____________ Лекция 13_______________
СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
=>
СВОЙСТВО сферы пересекаться по окружностям с соосными с ней поверхностями вращения
Геометрическим местом центров (D. o!... ) сфер ( R. R!..). дающих круговые
сечения (т, m '..... п - п',...) одновременно с каждой из пересекающихся по-
верхностей вращения {? ...), является точка пересечения их осей {] .\ ,...)
3
Лекция --
АЛГОРИТМ СПОСОБА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
Сфера радиуса R, с центром в точке О пересечения осей i и j двух поверхностей вращения Фи* будет соосна с каждой из этих поверхностей и пересечет их по окружностям тип. Точки 1 и 2 пересечения поспедних общие для обеих поверхностей, а значит принадлежат линии их пересечения.
 |
 |
 |
Т] сфера 0 (О = i п ], R I) 2| 0 п Ф = пп - окружность 0пЧ' = п - окружность [Ц m п п =1 д2 |
алгоритм
R mm — радиус сферы, вписанной в большую поверхность R max — расстояние от проекции центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих |
< R 1 < R
Построить конуса Ф
линию лересечения двух ловерхностей вращения: и наклонного цилиндра Ф.
. анализ
случай врезки
линия пересечения - замкнутая пространственная кривая 4-го порядка применение вспомогат. плоскостей не дает графически простого рещения за исключением общей плоскости симметрии Е (2 н плоскость 2 пересекает поверхности по главным меридианам q. q ' и дает экстремальные точки А и В, одновременно являющиеся очерковыми на П2 (qnq' = AдB> промежуточные точки удобно определить "способом концентрических сфер" (0 = 1 nj)
I алгоритм"
Приведен на рис. 4.
[Ц 0"п Ф = m |
лпп |
 |
0"п * = л'
[И пп2 пп 2=е2д eg
[9] строим фронтальную проекц. линии пересечения (видимость по пл. Е) *р 0 опред. точки смены видимости линии пересечения относительно П^: F = dnb aF'= d nb' О опред. горизонт, проекц. точек линии пересечения по принадлежи. Ф строим горизонт, проекц. линии пересечения (с учетом видимости)
Построить конуса Ф
линию лересечения двух ловерхностей вращения: и наклонного цилиндра Ф.
. анализ
случай врезки
линия пересечения - замкнутая пространственная кривая 4-го порядка применение вспомогат. плоскостей не дает графически простого рещения за исключением общей плоскости симметрии Е (2 н плоскость 2 пересекает поверхности по главным меридианам q. q ' и дает экстремальные точки А и В, одновременно являющиеся очерковыми на П2 (qnq' = AAB> промежуточные точки удобно определить "способом концентрических сфер" (0 = 1 nj)
I алгоритм"
Приведен на рис. 4.
[Ц 0"п Ф = m |
 |
0"п Ф = л'
[7]пп^пп^ = В2дВ^
[И ПП2 пп 2=Е2д Eg
[9] строим фронтальную проекц. линии пересечения (видимость по пл. Е) *р 0 опред. точки смены видимости линии пересечения относительно П^: F = dnb aF'= d nb' О опред. горизонт, проекц. точек линии пересечения по принадлежи. Ф строим горизонт, проекц. линии пересечения (с учетом видимости)
~ Лекция
Построить линию пересечения двух поверхностей вращения [сферы Ф и цилиндра Ф) способом концентрических сфер
алгоритм
Приведен на рис. 4-.
____________ Лекция 13_______________
СПОСОБ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
поверхность, имеющая семейства круговых сечении, может быть пересечена сферой по каждому из них
 |
 |
Геометрическим местом центров (О. О!... ) сфер ( R, R!.,.), дающих круговые
сечения (т. m '..... п. п '....). является перпендикуляр (t
восставленный из
центра кругового сечения (С, С|...) к его плоскости (А............ в...... Г,...).
i Лекция --- 1
АЛГОРИТМ СПОСОБА ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
Плоскость А пересекает торф по окружности радиуса п/2. Центр вспомогат. сферы радиуса R расположен в точке О пересечения оси [ конуса Ф и перпендикуляра t, восставленного из центра С кругового сечения тора Сфера 0 пересекает поверхности по окружностям тип. Точки 1 и 2 пересечения последних общие для поверхностей, а значит принадлежат линии их лересечения.
АЛГОРИТМ
[Ц плоскость А (j с А 1 П2) [Цкруг. сечен, тора п =АпФ \з\ центр С круг, сечен, тора Ф \4\ перпендикуляр t (С с t 1 А) [5] сфера 0 (центр О. рад. R )
(0=1 nt. R=OK ) [Ц 0 пФ = m - окружность [7]0пф = п - окружность [Ц m п п =1 д2
______________________ Лекция 13______________________________
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Построить линию пересечения конуса Ф и части тора Ф,
анализ
случаи врезки
линия пересечения - замкнутая пространственная кривая 8-го порядка применение вспомогат. плоскостей не дает графически простого решения за исключением общей плоскости симметрии S (2 н плоскость 2 пересекает поверхности по фронтальным очеркам q. q'n дает экстремальные точки А и В. одновременно являющиеся очерковыми на П2 (qnq' = AAB) промежуточные точки удобно определить "способом эксцентрических сфер"
алгоритм
Приведен на рис.
I задача 1 I I построение"
Л плоек. 2; опред. точки А и В 2] опред. фронт, проекц. точек 1 и 1': (а) плоек. А (] с А 1П2) (D кругов, сечен, тора п = А п ф (в) центр кругов, сечен, тора С (?) перпендикуляр t (С с t 1 А) @ сфера 0(0 = 1 nt ;R =0К ) (g) 0пФ=пПд0пФ = п - окружк (g) m пп =1 дУ 3] аналогично опред. фронтальные проекции точек 2 и 2' (пл. А', сфера 0') \4} строим фронтальную проекц. линии
пересечения (видимость по плоек. 2) \Е\ опред. горизонт, проекц. точек линии пересечения по принадлежи. Ф \Ш строим горизонт, проекц. линии пересечения (видимость по проекц. Ф)
'
Лекция 13
Построить линию d пересечения поверхности вращения Ф с ловерхностью эллиптического конуса Ф. имеющего круговые сечения,
случаи врезки линия пересечения - замкнутая пространственная кривая 4--Г0 порядка применение вспомогат, плоскостей не дает графически простого решения за исключением общей плоскости симметрии S (S IIП2) плоскость Е пересекает поверхности по фронтальным очеркам q, q'H дает экстремальные точки А и В, одновременно являющиеся очерковыми на II2 (qnq' = AAB) промежуточные точки удобно определить Ji=2i "способом эксцентрических сфер" используя плоскости Ду1Ь 11Ду-1 II2)- образующие с коническ, поверхк Ф круговые сечения п у алгоритм! |
Приведен на рис. |
= 131 Лекци? |
анализ I
АНАЛИЗ |
ЗАДАЧА 2 I
продолжение
1J ДЛЯ определения точек смены видимости линии пересечения относительно необходимо построить фронтальные проекции образующих SF и SF' конуса Ф
2]на П1 задано направление образующих ( 8Гд5р'тт Ь). а положен, точек F. г'неизвестно
построение
вписываем в конус ф - сферу про извольн. радиуса R (центр • О 1 строим фронтальные проекции
образующих: S2F2 а ^21^2 ^ ^2 определяем горизонтальн. проекции точек F и F'no принадл, Ф
11 плоек. S; опред. точки А и В - [2] опред. Фронтальн. проекц. точек 1 j' 2 (плоек. А II b д1 П2 . Сфера 0) [з] опред. фронтальн. проекц. точек 2,2' (плоек, а' II b д 1 П2 , сфера 0') 4] строим фронтальн. лроекц. линии пересечения d (видимость по плоек. 2) 5] строим фронтальн. проекц. образующ. конуса SF и Sp'icM. выше рис. К) 6J опред. точки смены видимости линии пересечения d относительна П^: 3 = SFnd лЗ'= SP'nd b 1 [7] опред. горизонт проекц. точек линии пересечения по принадлежи. Ф 1 Ш строим горизонт, проекц. линии пересечения (видимость по проекц. Ф^) |
ПОСТРОЕНИЕ
— Лекция 13 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к ЛЕКЦИИ 13
(Т) в каких случаях при решении задач на построение линии пересечения поверхностей можно применять вспомогательные сферы?
(2) Что является теоретическим обоснованием способа вспомогательных концентрических сфер?
(3) Как определить на комплексном чертеже центр вспомогательных концентрических сфер?
(4) Как определить на комплексном чертеже вспомогательные кон-
центрические сферы минимального и максимального радиус
5) Что является теоретическим обоснованием способа вспомогательных эксцентрических сфер? (б) Как определить на комплексном чертеже центры вспомогательных эксцентрических сфер?
------ Лекция
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Существенным является вопрос о порядке линии пересечения поверхностей 2-го порядка и возможности ее распадения на кривые низших порядков.
2 алгебраические поверхности пересекаются по пространственной кривой линии, порядок которой равен произведению порядков поверхностей
2 поверхности 2 - го порядка пересекаются по кривой
4-го порядка
ОСОБЫЕ V иногда кривая 4-го порядка распадается на линии СЛУЧАИ низщих порядков, сумма порядков которых равна 4
ИЗВЕСТНЫ СЛУЧАИ РАСПАДЕНИЯ
и на четыре прямые -- |1 +1 +1 +1 =4
2\ на две прямые и кривую 2-го порядка |1 +1 + 2 = 4
3\ на прямую и кривую 3-его порядка 11 + 5 = 4
4] на две кривые 2-го порядка- 12 + 2 = 4
------ 1
Лекция 14 I
ПРИМЕРЫ РАСПАДЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 4-Г0 ПОРЯДКА НА ЛИНИИ НИЗШИХ ПОРЯДКОВ
Е
 |  |
Наиболее часто встречаются случаи распадения кривой 4-го порядка на две кривые 2-го порядка. Признаки распадения определяются 3-мн теоремами. Последние будут применяться при решении задач как аксиомы.
если две поверхности второго порядка пересекаются по одной
ТЕОРЕМА 1|=> плоской кривои, ТО ОНИ пересекаются еще по одной кривой, которая тоже будет плоской
 |
 |
3
------- Лекция --
РАСПАДЕНИЕ КРИВОЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА НА ДВЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ТЕОРЕМА 2 =>
если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания
 |
 |
|2 + 2 | = 4 | |
1 | 3 | |
^ | -^3 \ |
 |
 |
— две точки касания |
ллипса |
pj-i ^ A И В
r^i S А и В \ АСВ иЛОВ |
( CADBC и С'АО'ВС'-Два э
— две точки касания
— части двух эллипсов
ТЕОРЕМА 3
если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на => две кривые второго порядка ллоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания
ИСХОДНОЕ СОСТОЯНИЕ
два эллипсоида Ф1ИФ2 вписаны в эллиптический цилиндр Фз:2-общая плоскость симметрии И П2
2 „ |
Ш плоскости АиФ кривых AEBFA и CEDFC ПрО- ходпт через прямую EF(E^F = k пп] Ш если 2МП2-ТоЕЕ±П2- очерки поверхн. на П 2 пересекаются, а проекции кривых на П2-прямые ПОСТРОЕНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ Ш проекции линий касания к и п на П2 Ш проекция прямой ЕЕнаП2(ЕЕ = кпп) |3| проекции кривых AEBFA и CEDFC на П2 Щ проекции кривых на Щ опред. из услов. принадл. Ш видимость на Hi - по пп на П2 - по пп S |
по условию теоремы
, Лекция 14 .
ТЕОРЕМА МОНЖА ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ОПИСАННЫХ ОКОЛО СФЕРЫ
Теорема Монжа является следствием теоремы N2 и чаще испопьзуется для случаев, когда две поверхности вращения 2-го порядка описаны около сферы.
 |
 |
[Ц По теореме, плоскости Д и ф кривых AEBFA и CEDFC проходят через лрямую EF. m Общая плоскость симметрии II П2. значит фронтальные очерки поверхностей пересекаются, EF ± П^, а проекции кривых AEBFA и CEDFC на П2 — отрезки прямых.
_______________________________ Лекция 14_________________________________
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕМЕ МОНЖА
При решении задач на построение линии пересечения поверхностей второго порядка с использованием теоремы Монжа целесообразно придерживаться алгоритма, представленного ниже:
Т] в две пересекающиеся поверхности вписать третью поверхность (или
третью поверхность описать вокруг двух первых};
построить экстремальные точки при помощи плоскости общей симметрии;
3J построить линии касания каждой из пересекающихся поверхностей с
третьей поверхностью;
4| построить прямую, соединяющую точки лересечения линий касания;
5J построить искомые линии пересечения
^^^^^^^^^^^^^^ 7
— Лекция 14
УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ МОНЖА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
При решении задач на построение линии пересечения поверхностей второго порядка с использованием теоремы Монжа необходимо учитывать условия ее применения.
Т] Вписанная (или описанная) поверхность 0 должна иметь линии касания кип одновременно с каждой из 2-х пересекающихся поверхностей Фиф
Ц Оси i и ] поверхностей Ф и Ф пересекаются и задают общую плоскость симметрии S
Если общая плоскость симметрии S не параллельна какой-либо плоскости проекций П1,П2 или п3 — пользуются способами преобразования чертежа
________________________ Лекция 14_________________________________
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ МОНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Построить линию пересечения ловерхностей вращения: конуса Ф и цилиндра Ф, описанных около одной и той же сферы 0
АЛГОРИТМ
11 линию пересечения на П2 строят по
выщеприведенному алгоритму {рис. 7) 2] линию пересечения на строят по
принадлежности поверхности конуса ^ видимость линии пересечения на П2
определяют по плоскости 2, на П^-
— по плоскости Г II III
q
Лекция 14 .
I ЗАДАЧА I I ПОСТРОЕНИЕ |
Ц при помощи S очерков, точки АДС, Б 2\ проекции окружн. касания к и п на Ilg - [3] Е2 д F2 = к 2 112 3 проекции эллипсов AEBF и CEDF на Ilg [Ц проекции на Пз очерковых (относитель
но 111) точек К, К' и Ц проекции на промежуточных точек
М, М' и Н Н': N, N'h Т, Т' 7} проекции точек на Hi определены по принадлежности к конусу и его соответствующим параллелям Р 8] проекция линии пересечения на Пд — _ с учетом видимости по ллоскости S 9] проекция линии пересечения на Hi — с учетом видимости по ллоскости Г
Невидимые точки на Ilg не обозначены 106
______________________ Лекция 14________________________
ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРЕМ
ОАО' и ООО' части эллипсов |
 |
 |
0=0' = 0'
аово'а и codo'c
эллипсы
®
(D ®
® (!)
Лекция --
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ 14
Как определяется порядок пространственной кривой линии двух пересекающихся поверхностей?
Каков порядок кривой линии двух пересекающихся поверхностей второго порядка?
На какие линии низших порядков возможно распадение кривой четвертого порядка и чему равна сумма их порядков?
При каких условиях кривая пересечения поверхностей второго порядка распадается на две плоские кривые второго порядка? Как формулируется теорема Монжа в общем случае и при решении каких практических задач находит наибольшее применение? Каков алгоритм решения задач по теореме Монжа? Каковы условия применения теоремы Монжа при решении задач?
________________________________ Лекция 15__________________________________
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.
ТРИ ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ ЗАДАЧ
Ш задачи на определение расстоянии между геометрическими фигурами
Ш расстояние от точки до прямой общего положения
[Ц расстояние между параллельными прямыми
Ш расстояние между скрещивающимися прямыми (кратчайщее)
g расстояние от точки до плоскости
d расстояние между параллельными прямыми
Nj задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
Т] действительная величина плоской фигуры m угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми Э] угол между прямой и плоскостью 4| угол между двумя плоскостями
Щ задачи на построение в ллоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам
' 1 ~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Z Лекция 15
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Используется инвариантное свойство ортогонального проецирования: любая геометрическая фигура принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на последнюю в конгруэнтную ей фигуру.
для решения задач используют
Т] способы преобразования комплексного чертежа
2] положения по теме "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости"
ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе геометрические фигуры или одну из них в частное положение (± или и одной из плоек, проекций - Пз 1
или построить проекцию искомой фигуры —> на одну из выбранных плоек, проекций
или |
решить в плоек, частного положения заданную метрическую задачу
Т
перенести рещение задачи на исходные проекции обратным преобразованием
При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует ориентироваться на простоту графических операций.
______________________________ Лекция 15_________________________________
ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ
ЗАДАЧА 1 Определить расстояние между скрещивающимися прямыми а и b
СХЕМА РЕШЕНИЯ
расстояние между двумя скрещивающимися прямыми а и b определяется длиной отрезка MN, одновременно перпендикулярного к прямым 1] на плоскость, перпендикулярную к одной из прямых, отрезок MN спроецируется в истинную величину
АЛГОРИТМ
Щ преобразовать прямую а (или Ь) в проецирующую. Например, способом замены плоскостей проекций
и построить проекцию M5N5 отрезка MN на плоскость Пд ± а M5N5— искомое расстояние
Лекция 15
 | |
 |  |
 | |
IMNI |io] проекция отрезка MN на П1
Проекция отрезка MN на П, |
Z Л---
109
задача 2 Определить расстояние от точки а до поверхности конуса Ф
алгоритм
Ш через точку а и ось i провести плоек. г 2\ найти образующую d ( d = г п ф ) з] преобразовать образ d в прямую уровня
способом замены плоскостей проекций З в новой системе плоскостей из точки а опустить перпендикуляр ав на образ, d
5
Лекция 15
задача 2| I построение"!
плоскость Г(а,1 ); гхпх образующая d{l-s) = rn ф ось проекций Xi2 новая ось проекций Х1411Г1 проекция образующей d на п4
в системе плоек. п1/п4 d (ci4) — линия уровня (фронталь)
А4В4 ±
в системе плоек. п1/п4 А4В4=|АВ1 искомый отрезок
проекция отрезка ав на проекция отрезка ав на Пд
I б Z 110
2J ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ФИГУР И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ
[ЗАДАЧА 1| Определить действительную величину треугольника ABC
СХЕМА РЕШЕНИЯ
Преобразовать заданную плоскую фигуру Г (ABC) в плоскость уровня
АЛГОРИТМ
Если г является плоскостью общего положения, то необходимо:
Т] преобразовать плоскость общего положения Г{АВС) в проецирующую плоскость (Г4). например способом замены плоскост. проекций:
2] преобразовать полученную проецирующую плоскость (Г4) в плоскость уровня (Г5), например, способом замены плоскост. проекций
|
[задача i"
горизонталь h 2] ось проекций Х^з з] новая ось ± h 1 7| проекция Г{АВС) на П4
rTTvr^j
проецирующая плоскость
новая ось Х^д 11 Гф проекция Г{АВС) на Пд
\7] Г5(А5В5С5) =1АВС1-действительная величина треугольника Г{АВС) |
плоскость уровня
ЗАДАЧА 2
____________________ Лекция 15________________________________
Определить угол а между прямой d и плоскостью Д (пп ип ).
Угол наклона прямой d к ллоскости Д измеряется величиной линейного угла а между прямой d и ее прямоугольной проекцией d' на данную плоскость Д.
СХЕМА РЕШЕНИЯ
Т] из произвольной точки AЂd опустить
перпендикуляр t на плоскость Д 2] определить точку N встречи перпендикуляра t с плоскостью А з] определить точку К пересечения прямой
d с плоскостью Д З построить прямоугольную проекцию d'lKNI прямой d(AK) на плоскость Д угол AKN - искомый
Решение задачи упрощается, если вместо угла а. определять дополнительный до 90° угол р. В этом случае не требуется находить точку N и проекцию прямой d'. Зная величину угла /3, вычисляем угол а. а = 90°- р.
- | |||
i— |
сГ
I ЗАДАЧА 2 I I ПОСТРОЕНИеП
Г| h с д{т мп ) f с д{т мп ) произвольн. точка Acd Ас t 1 Д S =dn t б] отрезок ВС = f" с S т] Z ВАС= d^ t =/S с Е |] определяем величину угла j8 способом вращения его вокруг f'до положения и Пз
подробное решение в лекц. 6, рис. 10, зад. 2
п
110 Z
112
ю] искомый Z а = 90°- /5
ЗАДАЧА 3 Определить величину угла между плоскостями Г(амЬ) и A(cnd)
схема решения
Т] угол между плоскостями Г и Д измеряется одним из линейных углов, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей (S>. перпендикулярной к ним
2] в общем случае удобно определять угол |8, заключенный между перпендикулярами, опущенными из произв. точки N на заданные плоек. Г и Д
З] найденный угол /5 является искомым, если он острый: если угол /5 - тупой, то искомый угол a = ieo°-/S
АЛГОРИТМ
Т| из точки N провести прямые п ± Г и m 1 Д
2] опрелелить величину угла р. преобразовав плоскость Sim пп) способом вращения в плоскость уровня
 |
f с Г{а11Ъ) hUf'с A(cnd) произвольная точка N Ncn 1Г Nc m 1 Д п п m = Е
отрезок ав = f" с S и ZANB = л ^гт) =jS се 9] способом вращения вокруг f" преобразуем плоек. S (тр-к ANB) в плоек, уровня s' и Пд
подробное решение в лекц. 6. рис. 10. зад. 2
Щ] тр-к A2N'B2 = IANBI => Z AgN'Bg - ИСКОМЫЙ
ЗАДАЧА А Определить величину двугранного угла между плоскостями Г и Д
схема решения
Т|угол между плоскостями ГиА измеряется линейным углом, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей (S), перпен дикулярной к ним
2]т. к. линия лересечения плоскостей Г и Д известна (ребро MN) , то решение задачи упрощается - угол спроецируется в конгруэнтный ему на плоскость, перпендикулярн, ребру MN
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
