Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред (стр. 3 )

H2(g) = òg dz + Si,j=1..N cij òg xj dxi,

где все интегралы понимаются в смысле интеграла Стилтьеса.

1.3 Энтропийные решения в теории упругости

были проведены исследования изэнтропических решений квазилинейных систем уравнений с частными производными. Кроме того, им был прочитан годовой курс дифференциальных уравнений для студентов физического факультета НГУ.

Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко служит плодотворным источником идей для современной математики, порождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два ярких примера.

Согласно классической теореме Лиувилля, если является конформным отображением класса  области, то f представляет собой сужение на W некоторого мёбиусова преобразования. Стремление максимально ослабить требования гладкости в этой теореме привело Ю. Г. Решетняка к следующему замечательному результату (см. [5], [6]): всякое отображение , принадлежащее соболевскому классу  и удовлетворяющее дифференциальному соотношению

Dv(x)ÎR+SO(n) для почти всех xÎW (35)

является либо постоянным отображением, либо сужением на W некоторого мёбиусова отображения. Здесь символом Df(x) обозначается обобщенный дифференциал, а символом SO(n), как и принято, обозначается множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно символом обозначено множество матриц вида lA, где l³0, AÎSO(n).

Отметим, что условия гладкости в теореме Решетняка были еще более ослаблены Т. Иванцом и Г. Мартином в статье [Ошибка! Источник ссылки не найден.], где они для случая четных размерностей n=2l доказали справедливость процитированного результата в предположении. (Данный порядок интегрирования является точным, при p<n/2 в работе [Ошибка! Источник ссылки не найден.] предъявлен контрпример непостоянного - решения соотношения (35), которое не является мёбиусовым.) Конечно, такое усиление потребовало привлечения новых методов, таких, как теория Ходжа для дифференциальных форм с интегрируемыми коэффициентами, которая была развита в работе [4].

Ю. Г. Решетняк получил также глубокие результаты об устойчивости в теореме Лиувилля, более точно, об устойчивости класса конформных (мёбиусовых) отображений в классе отображений с ограниченным искажением [5]. Класс этих отображений, являющихся неоднолистным аналогом квазиконформных отображений, также был введен Ю. Г. Решетняком, который установил и их основные нетривиальные свойства, такие как открытость, изолированность и т. д., см. [6]. Отображения с ограниченным искажением быстро стали чрезвычайно популярным объектом исследования не только отечественных, но и зарубежных математиков (назвавших такие отображения квазирегулярными, см., например, монографию [7]). В свою очередь, методы теории отображений с ограниченным искажением нашли многочисленные приложения в геометрической теории функций, теории нелинейных уравнений с частными производными, механике сплошной среды и пр. (см., например, монографию [8]). Наиболее сильным и красивым достижением в теории отображений с ограниченным искажением за последние два десятилетия, является, по-видимому, результат К. Астала [9], [10], [11] об искажении площадей плоскими квазиконформными отображениями, с помощью которого был решен ряд долго стоящих проблем (см., например, [12]). В последние годы стала развиваться также теория отображений с конечным искажением (см., например, [13], [14]), которая берет начало от красивого результата С. К. Водопьянова и В. М. Гольдштейна [15] (см. также [16]) о непрерывности и монотонности таких отображений. Этими же авторами установлена глубокая связь между квазиконформными отображениями и изоморфизмами соболевских пространств (см. [16]).

Тематика, о которой шла речь, имеет важные приложения не только в анализе, но и в геометрии. Так, квазиконформные отображения имеют глубокую связь с построенными Ю. Г. Решетняком изотермическими системами координат в двумерных пространствах Александрова ограниченной кривизны[1] [17]. Из более современных работ, связывающих квазиконформный анализ и геометрию, отметим уже упомянутую статью [4], посвященную квазиконформным структурам на многообразиях.

Еще одним примером, когда изучение требований гладкости в классической теореме жесткости порождает целые направления в геометрии и в анализе, является следующая теорема (связанная с именами Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена): Если есть -гладкое изометрическое погружение n-мерной сферы  единичного радиуса, то множество  конгруэнтно . (По поводу распространения этой теоремы на случай изометрических погружений класса  см. работу Ю. Ф. Борисова [18].) Поскольку в определении изометрического погружения участвуют лишь первые производные, естественно было предположить, что процитированная теорема останется верной и для - гладких отображений. Однако эта долго стоявшая гипотеза была опровергнута Дж. Нэшом [19] и Н. Кейпером [20], которые доказали, что для любого e>0 существует - гладкое изометрическое вложение сферы  в шар радиуса e пространства . Более точно, Дж. Нэш и Н. Кейпер установили, что всякое - гладкое локально L-липшицево погружение (вложение) n-мерного риманова пространства V с n<k и L<1 можно аппроксимировать в C-норме последовательностью - гладких изометрических погружений (вложений).

Методы построения таких «патологических» погружений (вложений) были затем развиты М. Громовым [21], который назвал их «выпуклым интегрированием» (см. также [Ошибка! Источник ссылки не найден.]).

В последние десятилетия метод выпуклого интегрирования наиболее активно использовался в анализе для построения нетривиальных липшицевых решений дифференциальных соотношений вида

Dv(x)ÎK  для п. в. xÎW, (36)

где K — заданное компактное подмножество пространства вещественных m´n матриц, а W есть область в. (Напомним, что в силу теоремы Степанова-Радемахера дифференциал Dv(x) произвольного липшицева отображения определен для почти всех всех xÎW.) Вместе с отысканием точных решений соотношения (36) важную роль играет нахождение так называемых аппроксимационных решений, т. е. последовательностей липшицевых функций таких, что

(37)

Будем говорить, что дифференциальное соотношение (36) имеет только тривиальные точные решения, если каждая липшицева функция , удовлетворяющая (36), является аффинной. Аналогично будем говорить, что соотношение (36) имеет только тривиальные аппроксимационные решения, если для каждой последовательности липшицевых функций , удовлетворяющих (37), найдется матрица AÎK и подпоследовательность, такие, что п. в. в W. Сформулированные задачи являются интересными даже для конечных множеств K (так называемая проблема k-градиентов), причем их сложность и богатство вариантов быстро возрастает вместе с мощностью K.

Приведем несколько характерных примеров (их подробное обсуждение можно найти, например, в [22]).

1. Простейший случай — когда K состоит из двух элементов, K={A,B}. Тогда если rank(A-B)³2, то соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения  [23Ошибка! Источник ссылки не найден.] (доказательство этого факта опирается на теорему Ю. Г. Решетняка [6] о слабой сходимости якобианов). Если же rank(A-B)=1, то можно построить не аффинное точное решение v соотношения (36).

2. Пусть и предположим, что при i¹j. Тогда соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения [24] (доказательство существенно опирается на результаты Ю. Г. Решетняка [6] по теории отображений с ограниченным искажением).

3. Пусть и предположим, что при i¹j. Соотношение (Ошибка! Источник ссылки не найден.) снова имеет лишь тривиальные точные решения [25] (авторы [25] также довольно искусно применяют результаты Ю. Г. Решетняка [6]). Однако здесь уже могут быть нетривиальные аппроксимационные решения. В работе [26] установлено

Предложение 1. Рассмотрим диагональные 2´2 матрицы

и положим . Тогда существует удовлетворяющая (37) последовательность липшицевых отображений , таких, что на W.

Используя данную конфигурацию из четырех матриц (которая теперь носит название конфигурация Тартара), С. Мюллер и Вл. Шверак [27], [28Ошибка! Источник ссылки не найден.] построили неожиданный пример эллиптического уравнения со всюду нерегулярным решением. А именно, ими был доказан следующий результат.

Теорема 2. Существует гладкая строго квазивыпуклая[2] функция с в такая, что уравнение Dj(Ñw)=0 имеет слабое решение , которое не является -гладким ни в каком открытом подмножестве W.

Этот результат был высоко оценен математическим сообществом: С. Мюллер и Вл. Шверак были председателями секции на Международном математическом конгрессе в Берлине в 1998 г., которая была посвящена развиваемой ими теории.

4. Проблема пяти градиентов. Используя метод выпуклого интегрирования и альтернативный подход, связанный с теоремой Бэра о категориях, Д. Прайс (D. Preiss) и Б. Кирхейм недавно доказали ([29, Глава 4], см. также [30]), что при n,m³2 существует множество, такое, что при i¹j, но в то же время соотношение (36) имеет нетривиальные (неаффинные) решения.

5. Пусть K=SO(n) («проблема одного кольца», или «one-well problem»). Тогда соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения — это легко выводится из результатов Ю. Г. Решетняка [5], [Ошибка! Источник ссылки не найден.].

6. Пусть, («проблема k-колец»). Тогда, если "F,GÎK rank(F-G)¹1, то соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения [31]. Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для при размерности n³3, является открытым даже в случае k=2.

Более полный обзор результатов о липшицевых решениях соотношения (31) сделан в относительно недавней работе [32]. Из последних достижений в данной тематике, не вошедших в [32], упомянем красивые результаты, полученные венгерским математиком Л. Секельхиди с соавторами [33], [34] для случая размерностей n=m=2. В частности, в работе [33] доказано, что rank-1 выпуклая оболочка множества значений градиента всякого липшицева отображения является связным множеством (определение rank-1 выпуклой оболочки см., например, в [22]). При доказательстве результатов в работе [33] используются как классические результаты Ю. Г. Решетняка [6], так и новый элегантный метод разделяющих квазиконформных кривых, разработанный Л. Секельхиди.

В настоящей диссертации вопрос о решениях дифференциального соотношения (36) исследуется в классической постановке — для - гладких функций. Опишем, наконец, один из тех феноменов жесткости, которые изучается в данной работе. Известен классический результат, что если - гладкая функция v=v(x,t), определенная в области, удовлетворяет дифференциальному уравнению гамильтонова типа

(38)

где j:R®R — - гладкая функция, то через каждую точку zÎW проходит прямая линия (характеристика), на которой градиент Dvºconst (см., например, [35, §55]). Поскольку в уравнении (38) участвуют только первые производные функции v, естественно возникает вопрос, сохранится ли указанное свойство, если предполагать только лишь - гладкость отображения v и, соответственно, лишь непрерывность функции j? Стремление к наиболее естественной постановке вопроса приводит нас к следующей более общей проблеме.

Проблема 1. Пусть -гладкая функция v:W®R области обладает свойством

IntDv(W)=Æ, (39)

где символом Int обозначена внутренность множества. Будет ли тогда выполнено следующее утверждение: существует не более чем счетное множество E такое, что для каждой точки zÎW, удовлетворяющей условию

Dv(z)∉E, (40)

найдется прямая линия L, zÎL, такая, что Dvºconst на компоненте связности множества LÇW, содержащей точку z?

(Отметим, что не более чем счетное исключительное множество E появляется уже в - гладком случае, поэтому такая формулировка естественна.) На примере процитированных выше результатов мы видим, как драматически может меняться ситуация с решениями дифференциальных соотношений при уменьшении гладкости. Поэтому интуитивно складывается ощущение, что ответ в Проблеме , вообще говоря, должен быть отрицательный. Это ощущение владело и западными специалистами. Приведем один характерный пример. В недавней работе [36] Я. Колар и Я. Кристенсен пытались доказать (усиливая результаты своих предшественников), что непостоянная - гладкая функция с компактным носителем обладает свойством, где символом Cl обозначено замыкание множества. Это свойство, очевидно, является тривиальным следствием положительного ответа на вопрос в Проблеме . Но авторы [36] даже и не пытаются ставить такую проблему, а свой результат они доказывают только при дополнительных предположениях на модуль непрерывности градиента Dv (типа гельдеровости). Видимо, тут сказалось то обстоятельство, что Я. Кристенсен, работая в Оксфорде в тесном контакте с упомянутыми Дж. Боллом и Б. Кирхеймом, хорошо знал те осложнения, которые может приносить уменьшение гладкости на единицу. Упомянутое ощущение до некоторой степени довлело и над его чешским соавтором Я. Коларом, и над некоторыми другими чешскими математиками (например, на конференции 35th Winter School in Abstract Analysis 2007 в Лоте над Рохановым, Чехия, М. Зеленый (M. Zeleny) в личной беседе с автором настоящей диссертации поведал о бывшем у него убеждении, что для общего случая - гладких функций результат Колара – Кристенсена неверен, и он некоторое время пытался даже построить соответствующий контрпример).

На примере приведенного результата Я. Колара и Я. Кристенсена видно, что решение Проблемы 1 помогает получить информацию о множестве значений градиента функции v. Возникает

Проблема 2. Каким условиям должно удовлетворять множество , чтобы дифференциальное соотношение

Dv(x)ÎK  для всех xÎW (41)

имело нетривиальные - гладкие решения?

установлено (см. [37]), что ответ в Проблеме 1 оказался все-таки положительным. С помощью этого результата в ходе данного проекта удалось существенно продвинуться в решении трудной Проблемы 2. При этом большую роль играют методы теории изэнтропических решений квазилинейных уравнений с частными производными.

В теории квазилинейных уравнений законов сохранения фундаментальную роль играет понятие энтропийного решения. Это понятие появилось после пионерской работы Хопфа в работах [38], [39]. На базе этого фундаментального понятия удалось построить общую теорию глобальной разрешимости для некоторых важных классов дифференциальных уравнений. Теория энтропийных решений вошла уже в разряд мировой классики. Отталкиваясь от понятия энтропийного решения, ученик профессор Панов Е. Ю. ввел в своей кандидатской диссертации (1991) новое понятие изэнтропического решения. Говоря упрощенно, определение изентропического решения получается из определения энтропийного решения, если в последнем знак неравенства заменить знаком равенства. Первыми статьями, в которых обсуждалась теория изентропических решений, были совместные работы и [40], [41].

Оказалось, что с помощью теории изэнтропических решений и других современных методов можно решить некоторые давно стоявшие проблемы. Например, совместно с Пановым Е. Ю. [41] нашли необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию j с тем, чтобы Гамильтона-Якоби на плоскости имело нетривиальные (т. е. неаффинные) - гладкие решения. В последнем уравнении производные, лишь непрерывны и, как может показаться сначала, это соотношение не может дать ничего больше естественного свойства непрерывности функции j. Однако, согласно неожиданному результату и , функция j должна удовлетворять достаточно жестким аналитическим условиям, в частности, j должна быть дважды дифференцируема почти всюду. Этот результаты соприкасаются с указанным выше направлением исследований дифференциальных соотношений вида (41).

Развитию этих результатов была посвящена серия работ [37], [42], [43]. В работе [37] исследовал более сложную проблему: случай произвольной - гладкой функции v двух переменных, у которой внутренность множества значений градиента пуста. В этом случае он установил, что множество значений градиента функции v локально представляет собой кривую, которая имеет в каждой точке касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации. В то же время удалось [43] построить - гладкую функцию двух переменных, у которой множество значений градиента является дугой, не имеющей касательной (в обычном смысле) ни в одной точке. Указанные результаты нашли применение в геометрии. А именно, оказалось, что график функции v, о которой шла речь выше, представляет собой нормальную развертывающуюся поверхность [37].

Вообще, вопрос о том, каким условиям должно удовлетворять множество K, чтобы оно было образом градиента - гладкой функции, привлекает внимание многих зарубежных исследователей. Отметим сравнительно уже упомянутую статью [KolarKristensen05], в которой доказано, что если множество K является образом градиента некоторой функции, v¹const, и если выполнены некоторые дополнительные условия (гельдеровость Ñv и т. п.), то множество K является замыканием своей внутренности. Вопрос о том, будет ли это утверждение верным, если мы отбросим упомянутые дополнительные условия типа гельдеровости Ñv, несколько лет оставался нерешенным. Положительный ответ на этот вопрос был получен в работе  [37].

Отметим также работы [44], [45], в которых изучались геометрические свойства образов производных дифференцируемых (негладких) функций в многомерном случае изучались ранее.

Подводя некоторый итог, можно сказать, что теория изентропических решений д. у. для случая функций двух переменных в значительной степени уже построена, и найдены ее обильные приложения в анализе и геометрии. Однако для случае функций многих переменных в теории изентропических решений сделаны лишь первые штрихи (см., например, [41]). Принципиальные открытые вопросы начинаются здесь уже на уровне определений. Например, до сих пор неясно, верно ли, что всякое непрерывное обобщенное решение соответствующего квазилинейного уравнения является его изентропическим решением? Не вызывает сомнений, что ответы на подобные вопросы позволят получить ряд новых тонких результатов не только в теории д. у., но и в анализе. Указанный ниже результат является важным шагом в данном направлении.

1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий

1.4.1 Дифференциальной формой степени k на гладком многообразии X называется произвольное локально-интегрируемое сечение над X расслоения внешней степени кокасательного расслоения T'X. Две формы на X одинаковы, если они совпадают на X почти всюду.

Дифференциальная форма ω степени k на X обобщенно дифференцируема, если существует такая дифференциальная форма θ степени k+1 на X, что для каждой гладкой формы φ, носитель которой компактен, не пересекается с краем многообразия X и содержится в ориентируемой области , выполнено равенство

Этим равенством форма θ определяется однозначно. Форма θ называется дифференциалом dω формы ω.

Предположим теперь, что на X задана гладкая риманова метрика. Эта метрика порождает в каждом слое расслоения скалярное произведение. Поэтому для каждой формы ω почти всюду на X определена функция |ω(x)|. Положим

Здесь и в дальнейшем означает меру на X, порожденную римановой метрикой многообразия X.

Пространство состоит из дифференциальных форм ω степени k, для которых , а пространство . Пространство является банаховым относительно нормы . Отметим, что пространства и совпадают.

Лемма 1 ([46]). Если риманово многообразие D полно относительно метрики , то гладкие на D формы, имеющие компактный носитель, плотны в при .

Пусть X – k-мерное гладкое ориентируемое многообразие без края конечного объема, – единичный шар в , . Пространство образовано k-формами, модуль которых интегрируем в степени p, а модуль дифференциала в степени q.

В следующем утверждении для дифференциальных форм установлен аналог аналог теоремы вложения Соболева о вложении пространства Соболева в пространство суммируемых функций.

Теорема 1. Пусть ω – гладкая форма с компактным носителем на D, . Тогда существует константа C, зависящая только от X, m, p, q, такая, что выполнено неравенство

Если форма , то в силу леммы 1 существует такая последовательность гладких k-форм с компактными носителями , что Это свойство позволяет определить интеграл

Пусть есть другая последовательность гладких форм с компактными носителями , что Тогда

Таким образом, для любой формы , для почти всех определен интеграл

Для того, чтобы выяснить, для каких слоев определен воспользуемся фундаментальной теоремой Лебега ([47]) и определением интеграла для случая q>m (см., например, [46]). Тогда получаем следующее:

Пусть – n-мерное гладкое компактное ориентируемое многообразие с краем , совпадающим с теоретико-множественная границей X, край обладает индуцированной ориентацией. В силу того, что

пространства и совпадают, интеграл определен выше.

Пусть и выполнено условие существования :

В следующей теореме описаны условия, при выполнении которых справедлива формула Стокса для суммируемых форм, имеющих слабый суммируемый дифференциал.

Теорема 3. Для описанного выше многообразия X, и формы справедлива формула

Теорема 4. Для каждого 1≤ q<m, q≤p существует постоянная C, зависящая только от X, m, k, p, q, такая, что для всех Bm(R)ÌRm и для всех wÎWkp,q(X´Bm(R)) выполнено неравенство

где , и .

1.4.2 Цель исследования – изучение нового класса отображений, который можно рассматривать, естественным образом обобщающий класс отображений с ограниченным искажением. Новый класс отображений служит новым средством для классификации римановых многообразий.

1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли

1.5.1 В рамках анонсированных на данный этап задач были проведены следующие теоретические исследования.

1) Для одной системы векторных полей изучена зависимость между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для этих целей было введено понятие обобщенного неравенства треугольника в точке, и найдены условия для его выполнения.

В некоторой области O, принадлежащей евклидовому пространству RN рассмотрим набор Cr- гладких базисных векторных полей X1,…,XN, т. е. набор таких векторных полей, значения которых в каждой точке g, принадлежащей O, образуют базис касательного пространства TgO. Векторные поля X1,…,XN некоммутирующие, т. е. всюду в O имеет место следующая таблица коммутаторов

[Xk, Xl]=∑j=1N CkljXj, Cklj Cr-1(O), (42)

где функции Ckljне равны нулю тождественно. Для каждого положительного N-мерного вектора α=(α1,...,αN), где координаты вектора α упорядочены по возрастанию и больше либо равны 1, определим на области O квазиметрику dα (анизотропную метрику) следующим образом

dα (u, v)=max{|ai|1/αi, i=1,...,N}, где v=exp(a1X1+...aNXN)(u), ai=const; (43)

в силу известных теорем о диффеоморфности экспоненциального отображения такие константы ai существуют и единственны, величины 1/αi играют роль показателей анизотропности метрики dα вдоль направлений Xi. Напомним, см., например, [48] что неотрицательная функция d, определенная на A×A, где A─ некоторое множество, называется квазиметрикой, если:

1) величина d(u, v) больше либо равна 0 (аксиома неотрицательности); d(u, v)=0 тогда и только тогда, когда u=v (аксиома тождества);

2) d(u, v)≤ c1d(v, u) для некоторой константы c1, не зависящей от выбора u, v; в случае, когда c1=1, говорят, что d удовлетворяет аксиоме симметричности;

3) d(u, v) ≤ c2 (d(u, w)+d(w, v)) для некоторой константы c2, не зависящей от выбора u, v,w (обобщенное неравенство треугольника).

В случае, когда c1= c2=1, функцию d называют метрикой.

В предыдущий отчетный период нами были найдены необходимые и достаточные условия в терминах таблицы (0.1) и соотношений между компонентами вектора α для того, чтобы метрическая функция dα являла собой квазиметрику. За отчетный период для квазиметрик вида (0.2), индуцированных базисными векторными полями X1=(1,0,0,xy),X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1) , изучена взаимосвязь между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для этих целей нами введено следующее понятие. Неотрицательная функция f, определенная на A×A, удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника в точке u, если найдется константа Qu(f) такая, что для всех точек g, v, принадлежащих множеству A, выполняется f(u, v)≤ Qu (f(u, g)+ f(g, v)). Нами рассмотрены следующие квазимертики d1(u, v)=max{|ai|}, d2(u, v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/2},

d3(u, v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/3}, индуцированные векторными полями X1,X2, X3, X4, введенными выше, по правилу (43).

Утверждение 1. 10 В точках u=(x, x,t, z) функция Qu(d3) ограничена некоторой константой Q, на множестве R4\ {(x, x,t, z)} функция Qu(d3) равна бесконечности; 20 функции d1, d2 удовлетворяют обобщенному неравенству треугольника на каждой ограниченной области O из R4.

Результат утверждения 1 проанализирован с точки зрения существования так называемого нильпотентного касательного конуса. А именно, рассмотрим таблицу (0.1) для векторных полей X1,X2, X3, X4 в точке (0,0,0.0). Нетрудно проверить, что в этом случае Cklj=0 для всех i, j,k. Заметим, что каноническая алгебра Ли со структурными константами, тождественно равными 0, − стандартное евклидово пространство R4. Тогда в точке 0=(0,0,0,0), принадлежащей области определения векторных полей X1,X2, X3, X4 , мы можем формально определить нильпотентный касательный конус с векторным полям X1,X2, X3, X4 как группу Ли G, соответствующую векторным полям (Θ0)*ei, i=1,2,3,4, где ei − стандартные евклидовы орты пространства R4, Θ0 − экспоненциальное отображение, индуцированное векторными полями X1,X2, X3, X4, с центром в точке 0. Однако векторные поля (Δ1/ε0)*εdeg XiXi не сходятся к векторным полям (Θ0)*ei, i=1,2,3,4, при ε→0, где Δt0 = Θ0 ◦δt◦ Θ0, δt(a, b,x, y)=(tdegX1a, tdegX2b, tdegX3x, tdegX4y),

deg X1=degX2=1, deg X3=2, deg X4=3, хотя имеет место следующее

Утверждение 2. (Δ1/ε0)*εdeg XiXi (uε)= Xi (u), где uε= Θ0(εdegX1a, εdegX2b, εdegX3x, εdegX4y), u= Θ0(a, b,x, y) Î Box3(0, ε0)={uÎ R4 | d3(0,u)<ε0}.

При этом имеет место следующее

Утверждение 3. Если deg X1=degX2=1, deg X3=deg X4=2, то при ε→0 мы имеем на множестве Box2(0, ε0)={uÎ R4 | d2(0,u)<ε0} следующие равномерные сходимости (Δ1/ε0)*εdeg XiXi (uε)→(Θ0)*ei (u), i=1,2,3,4,

u= Θ0(a, b,x, y) Î Box2(0, ε0), [(Δ1/ε0)*εdeg XiXi,(Δ1/ε0)*εdeg XjXj ]→0,

2) Для 2-ступенчатых групп Карно доказано, что их шары в метрике Карно − Каратеодори удовлетворяют условию внутреннего cc-однородного конуса.

Области, удовлетворяющие условию конуса, важны в теории пространств Соболева в теоремах вложения и интегральных представлениях типа Соболева через интегралы от самой функции и всех ее производных данного порядка. Области, удовлетворяющие условиям внутреннего и внешнего конусов, а также их обобщения (NTA-области, введенные Джерисоном и Кенигом [49]) играют важную роль в гармоническом анализе на евклидовых пространствах. Понятие однородного конуса в метрике Карно−Каратеодори (cc-однородный конус) одними из первых ввели Л. Капонья и Н. Гарофало [50] в гг. в работах, связанных с граничным поведением решений субэллиптических уравнений на пространствах Карно−Каратеодори [51]. Примером таковых пространств являются группы Карно [52], в частности, группы Гейзенберга, снабженные метрикой Карно−Каратеодори. Отметим, что в работах [50] на двуступенчатых группах Карно был построен достаточно широкий класс ограниченных областей, удовлетворяющих условию однородного конуса; таковыми, в частности, являются области с C1,1- гладкой в обычном смысле границей. Существенным при построении таких примеров является то, что интегральные линии левоинвариантных векторных полей двуступенчатых групп Карно − обычные прямые линии. Однако данный факт не имеет места для групп Карно ступеней выше, чем 2, поэтому исследование ограниченных областей с гладкой границей на предмет их принадлежности классу областей, удовлетворяющих условию внутреннего однородного конуса затруднительно. Поэтому актуален поиск областей, удовлетворяющих условию cc-внутреннего однородного конуса, в классе областей с негладкой границей, тем не менее удовлетворяющих хорошими с точки зрения внутренней геометрии группы Карно метрическими свойствами. Таковыми областями являются, например, шары в метрике Карно − Каратеодори группы Карно. Такую задачу мы решаем для 2-ступенчатых группалгебр Карно (каноническая реализация групп Карно). 2-ступенчатую группалгебру Карно G мы можем рассматривать как евклидово пространство RN с системой координат (x1,….xN) =x и следующей групповой операцией