Оказываем помощь студентам г. Миасс (стр. 7 )

АЛГОРИТМ

Ц преобразовать ребро MN способом замены плоскостей проекций в лря­мую уровня M4N4

2] преобразовать ребро M4N4 способом
замены плоскостей проекций в про-
ецирующую прямую M5N5
1Я -

ЗАДАЧА 4

построение

Т] ось проекций X^g

ось проекций Xj^4llMjNj^ проекция ребра М N на П4

в системе плоек. П1/п4 М N {М4М4)-линия уровня

т] проекция ребра М N на Пд в системе плоек. П4/п5 MN (MgNs) проецирующая прямая

проекция плоек. Г на Пд 1] проекция плоек. Д на Пд

iol плоскости Г и Д 1 Пя =>

=> Z а5м дВ5-искомый

проекция плоек. Г на П4 Ц проекция плоек. Д на п4 б] ось проекиий x45im4n4

----- Лекция

Ц задачи на построение в плоскости общего положения геометрических

фигур по заданным размерам

I I В ппоскости Г{апЬ) построить равносторонний треуголь-

I—=------- 1 ник ABC, вписанный в окружность радиуса R.

и проекц. тр. ABC на Ilg

Лекцин 15 ~

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ 15 (Т) Какие задачи называются метрическими?

(2)  На какие три основные группы делятся метрические задачи?

(3)  Какое из свойств ортогонального проецирования является теоре­тической основой для решения метрических задач?

(4)  Какие способы преобразования комплексного чертежа используют при решении метрических задач?

d) Какова общая схема решения задач на определение расстояний между геометрическими фигурами?

(б) Какова общая схема решения задач на определение действитель­ных величин плоских геометрических фигур и углов между ними?

(т) Какова общая схема решения задач на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам?

_______________ Лекция 16___________________

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

(основные понятия и определения)

S = So

полная развертка поверхности

плоская фигура, состоящая из развертки боковой поверхности и приставленных к ней оснований

развертка боковой поверхности

плоская фигура Ф, полученная в результате совмещения

поверхности Ф с плоскостью Е без складок и разрывов

принятые допущения:

поверхность - гибкая пленка, нерастяжимая и несжимаемая

виды поверхностей: 1 развертывающиеся И неразвертывающиес?

Z 1 Лекция 16

СВОЙСТВА РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертывающиеся поверхности совмещаются с плоскостью без образования складок и разрывов. Это многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности с ребром возврата: торсы конические и цилиндрические.

Между Ф и Ф ' существует взаимно-однозначное {^ ) точечное соответствие:

АСФ ^ а'сФ'

свойства

АВ сФ = а'вЧсф'

21 асф = а'сф'

Фо сФ =Фг1сФ'

[следствия

Т]асФ=>а'сФ'

21 (а Mb) СФ =5>(a'llb') сФ

I

_______________________________ Лекция 16________________________________

ОБЩИЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

СПОСОБ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИИ

S......
	f-f............................
^ Е	17-^

Применяется (в основном) для построения разверток боковой поверхности
призм общего положения. К,

m

Ф'

^0

К "

□

О

[З поверхность Ф пересекают плоскостью S (Е ± боковым ребрам AK. BI______ )

2] определяют длины отрезков 1-2, 2-3,3-4 линии сечения m (пп=ФпЕ) 3] линию сечения m развертывают в прямую 1q-4q 0 от точек 1о,2о.3о,4о откладывают ± 1а4о отрезки AqKq^AK, ... [1 строят развертку Ф'. соединяя точки Ao. Ba, Co, Do и Ko-Lq. Mq. Nq

ZZ 3

— Лекция 16 ~

СПОСОБ РАСКАТКИ

Применяется для построения разверток боковой поверхности призм, у которых: D] основание параллельно какой-либо одной плоскости проекций; [2] ребра параллельны другой плоскости проекций.

|ИСП0ЛЬЗУЕТ"СЯ"

способ триангуляции

применяется {в основном) для построения разверток боковых поверхностей

1

Ш кривую поверхность Ф заменяют вписанной (или оисанной) многогранной по­верхностью Фт (в случае необходимости - с треугольными гранями 1,2, .,,)

2] одним из способов преобразования комплексного чертежа определяют на­туральные величины всех граней многогранной поверхности Ф i

и строят развертку Ф \ поверхности Ф ^, последовательно совмещая натураль­ные величины граней на плоскости чертежа

3 ломаные линии А-В-С, ...на развертке Ф] многогранной поверхности Ф^ заменяют плавной кривой, проходящей через те же точки А. В,С. ...

: 5

^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Лекция 16 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ

применяется для построения разверток прямых круговых конусов и цилиндров вращения, а также призм, боковые грани которых проецирующие плоскости.

ПРИЗМА

ЦИЛИНДР

[развертка - прямоугольник! | развертка - сектор"] [развертка - прямоугольник

высота = h радиус = Ь высота = h

щирина = АВ + ВС + АС центр, угол а^Р'ЗбоУЬ ширина = 2ttr

~ б

118

________________________________ Лекция 16_________________________________

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК МНОГОГРАННИКОВ

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью.

построение развертки

I

построение истинных величин граней многогранника с предварительным определением истинных величин его боковых ребер и сторон основания

I

используют различные способы преобразования комплексного чертежа

V

I выбор способа ЗАВИСИ1

от вида многогранника; пирамида или призма

от расположения многогранника относительно плоек. проекций

ПРИМЕР 1

7 ~

^^^^^^^^^^^^ Лекция 16

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

Построить развертку ф'треугольной призмы Ф графоаналитическим способом (боковые грани призмы _L П ^).

а'

с.

d =вс-рав+ас

Построить развертку Ф' призмы Ф способом нормальных сечений.

АНАЛИЗ

П боковые ребра II П 2 и проециру­ются на П 2 без искажения

2\ стороны основания - горизонтали, проецируются на П i в натур, вел.

3] высоты боков, граней неизвестны

алгоритм!

пересечем призму пл. 2_1П 2 и при­меним способ замены пл. проекций

ПОСТРОЕНИЕ

Ш проводим ось проекций У>^2 2\ проводим пл. е ± ребрам призмы |3] проводим ось проекций x24ii2 0 определяем истинную величину нормального сечения 1-2-3

Лекция ----

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

ПРИМЕР 2

ПОСТРОЕНИЕ

Построить развертку Ф' призмы Ф способом раскатки.

АНАЛИЗ

Т] боковые ребра II П 2 и проецируют­ся на П 2 в натуральную величину

m стороны основания - горизонтали, проецируются на П i без искажения

3] при раскатке:

-  концы ребер А, В.С...будут переме­щаться в плоскостях _L к этим ре­брам (в данном примере Е|_ЕП 2}:

-  ребра А к,... оси вращения точек;

-  Е2д-ЕА2К2,223-LB2L2,... (по те­ореме о проецировании прямого уг­ла) и S2A^2'^2В -^^2 ' •••

АЛГ0РИ1

раскатку проводим через ребро Ак

Лекция ---

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

____________ Лекция 16________________

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

ПРИМЕР 4

построение]

_____________________ Лекция 17_________________________________

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построить развертку Ф' прямого кругового конуса вращения Ф графоаналитическим способом.

Q] строим круговой сектор: - радиус = d:

-центр, угол a = R*360yd [2] присоединяем основание А

ПРИМЕР 2

_______________________ Лекция 17________________________________

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИИ РАЗВЕРТОК

Построить развертку Ф'прямого кругового цилиндра вращения Ф графоаналитическим способом (образующие цилиндра ± П ^).

Ш_________

.ф|

I =d7T

построение

Т] строим прямоугольник 1 высота = h ; длина 2] присоединяем основания: А и В (Д=В)

2 ^^^^^^^^^^^^^^

123

Построить развертку Ф'наклонного цилиндра Ф способом нормально-

Впишем в Ф 12-ти угольную призму

анализ

Ш боковые ребра II П 2 и проециру­ются на П 2 без искажения

Щ стороны основания - горизонтали, проецируются на П i в натур, вел.

АЛГОРИТМ

пересечем призму пл. Е_1П 2 и при­меним способ замены пл. проекций

построение

[Т] проводим ось проекций Щ проводим пл. S _L ребрам призмы [Ц проводим ось проекций x24ii Е 0 определяем истинную величину нормального сечения

______________ Лекция 17______________

построение

ПРИМЕР

d

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

- Лекция --

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

ПРИМЕР 4

ПОСТРОЕНИЕ

2

Построить развертку Ф' сферы Ф способом разбивки по меридианам.
4„ 52 jQz ^ iZ

Э разбиваем сферу Ф меридианами на несколь­ко (например, 12) одинаковых частей I - XII m1 Щ каждую из частей заменяем цилиндрической поверхн. S. касательной к поверхк сферы Ф 1]строим развертку части I. у которой нормаль

ным сечением является главный меридиан m 3 строим условную развертку Ф ' сферы Ф как

совокупность 12 раверток частей I - XII 7

~ Лекция 17 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ УСЛОВНЫХ РАЗВЕРТОК

	ггг:
		л-хи-

ПРИМЕР 1

ПОСТРОЕНИЕ

Ш строим развертку части I {от­сек цилиндрической поверхнос­ти S) способом нормальных се­чений

высота h = ВВдлина I = 2яР

\2\ совокупность разверток 12 час­тей I...XII — условная разверт­ка Ф' сферы Ф

Построить развертку ф' сферы Ф способом разбивки по поясам.

Ш разбиваем сферу Ф на ряд поясов I - IX [Ц средний экваториальный пояс V заменяем ци­линдрическим, остальные пояса - коническими Щ строим развертки каждого из поясов I - I X 0 строим условную развертку ф' сферы Ф

____________________ Лекция 17_____________________

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ УСЛОВНЫХ РАЗВЕРТОК

ПРИМЕР 2

ПОСТРОЕНИЕ

Ш строим развертку по­яса V как прямого кругового цилиндра: высота = h^; длина I = 27tR^

[Ц строим развертку по­яса IV как прямого кругового конуса: радиус сектора =d'^ центральный угол a = RlV.360VdlV

\з} аналогично строим ра­звертки всех поясов

[а] совокупность развер­ток поясов I -..IX - условная развертка Ф'

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к ЛЕКЦИИ 16 (Т) Что называется разверткой поверхности?

2) Какие допуцения принимаются при построении развеРток поверхностей?

3) Какие поверхности относятся к развертывающимся?

(4) Какие свойства развертывающейся поверхности сохраняются но ее розвертке?

5)  Какие основные графические способы применяют при построении розверток боковой поверхности?

6)  Что представляет совой розвертко пиромиды и призмы?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ 17

(Т) Есть ли различия в построении РозвеРток многогранных и КРИВЫХ поверхностей?

2)  Какую форму имеет РозвеРтко прямого кругового конусо?

3)  Какую форму имеет розвертка прямого кругового цилиндра?

(4) Кок нанести на РозвеРтко поверхности принадлежаш, ую ей точку?

{Ъ) Какие приемы используются при построении РозвеРток цилиндрических и конических поверхностей?

(б) Можно ли построить розвертку нерозвертывоющеися поверхности, например, сферы или торо?

(т) Какие приемы используются при построении условных разверток нерозвертывоющихся поверхностей?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кувшинов программно-методического комплекса "Начертательная
геометрия и перспективы его применения для дистанционного и самостоятельного обучения"
//Новые информационные технологии и учебная техника: Тез. докладов Всерос. науч.-метод.
конференции (Челябинск,октября 1995 г.). - Челябинск: Изд. ЧГТУ, 1995.

2. Кувшинов создания электронного учебника по курсу
"Начертательная геометрия" //Активизация учебного процесса: Сб. науч.-метод. трудов. -
Челябинск: Изд. ЧГТУ, 1996.

3. Кувшинов системы для чтения лекций и самостоятельного
изучения учебного курса начертательная геометрия с применением компьютера
//Фундаментальные и прикладные исследования транспорту - 96: Тез. докладов Всерос.
науч.- метод. конференции (Екатеринбург,октября 1996 г.). - Екатеринбург: Изд.

УрГАПС, 1996.

4.  Кувшинов геометрия. /Под ред. : Краткий компьютерный курс лекций. - Челябинск: Изд. ЧГТУ, 19с.

5.  Кувшинов обучающая система по начертательной геометрии. //Передовые методы и средства обучения в Южно-Уральском государственном университете: Тез. докладов науч.-практич. конференции /Под ред. , . -Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 19с.

6.  Пинигин обучающая система по начертательной геометрии с возможностью применения для разработки транспортных средств: Вестник РУО МАИ и ЧНЦ РАЕН "Инфор". - Челябинск: Мирос, 1998. - №2с.

7.  Кувшинов -методический комплекс для изучения начертательной геометрии на компьютере: Отд. выпуск трудов Всерос. науч.-техн. конференции "Фундаментальные и прикладные исследования транспорту - 2000". Секция "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика". - Екатеринбург: Изд. УрГАПС, 20с.

8. Власов графика: Учебное пособие для втузов. - М.:
Машиностроение, 19с.

9. Фролов геометрия: Учебник для втузов. - 2-е изд., пер. и доп. -
М.: Машиностроение, 19с.

10. , Семенцов-Огиевский начертательной геометрии: Учебное пособие для высш. техн. учеб. заведений /Под ред. , изд., стер. - М.: Высшая школа, 19с.

11. Начертательная геометрия: Учебное пособие /, Т. В., Гусятникова, и др. - Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 20с.

12. Локтев курс начертательной геометрии: Учебник для втузов. - 4-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 20с.

13. Лагер графика: Учебник /. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 20с.

14. Бродский графика: Учебник для сред. проф. образования /, , . - М.: Изд. центр "Академия", 20с.

15. Чекмарев графика: Учебник для немаш. спец. вузов. - 5-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 20с.

16. , Краснов решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие. - Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 20с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение........................................................................................................................................................... 3

Принятые обозначения.................................................................................................................................... 4

Символика........................................................................................................................................................ 4

ЛЕКЦИЯ 1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ

Основные определения. .............................................................................................................. 5

Методы проецирования................................................................................................................................... 5

Инварианты ортогонального проецирования................................................................................................ 6

Требования к чертежу..................................................................................................................................... 7

Комплексный чертеж точки. Осный способ изображения............................................................................ 7

Положение точки относительно плоскостей проекций................................................................................. 8

Условия видимости точек на комплексном чертеже.................................................................................... 8

Безосный комплексный чертеж точки............................................................................................................ 9

Контрольные вопросы к лекции 1.................................................................................................................. 9

ЛЕКЦИЯ 2. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Комплексный чертеж прямой линии. Общие положения............................................................................. 10

Классификация прямых линий........................................................................................................................ 10

Прямая общего положения............................................................................................................................. 10

Определение длины отрезка прямой общего положения............................................................................. 11

Прямые частного положения

•  проецирующие прямые............................................................................................................. 11

•  прямые уровня........................................................................................................................... 12

Взаимное расположение двух прямых........................................................................................................... 12

Комплексный чертеж плоскости. Общие положения.................................................................................... 13

Классификация плоскостей............................................................................................................................. 13

Способы задания плоскостей общего положения......................................................................................... 13

Плоскости частного положения

•  проецирующие плоскости......................................................................................................... 14

•  плоскости уровня....................................................................................................................... 14

Свойства плоскостей частного положения.................................................................................................... 15

Принадлежность точки прямой, точки и прямой плоскости........................................................................ 15

Прямые особого положения........................................................................................................................... 16

Контрольные вопросы к лекции 2.................................................................................................................. 16

ЛЕКЦИЯ 3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Общие положения............................................................................................................................................ 17

Вспомогательные позиционные задачи:

Задача 1. Определить точку пересечения прямой общего положения

с проецирующей плоскостью.................................................................................... 17

Задача 2. Построить линию пересечения плоскости общего положения

с горизонтально проецирующей плоскостью.......................................................... 18

Задача 3. Построить линию пересечения двух проецирующих плоскостей............................. 18

Задача 4. Построить линию пересечения двух проецирующих плоскостей............................. 18

ПЕРВАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Общая схема решения..................................................................................................................................... 19

Алгоритм первой позиционной задачи.......................................................................................................... 19

Вид и положение вспомогательной поверхности.......................................................................................... 19

Особенности решения задач по алгоритму первой позиционной................................................................. 20

Решение задач по алгоритму первой позиционной:

Задача. Определить точку пересечения прямой общего положения с

плоскостью общего положения 20

ВТОРАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Общая схема решения..................................................................................................................................... 21

Алгоритм второй позиционной задачи.......................................................................................................... 21

Вид и положение вспомогательной поверхности.......................................................................................... 21

Решение второй позиционной задачи по ее алгоритму:

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего

положения...................................................................................................................... 22

Решение второй позиционной задачи по алгоритму первой позиционной:

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения,

заданных многоугольниками 22

Контрольные вопросы к лекции 3 ................................................................................................................. 23

ЛЕКЦИЯ 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ,

ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Взаимная параллельность прямой и плоскости............................................................................................ 24

Задача. Через точку провести прямую, параллельную плоскости............................................................... 24

Взаимная параллельность двух плоскостей.................................................................................................. 24

Задача. Через точку провести плоскость, параллельную плоскости........................................................... 24

Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости. Признаки взаимной перпендикулярности

(стереометрия)................................................................................................................................................. 25

Проекции прямого угла. Теорема 1............................................................................................................... 26

Примеры использования теоремы 1.............................................................................................................. 26

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Теорема 2.................................................................................... 27

Использование теорем 1 и 2 для решения задач:

Задача 1. Провести перпендикуляр из точки к плоскости..................................................... 28

Задача 2. Восставить перпендикуляр к плоскости в точке, принадлежащей

плоскости 28

Задача 3. Через точку провести плоскость, перпендикулярную прямой

общего положения 29

Взаимно перпендикулярные плоскости......................................................................................................... 29

Задача. Через точку провести плоскость, перпендикулярную заданной плоскости.................................. 29

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения............................................................................. 30