересекает Ф по фронтальному очерку и дает фронтально очерковые точки (они же экстремальные относительно П^) 2 плоек. Г II ^ Г э S пересекает Ф по горизонтальному очерку и дает горизонт, очерковые точки (они же точки смены видимости относит. П.|] 3] плоек. Af _1П2 А Д| э 5 дают промежуточные точки линии пересечения

112:

----- Лекция --

задача 2| Построить линию пересечения конуса Ф и призмы

анализ

" ^ ^ Ш случай врезки

линия пересечения - совокупность дуги
окружности, 2-х прямых и части эллипса
соотв. плоек. Г ПП 1, П 1 П2 и А 1 П2)
[3J призма является проецирующей относитель-
но П2- поэтому фронтальная проекция ли-
нии пересечения совпадает с фронтальной
2 проекцией призмы в зоне наложения проек-

^2 ций (I92-62)

""^ горизонтальную проекцию линии пересечения можно определить по условию принадлежности точек поверхности конуса

1	и	6 -	фронтально очерковые точки
7	и	8 -	экстремальные точки на IIj
			(6-б' и 7-8 оси эллипса)
9	и	10-	профильно очерковые точки
2	,3	и 4,	5—точки пересечения ребер
			призмы с поверхн. конуса

ЗАДАЧА 2

[ПОСТРОЕНИЕ

определяем проекции точек по принад-принадлежности поверхности конуса: а) I^h 6i с образующей конуса q 6)2iH 3ic параллели р радиуса R

в) 4i и 5i с параллели р' радиуса R'

г) 7i и 8i с параллели р" радиуса R"

д) 9^ и 10^ С параллели р'" радиуса R "'
строим горизонтальную проекцию линии
пересечения, последовательно соединяя
проекции точек Ь ••• lOi, принадлежа-
щих одной и той же грани призмы
проекция эллипса 4^8^1 О^б^Э^У^б^
невидима, так как принадлежит неви-
димой относительно грани призмы

Симметричные точки на ITi не показаны

1В— Лекция 11 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к ЛЕКЦИИ 11

(Т) Что представляет собой линия пересечения двух многогранников в случае врезки и в случае проницания?

(2) Какие способы применяются при решении задач на построение линии пересечения двух многогранников?

(3) В каком порядке осуществляется соединение вершин линии пересечения многогранников на комплексном чертеже?

(Т) Как определяется видимость линии пересечения многогранников на комплексном чертеже?

(б) Что представляет собой линия пересечения многогранной и кривой поверхностей в случае врезки и в случае проницания?

(б) Каким образом определяется линия пересечения многогранной и кривой поверхностей?

Лекция 12 —

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (2-ая позиционная задача, продолженние)

линия пересечения!

в общем случае, случае врезки, представляет собой плавную пространственную кривую, которая может распадаться на две части или более {случай проницания)

порядок линии пересечения

равен произведению порядков двух кривых поверхностей, участвующих в пересечении

точки опорные и промежуточные

определяются при помощи способа вспомогательных поверхностей

- Лекция 12 —

ПРИМЕРЫ ВРЕЗКИ И ПРОНИЦАНИЯ ДВУХ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

I врезка ~| в пересечении участвуют часть образующих конуса и часть

образующих цилиндра

линия пересечения abcdefk f'e'd'c'b'A пространственная кривая 4-го порядка

проницание] в пересечении участвуют часть образующих конуса и все

линия пересечения распадается на две пространственные кривые Д-го порядка abcda И a'b'c'd'a'

образующие цилиндра

------ Лекция

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Используется в качестве основного способа при построении линии пересечения двух кривых поверхностей Ф и ^.

АЛГОРИТМ

Подпись:
аналогичен алгоритму 2-ой лозици-онной задачи, вводимые вспомогательные поверхности - плоскости

2пФ ^m^En + ^n m Пп =1 дПП П п = 2

ТРЕБОВАНИЯ к ВЫБОРУ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

любая секущая плоскость должна пересекать каждую из поверхностей по линиям, проекции которых были бы графически простыми линиями: отрезками прямых или дугами окружностей

Лекция ---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

анализ

Iзадача 11 Построить линию пересечения двух поверхностей вращения:
'--- ' конуса Ф и полусферы Ф

jj случаи врезки

^ линия пересечения - пространственная кривая А-го порядка

используем способ вспомог. секущ, плоек.

АЛГ0РИТ1

Т\ алгоритм способа ВСП приведен на рис.3 2] плоек. Е11П2 пересекает поверхности по главным меридианам q-q' и дает экстрем, точку А (она же очерковая на з] плоек. Г II П1 пересекает поверхности по горизонтальным очеркам и дает очерковые на П-] точки В и В' и плоек, r'lirii и г"|1П1 пересекают поверхности по окружностям и дают соответственно экстрем, и промежут. точки = Д ^^^^^^^^^^^^^^^

Лекция 12__________________________________

[задача 1| [построение] и плоек, 2 lirig.-S пФ = q ;Епф = q ' 2] на rig—> Я2'^Я2=-^2

на rii —>AiCEi

плоек. Г lirii; ГпФ=пп дГп*=п Гд [Ц на III -> mjn П i=Bi, b|

Ш\ аналогично опред. горизонт, проеки.

точек С и с' при помощи плоек. Г' 7] аналогично опред. горизонт, проекц.

точек Сив'при помощи плоек. Г" 8] аналогично опред. горизонт, проекц.

точек ЕиВ'при помощи плоек. Г'" 9] опред. фронтальн. проекц. точек по принадлежности плоек. Г. Г.'Г'.'Г'" Щ строим горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения О] опред. видим, проекц. лин. пересеч.: на П^-по пл. Г, на rig-по пл. 2

Лекция ---

Построить линию пересечения двух поверхностей вращения:

I анализ

отличие от задачи N1 в том, что общая плоек, симметрии 2 не параллельна плоек. п2 экстремальная точка определяет область применения вспомогательных плоскостей

I алгоритм"

наивысшую точку А находим способом замены плоек, проекций {п2 -> Пф, ПфИ £ ) 2| другие точки (по аналогии с задачей N1) находим с помощью секущих плоек. Fflini 3] видимость на п2 определяем по плоек, смены видим. П IIп2

Лекиия 12

. Построить линию пересечения двух поверхностей вращения:

усеченного конуса Ф и цилиндра

р^ Ш случаи проницания ~ I [2] линия пересечения - замкнутая прост-^2 ранственная кривая 4-го порядка [3] относит, п2 цилиндр явл, проецирующим; АСВС'А - проекц. линии пересеч. г2 \4\ проекц. точек линии пересеч. на Di находим по принадлежности к конусу

I ПОСТРОЕНИЕ!

Ш опред. горизонтальные проекц. опорных 2 точек А и В. используя плоек. 2 II п2 — [2] опред. горизонтальные проекц. экстремальных точек С и с', используя параллель р (радиус параллели r) [з] опред. горизонтальные проекц. промежуточных точек D и D', Е и Е', используя параллель Р' (радиус параллели r')

АНАЛИ;

---- Лекция

Тема:СООСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ]

у соосных поверхностей вращения Ф и Ф' меридианы гл и п. расположенные в одной осевой плоек. S (Sui ). пересекаются в некоторых точках (например, в точке А) Ц так как m и п вращаются вокруг оси 1, точка А описывает окружность р радиуса R = OA в плоскости Г (Г J_ I ) так как Р с Ф ^ Р с Ф' , то окружность Р является линией пересечения поверхностей Ф и Ф'

Г вывод

соосные поверхности вращения пересекаются по окружности

Лекция ---

ПРИМЕРЫ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

------ Лекция

ПРИМЕРЫ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ. ОДНА ИЗ КОТОРЫХ СФЕРА

Подпись: Особое место при пересече-нии СООСНЫХ поверхностей вращения отводится сферам, свойства которых используются в дальнейшем ("способ сфер").

Т] сфера имеет бесчисленное множество осей вращения

Ц все оси вращения сферы
проходят через ее центр
-- И

Если одной из двух соосных

поверхностей вращения является Сфера, то ее центр располагается на оси другой поверхности

по: 92

- Лекиия

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

СВЕРЛЕНОЕ ОТВЕРСТИЕ

а, Ь.c. d.e окружности

ZZ Лекция 12 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ 12

(Т) Что представляет собой линия пересечения двух кривых поверхностей в случае врезки и в случае проницания?

Как определить порядок линии пересечения двух кривых поверхностей?

Какой способ используется в качестве основного при построении линии пересечения двух кривых поверхностей? (4) Как должны проводиться вспомогательные секушие плоскости на комплексном чертеже при построении линии пересечения двух кривых поверхностей? d) Какие поверхности называются соосными?

(б) Что представляет собой линия пересечения двух соосных поверхностей вращения?

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР (разновидности способа, применение)

Для построения линии пересечения поверхностей вращения, имеющих круговые сечения, в ряде случаев в качестве вспомогательных поверхностей целесообразно использовать сферы.

1 РАЗНОВИДНОСТИ

[СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР\|<^	L->\|cnOC0B ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР\|
	1
1 ПРИМЕНЯЕТСЯ. ЕСЛИ	ПРИМЕНЯЕТСЯ. ЕСЛИ