Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред (стр. 1 )

Федеральное агентство по науке и инновациям

УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3

Госрегистрация: №

Инв. №:

Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред»

Наименование этапа: Этап №3

Шифр: НК-408П/67

Институт математики им. СО РАН

Новосибирск – 2011

Содержание

Введение 3

Аннотированная справка по этапу №1 4

Аннотированная справка по этапу №2 9

1 Аналитический отчет о проведении теоретических и (или) экспериментальных исследований 13

1.1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости 13

1.2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях 32

1.3 Энтропийные решения в теории упругости 34

1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субри-

мановых многообразий 45

1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли 49

1.6 Исследование регулярности решений дифференциальных урав-

нений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии вектор-

ных полей 65

2 Отчет по обобщению и оценке результатов исследований 74

2.1 Модели, методы, программы и (или) алгоритмы, позволяющие

увеличить объем знаний для более глубокого понимания изучаемого предмета исследования новых явлений, механизмов или закономер-

ностей 74

2.2 Рекомендации по возможности использования результатов НИР в реальном секторе экономики 82

3 Публикации результатов НИР 8

4 Заключение 109

5 Список литературы 111

Введение

Ниже мы приводим научный отчет по НИР «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред», выполненной в рамках этапа № 3, государственный контракт от 01.01.01 г., №П2224, шифр НК-408П/67. НИР выполнялась в рамках программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на гг. Основу коллектива составили ученики и коллеги д. ф.-м. н., профессора .

Целью отчетного, заключительного периода НИР являлась разработка подходов и методов комплексного применения различных методов математического анализа в задачах механики сплошных сред, а также теории, лежащей в основе этих методов, и на их основе – подготовка высококвалифицированных специалистов, формирование и развитие научно-исследовательского коллектива, специализирующегося в области геометрического анализа и математических методов в физике.

За отчетный период был охвачен широкий круг научных вопросов по смежным вопросам теории упругости, анализа, геометрии и уравнений в частных производных. Получены новые результаты, которые были успешно внедрены согласно условиям государственного контракта, в образовательный процесс. Коллектив успешно выполнил основные задачи, сформулированные в Календарном плане отчетного этапа. В этом плане технического задания по проекту мы заявили следующие взаимосвязанные темы.

1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости.

2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях.

3 Энтропийные решения в теории упругости.

4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

6 Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

Ниже, согласно вышеперечисленным темам, мы изложим аналитический обзор проблематики и результаты, полученные за отчетный период, а также кратко перечислим результаты, полученные на предыдущих этапах НИР (в аннотированных справках).

Аннотированная справка по этапу №1

1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. Решена задача о приведении уравнений теории упругости с конечными деформациями в лагранжевых переменных с общим поливыпуклым потенциалом к каноническому термодинамически согласованному представлению . Показано, что широкий класс упругих потенциалов можно приближать с произвольной точностью квазиизометрическими потенциалами, так что решение задач стационарной теории упругости существует и является квазиизометрическим отображением. При этом, в отличие от классических результатов Дж. Бола, не требуется вводить в упругий потенциал зависимость от матрицы кофакторов матрицы Якоби упругой деформации. Проведены предварительные численные эксперименты по вычислению упругих деформаций при несогласованных начальных полях напряжений. Исследована возможность приближения квазиизометрических отображений кусочно-аффинными гомеоморфизмами. В частности, показано, что такое приближение возможно, если двумерное квазиизометрическое отображение принадлежит некоторому подклассу отображений ПРВ (представимых разностью выпуклых функций).

2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Изучены и доложены на научном семинаре диссертации D. Vittone и F. Bigolin’а (2008 г.), в которых излагается недавно обнаруженная неожиданная связь между уравнением Бюргерса (простейший закон сохранения) и регулярными параметризациями поверхностей на группе Гейзенберга. Эта связь открывает новые перспективы исследований как для теории законов сохранения, так и для теории поверхностей в неголономных многообразиях. Мы планируем детально изучить применение теории поверхностей в субримановых пространствах в теории законов сохранения, а именно, обобщая результаты работ Vittone и Bigolin’а, проанализировать, какие дополнительные свойства законов сохранения, полезные для построения их строгой математической теории, позволяет получить обнаруженная связь. В частности, планируется выяснить область применимости метода параметризации поверхностей в других неголономных пространствах к задачам нелинейной теории упругости и пластичности и других систем уравнений, включающих в себя законы сохранения.

3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в многомерном случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. С помощью этого результата планируется получить ряд других результатов в анализе, в частности, выяснить строение множества значений градиента - гладких функций в многомерном случае.

4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

4.1. Введены новые классы соболевских гомеоморфизмов, обратные к которым также являются соболевскими. Новый класс гомеоморфизмов содержит в качестве подкласса отображения с конечным искажением.

4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфного соответствия) оператора суперпозиции пространств Соболева, заданных на римановых многообразиях одинаковой размерности, индуцируемого измеримым отображением. Данные условия эквивалентны ограниченному изменению длины кривой, заданной на одном многообразии, при перенесении на другое, то есть оценке близости геометрий двух римановых многообразий.

4.3. Получены неравенства типа Соболева и типа Пуанкаре для дифференциальных форм.

5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

5.1. Доказана формула площади для липшицевых (относительно субримановых метрик) отображений пространств Карно – Каратеодори (или многообразий Карно). В частности, получено аналитическое выражение для субриманова якобиана (через субриманов дифференциал). Также используется удобная для вычислений квазиметрика, свойства которой значительно упрощают исследования липшицевых (в субримановом смысле) поверхностей. Заметим, что ранее, с помощью стандартной схемы формула площади была получена независимо V. Magnani и S. D. Pauls’ом для липшицевых отображений групп Карно, то есть, для более частного случая. При этом явное аналитическое выражение для якобиана получено не было. Предложенная схема доказательства является принципиально новой даже для классического случая отображения евклидовых пространств.

5.2. На топологическом пространстве растяжения можно определить как непрерывные однопараметрические семейства стягивающих гомеоморфизмов, заданных в окрестности каждой точки. Мы доказали, что, при определенных дополнительных условиях, растяжения позволяют ввести в окрестности каждой точки локальную группу, которая локально изоморфно нильпотентной градуированной группе Ли. Более того, если на пространстве задана (квази)метрическая структура, определенным образом согласованная с растяжениями, то полученную группу можно рассматривать как касательный конус к соответствующему (квази)метрическому пространству. Исследование мотивировано изучением метрических свойств пространств Карно – Каратеодори.

5.3. Исследуется аппроксимативная дифференцируемость измеримых отображений пространств Карно-Каратеодори. Доказано, что аппроксимативная дифференцируемость почти всюду эквивалентна аппроксимативной дифференцируемости вдоль базисных горизонтальных векторных полей почти всюду. Полученные результаты обобщают теоремы Степанова (1923 и 1925 года), Уитни (1951 года) и Водопьянова (2000 года).

5.4. Доказано существование ограниченных равномерных областей в метрике Карно - Каратеодори на группе Энгеля.

5.5. Исследуется жесткость изометрий на первой группе Гейзенберга. Доказано, что всякая квазиизометрия области Джона близка к некоторой изометрии на всей области определения. Найдена асимптотически точная оценка близости в равномерной норме.

6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

6.1. Рассмотрены субэллиптические системы в трехмерном случае. Получены оценки норм Бесова слабых решений таких систем, сходные с классическими оценками Шаудера. Доказано несколько вспомогательных утверждений относящихся к теории функциональных пространств. Полученные оценки могут быть использованы для построения метода решения некоторых краевых задач. Показано, что исследуемые системы описывают важные в приложениях модели теории упругости.

6.2. Проведено предварительное исследование некоторых модельных пространств Карно – Каратеодори для последующего описания на этих пространствах групп конформных и изометрических преобразований.

6.3. Исследуются свойства решений одного класса квазилинейных уравнений субэллиптического типа. Изучена литература по данному вопросу и выявлены приоритетные направления развития.

Аннотированная справка по этапу №2

1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. В ходе выполнения проекта было впервые построено каноническое термодинамически согласованное представление уравнений нелинейной теории упругости в эйлеровых переменных для общей поливыпуклой внутренней энергии; было доказано, что систему уравнений нелинейной теории упругости можно регуляризовать таким образом, чтобы ее решение было не просто соболевским гомеоморфизмом, но и квазиизометрическим отображением, причем постоянные квазиизометрии можно подобрать так, чтобы приблизить внутреннюю энергию упругого материала с произвольной точностью; была доказана теорема существования для регуляризованной задачи; для вариационного метода построения мерозначных энтропийных решений уравнений нелинейной теории упругости был предложен и исследован дискретный вариационный принцип, практически для всех известных поливыпуклых упругих потенциалов и для их квазиизометрических регуляризаций была доказана сходимость градиентного метода к стационарной точке функционала.

2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Основным примером неголономных многообразий, играющих важную роль в механике сплошных сред, являются многообразия Карно. На данном этапе, целью являлось исследование геометрических и аналитических свойств множеств уровня контактных отображений многообразий Карно, в частности, изучение их характеристических точек. Доказано, что для контактных отображений многообразий Карно субриманова мера Хаусдорфа характеристических точек на почти каждом множестве уровня равна нулю. В качестве приложения выведена формула коплощади.

3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в плоском случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Полученные результаты связаны с теорией отображений с ограниченным (конечным) искажением и с теорией квазивыпуклых множеств и функций.

4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

4.1. Для гомеоморфизмов некоторых классов Соболева с первыми обобщенными производными найдено оптимальное условие на искажающую функцию, содержащее в себе и условия регулярности для обратного отображения (т. е. принадлежность обратного классу Соболева и некоторые условия на его функцию искажения).

4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфности) оператора суперпозиции соболевских пространств с первыми обобщенными производными, индуцируемого измеримым отображением римановых многообразий. Если индуцированный отображением оператор суперпозиции – изоморфизм пространств Соболева, то отображение отличается от квазиизометрического гомеоморфизма лишь на множестве нулевой меры.

5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

5.1. Для класса достаточно гладких векторных полей найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы анизотропные метрические функции были действительно квазиметриками в области определения векторных полей. Исследована асимптотика этих метрических функций. На примере системы векторных полей X1=(1,0,0,xy), X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1) изучена взаимосвязь между тем фактом, что анизотропная метрическая функция, индуцированная этими векторными полями, удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника в выделенной точке g, и корректностью определения нильпотентного касательного конуса по значениям функций в точке g из таблицы коммутаторов этих векторных полей.

5.2. Разработан аксиоматический подход к теории локальных касательных конусов регулярных пространств Карно—Каратеодори, основанный на рассмотрении абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями, а также концепция дифференцируемости отображений между такими пространствами. Доказано, что касательный конус к (квази)метрическому пространству представляет собой нильпотентную градуированную группу.

5.3. Исследована алгебраическая структура касательного конуса в нерегулярной точке к многообразию Карно в условиях, когда порождающие пространство векторные поля имеют размерность 2M, где M—глубина многообразия Карно.

6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

6.1 Получены новые априорные оценки решений субэллиптических уравнений. Доказаны теоремы вложения и интерполяционные оценки для пространств Бесова, определяемых в терминах разностей вдоль траекторий левоинвариантных и правоинвариантных векторных полей на группе Гейзенберга. Построен новый метод нахождения решений задачи Неймана для субэллиптических уравнений в подходящих функциональных пространствах. Даны два новых определения классов Соболева для функций, заданных в области евклидова пространства, со значениями в группе невырожденных матриц. Доказана их эквивалентность.

6.2 На общих группах Карно установлены интегральные представления типа Соболева. На областях Джона групп Карно доказаны коэрцитивные оценки для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром, неравенства Пуанкаре и теоремы вложения Соболева функциональных пространств. В теоремах вложения приведены явные оценки на нормы операторов вложения в зависимости от области Джона. Операторы вложения исследованы на вполне непрерывность.

1  Аналитический отчет о проведении теоретических и экспериментальных исследований

1.1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости

В дальнейшем при записи уравнений используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, а использование переменной в качестве нижнего индекса означает дифференцирование по этой переменной.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

(1)

где ,

Говорят, что у системы уравнений (1) существует энтропийная пара (см, например, (Кружков, 1970), если можно найти выпуклую функцию и функции , такие, что

Энтропийным решением системы уравнений (1) называют функцию , для которой выполнено дифференциальное неравенство

(2)

Решение системы (1), для которого (2) является равенством, называется изэнтропийным решением.

В работах был предложен способ выбора вектора переменных и специальных потенциалов , , с использованием которых многие системы уравнений математической физики можно привести к следующему каноническому виду.

(3)

где функция является строго выпуклой, а обозначает частную производную по . При этом энтропийные решения системы уравнений (3) удовлетворяют неравенству

(4)

которое становится равенством на гладких решениях.

Недивергентная запись системы уравнений (3) выглядит следующим образом

(5)

Система уравнений является (5) симметрической и гиперболической по Фридрихсу, поскольку матрица является симметрической и положительно определенной, а матрицы являются симметрическими.

Рассмотрим потенциалы специального вида, допускающие следующее представление

(6)

где для функции составляют бездивергентное векторное поле , для которого справедлив закон сохранения

(7)

Обозначим через следующую неполную производную по

(8)

В качестве обобщенной канонической системы возьмем систему

уравнений

(9)

которая дополняется энтропийным неравенством

(10)

переходящим в равенство на гладких решениях.

Стоит заметить что дополнительный закон сохранения (7) является следствием выполнения равенств (9), т. е. необходимо искать такое обобщенное решение (9), что если условие бездивергентности (7) выполнено в начальный момент времени, то оно будет справедливо и при .

Очевидно, что функции можно выносить из под знака производных в уравнении (9). Так что для системы (9) недивергентное представление выглядит как

(11)

где неполные производные являются симметрическими, поскольку

Как каноническое представление Годунова, так и его обобщение (9) строятся при помощи преобразования Лежандра, так что применительно к системе (1) должны выполняться следующие соотношения

(12)

Таким образом, если удается найти набор потенциалов , для которого выполнены равенства (12), то система уравнений (9) совпадает с исходной системой (1), что оправдывает произвол использования неполной производной в определении обобщенной канонической формы записи (9).

Покажем, что из факта существования канонического представления (9) следует возможность симметризации и для исходной системы уравнений. Недивергентная запись системы (1) выглядит так

(13)

где неполная производная задается как

Таким образом, система уравнений (13) симметризуется, если ее умножить слева на симметрическую положительно определенную матрицу . Пусть - лагранжевы координаты, - эйлеровы координаты материальной точки. Отображение задает деформацию упругого тела. Матрица Якоби отображения обозначается через , где . Обозначим через упругий потенциал, а через - компоненты вектора скорости. Систему уравнений нелинейной акустики можно записать как систему уравнений первого порядка

а в качестве энтропийной функции выбрать полную энергию

где - начальная плотность, которую будем полагать постоянной.

Как известно, полученную систему можно формально симметризовать, но для реальных материалов она не будет гиперболической по Фридрихсу, поскольку функция , как правило, является невыпуклой функцией своих аргументов. Однако, если величину рассматривать как новую неизвестную величину, то можно записать как выпуклую функцию. При этом расширенная система уравнений теории упругости выглядит так

			(14)

где роль энтропии играет полная энергия .

Для описания процессов в металлах при высоких давлениях в работе (Годунов, Пешков, 2008) был предложен упругий потенциал, который можно представить в виде суммы ``газовой'' составляющей и ``упругой'' составляющей. ``Газовая'' составляющая выводится из предположения, что среда удовлетворяет так называемому ``двучленному'' уравнению состояния (Годунов, 1976), что позволяет получить следующее выражение для внутренней энергии в единице объема (Годунов, Пешков, 2008)

(15)

-энтропийная функция, заданная как

- удельная теплоемкость при постоянном объеме, а где обозначает удельный объем, и

Поскольку потенциал не учитывает касательные напряжения в среде, в (Годунов, Пешков, 2008) было предложено добавить к нему ``упругую'' составляющую, которую можно рассматривать как меру касательных напряжений

			(16)

где обозначает -е сингулярное значение матрицы . Для того, чтобы добиться поливыпуклости суммарного упругого потенциала, в работе (Годунов, Пешков, 2008) пришлось сделать предположение об ограниченности искажения формы, т. е. об ограниченности сверху величин для произвольных . В ходе выполнения данного проекта, в гг. была предложена мера касательных напряжений в среде, которая удовлетворяет условию поливыпуклости, и аппроксимирует (16):

(17)

При этом удалось показать, что в квадратичном приближении функции и совпадают, и остаются близки при достаточно сильных сжатиях и расширениях материала.

Итоговый упругий потенциал можно записать следующим образом

(18)

Функция обладает следующими свойствами:

является выпуклой функцией своих аргументов;

есть функция главных инвариантов матрицы ;

Поскольку справедливо неравенство , то потенциал можно использовать для получения канонической системы уравнений Годунова. Таким образом, небольшая модификация упругого потенциала из работы (Годунов, Пешков, 2008) позволила добиться его выпуклости по всей совокупности аргументов. Ниже показано, что использование подобного приближения позволяет резко уменьшить вычислительные затраты на наиболее сложном этапе реализации схемы Годунова для уравнений теории упругости - на этапе реализации распада разрыва. Для упрощения сравнения с работой (Годунов, Пешков, 2008), будем полагать, что процесс деформации является адиабатическим, т. е. , а роль негэнтропии играет полная энергия.

Как известно, при реализации схем, основанных на распаде разрыва, ключевым этапом является решение линеаризованных одномерных нестационарных задач гиперболического типа с использованием инваринтов Римана. При этом необходимо симметризовать систему (13), как указано выше, и решать спектральные задачи, которые необходимы для построения инвариантов Римана.