Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред (стр. 4 )

a·x=a+x+1/2 [a, x]=La(x) − левый сдвиг x на элемент a, (44) коммутатор [a, x] определяется при помощи следующей формальной таблицы

[ek, el]=∑j=1N Ckljej, deg ek =deg el=1, deg ej=2, Cklj =const, (45)

где ei − базисные орты евклидова пространства RN, разделенные на два непересекающихся множества E1, E2; орты ek, принадлежащие Ei, имеют степень deg ek =i, и все константы Cklj из (0.4), для которых k+l>2, равны нулю. Будем считать, что первые N1 ортов образуют E1, остальные образуют E2. Стандартным образом, используя (0.3), определяются левоинвариантные базисные векторные поля X1,…,XN. Пусть V1 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на первые N1 векторные поля Xi,

V2 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на

оставшиеся векторные поля. Из определения 2-ступенчатой группалгебры Карно вытекает, что V2=[V1, V1]. Векторные поля, принадлежащие V1, называются горизонтальными. Единица группалгебры G совпадает с точкой 0 (начало координат евклидова пространства RN), для каждого uÎ G мы имеем u-1=-u. Параметризованная абсолютно непрерывная кривая γ(s), где s принадлежит отрезку [0,s0], называется горизонтальной, если для почти всех s ее касательный вектор в точке s принадлежит векторному пространству V1(γ(s)). Длина параметризованной горизонтальной кривой γ(s) определяется при помощи формы скалярного произведения, индуцированной векторными полями X1,…,XN, стандартным образом. По теореме Рашевского — Чоу  любые две точки группалгебры Карн мы можем соединить абсолютно

непрерывной параметризованной горизонтальной кривой конечной длины. Метрика Карно — Каратеодори dcc определяется на G как

dcc(u, v)=inf l(γ), где γ−горизонтальная абсолютно непрерывная кривая, соединяющая точки u, v. На метрическом пространстве (G, dcc) действует однопараметрическая группа растяжений δt, t>0, по правилу

δt(x)=δt(x1,….xN)=(tdeg e1 x1,…., tdeg eN xN).

Метрика dcc инвариантна относительно левых сдвигов и действия группы растяжений, т. е. dcc (Lau, Lav)=dcc (u, v), dcc (δtu, δtv)=t dcc (u, v). Открытые шары в метрике dcc с центром в точке u радиуса R мы будем обозначать символом Bcc(u, R) (СС-шары). Множество C(u, h,r) назовем cc-однородным конусом с вершиной в точке u, высотой h, радиусом r, если C(u, h,r) представляет собой объединение параметризованных кривых вида

uδt(x), где x принадлежит некоторому cc-шару Bcc (y, r), а u не принадлежит

Bcc (y, r). Говорим, что ограниченная область D удовлетворяет условию cc-внутреннего cc-однородного конуса, если найдется константа K>0 такая, что

для каждой точки uÎ∂D найдется cc-однородный конус C(u, h,r) Îcl D, h=h(u), r=r(u), такой, что K-1< h(u)<K, K-1< r(u)<K, где константа K не зависит от u.

Доказательство выполнения условия внутреннего cc-однородного конуса для cc-шаров 2-ступенчатых группалгебр Карно базируется на следующих фактах: C∞-гладкость cc-кратчайших 2-ступенчатых группалгебр Карно и некоторых равномерных оценках производной произвольной cc-кратчайшей 2-ступенчатой группалгебры Карно. Методы получения таких оценок основаны на детальном изучении cc-кратчайших как экстремалей соответствующей неголономной вариационной задачи.

1.5.2 Цель исследования – получение тонких свойств экстремальных поверхностей на неголономных структурах: в субримановой и сублоренцевой геометрии. Известно, что экстремальные поверхности важны для решения многих прикладных и теоретических задач.

Минимальные (или, в более общем случае, экстремальные) поверхности – естественные обобщения геодезических. В евклидовых пространствах минимальные поверхности играют одну из основных ролей, так как они часто возникают в природе: простейшим примером минимальной поверхности является мыльная пленка. В неголономной геометрии вопрос об их регулярности является одним из наиболее трудных и важных. В настоящее время исследованы только частные случаи неголономных минимальных поверхностей Н. Гарофало, его коллегами и учениками. Приложения минимальных поверхностей к построению моделей визуализации описаны в [53]-[55]. Доказано, что принципы, по которым человеческий мозг достраивает отсутствующую часть черно-белого изображения, основаны на свойствах минимальных поверхностей двуступенчатых пространств Карно – Каратеодори. Так как важно построение моделей визуализации для цветных изображений, то необходимо исследовать тонкие свойства минимальных поверхностей в пространствах Карно – Каратеодори глубины больше двух. Кроме того, свойства неголономных минимальных поверхностей полезны в физике и гравитации: например, при изучении черных дыр. В более общей ситуации, т. е., в сублоренцевой геометрии, остаются открытыми вопросы даже о базовых свойствах экстремальных (максимальных) поверхностей. Сублоренцева геометрия – “субриманово обобщение” геометрии Минковского (см., например, [56]), и сейчас она существенно менее исследована, чем упомянутые выше субриманова геометрия и геометрия Минковского. Иногда некоторые классы максимальных поверхностей интерпретируются как вселенные. Согласно гипотезе Нильсена (см. [57]), решения уравнения тяготения Эйнштейна физически содержательны тогда и только тогда, когда они реализуемы в виде поверхностей нулевой средней кривизны (т. е., максимальных поверхностей). Изучение максимальных поверхностей может выявить новые (даже для случая геометрии Минковского) свойства и приложения. Сказанное выше мотивирует иследование экстремальных поверхностей в субримановой и сублоренцевой геометрии.

Один из полученных результатов в этом направлении – вывод необходимых условий на экстремальность поверхности. Нами введено адекватное понятие кривизны поверхности, представляющей собой график липшицева относительно субримановых метрик отображения классов неголономных структур (точнее, структур, допускающих представление в виде двух пересекающихся в одной точке подмногообразий, «образующих» все многообразие), и показано, что если поверхность экстремальная, то ее средняя кривизна равна нулю. Отметим, что для решения задачи введено также новое понятие вариации отображения. Дело в том, что на субримановых структурах складывать точки мы не можем, поэтому невозможно напрямую определить вариацию вида . Но в силу того, что на этих структурах существуют неголономные растяжения, то есть возможность «притянуть» одну точку к другой сколь угодно близко. Иными словами, возможно сжать одну точку относительно другой. Для евклидовых пространств такое действие соответствует рассмотрению отображения .

При изучении свойств поверхностей на структурах важно знание и тонких свойств этих структур. В ходе проекта получены новые тонкие результаты по локальной геометрии многообразий Карно в условиях минимальной гладкости базисных векторных полей: представление базисных полей через поля, определяющие локальную группу Карно, теорема Громова о сходимости масштабированных базисных векторных полей к нильпотентизированным, локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно – Каратеодори, теорема Митчелла и др. Остановимся на некоторых результатах более подробно.

Определение 1. Фиксируем связное риманово гладкое многообразие M размерности N. M называется многообразие Карно, если в касательном расслоении TM фиксировано подрасслоение HM, и существует набор dim HxM=dim H1<…<dim Hi<…<dim HM=N, 1<i<M, такой, что для каждой точки pM существует окрестность UM с набором -гладких векторных полей X1,…,XN таких, что во всех точках v U:

1) X1(v),…,XN(v) образуют базис TvM;

2) Hi(v)= span{X1(v),…,Xdim Hi(v)} – подпространство TvM размерности dim Hi;

3) [Xi, Xj](v)=, где степень deg Xk определяется как

min{m|Xk Hm};

4) фактор-отображение [. ,.]0:H1Hj/Hj-1 Hj+1/Hj, H0={0}, индуцированное скобками Ли, является эпиморфизмом для всех 1j<M.

Определение 2. Пусть , и . Тогда .

Теорема Громова (случай -гладких векторных полей). В компактной окрестности M имеем равномерную сходимость , i=1,...N, к полям , образующим нильпотентную градуированну алгебру Ли.

Теорема Громова следует из следующего свойства базисных векторных полей.

Теорема (представление базисных векторных полей; -гладкий случай). Пусть M – компактная окрестность, , и риманово расстояние между u и v сравнимо с . Тогда , где , если deg Xi=deg Xj; , если deg Xi>deg Xj, и , если deg Xi<deg Xj.

Определение 3. Кривая M называется горизонтальной, если M для почти всех . Расстояние Карно – Каратеодори между точками x и y определяется как точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих x и y. Расстояние Карно – Каратеодори в локальной группе Карно в точке u определяется аналогично.

Локальная аппроксимационная теорема (случай -гладких векторных полей). В компактной окрестности M имеем равномерную оценку . Здесь точки v и w принадлежат шару .

Теорема Митчелла (случай -гладких векторных полей). Касательный конус в точке u к многообразию Карно M – локальная группа Карно, определяемая векторными полями .

1.5.3 Приведем сначала классическое определение субримановых пространств, которые естественным образом возникают в моделях неголономной и квантовой механики, нейробиологии, в теории оптимального управления, субэллиптических уравнений и т. д.

Определение 1. Субримановым пространством M называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем горизонтальными гладкими векторными полями X1,… ,Xm, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка M порождают все касательное пространство M в каждой точке (условие Хёрмандера). Число M называется глубиной субриманова пространства.

Определение 2. Точка u многообразия M регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех Hk (подрасслоения, натянутые на коммутаторы порядка k-1 горизонтальных полей) постоянны, иначе точка называется нерегулярной. Случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек

регулярных.

Бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к необходимости выработки более общих постановок задач и новых методов для их решения. Основными направлениями обобщения при этом являются снижение гладкости порождающих пространство векторных полей и ослабление условия Хёрмандера о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей (например, такая ситуация возникает в нелинейной теории оптимального управления [58]). Мы работаем со следующим определением.

Определение 3. Пусть на связном гладком многообразии M задано произвольное число векторных полей X1,X2,…,Xq гладкости порядка 2M+1 на области U многообразия M, которым присвоены некоторые формальные степени deg(Xi)=di, 1<d_1<d_2<…<d_q< M. При этом коммутатору X_I=[Xi1,[…,[Xi(k-1),Xik] присваивается степень, равная однородному порядку: degX_I=|I|_h=di1+…+dik. Предполагается, что span{X_I(v):|I|_h≤M}=Tv M. Многообразие M с введенной структурой будем называть пространством Карно--- Каратеодори.

В случае, когда естественное отображение, индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом, M называется многообразием Карно. Одна из важных особенностей при таком определении состоит в том, что, варьируя значения степеней di, можно менять соотношение регулярных и нерегулярных точек на пространстве. Для избежания громоздкости обозначений, сформулируем все результаты для основного модельного случая, когда d1=1, dq=M.

Основная трудность при работе с пространствами Карно -- Каратеодори состоит в том, что внутренней субримановой метрики dc, определяемой в классическом случае как точная нижняя грань всех горизонтальных кривых, соединяющих данные точки, при этом может не существовать. Мы работаем со следующей квазиметрикой (т. е., неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, с некоторой константой), введенной в [59] для

удобства вычислений.

Аналогично классическому случаю [60]-[62] строятся аппроксимации X_I^u векторных полей X_I в точке u из M, которые образуют нильпотентную градуированную алгебру Ли и таковы, что X_I=X_I^u+R_I, где R_I имеют больший порядок малости (с учетом весовой структуры). Определим квазиметрику ρ^u по аналогии с ρ при помощи полей X_I^u.

Основные результаты данной работы составляют следующие две теоремы.

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик). Для произвольной точки u Î U и точек v, wÎ U таких, что ρ(u, v)=O(e),ρ(u, w)=O(e), справедлива оценка

Теорема (о касательном конусе для квазиметрик) Квазиметрическое пространство (U, ρ^u) является касательным конусом к квазиметрическому пространству (U, ρ). Касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства.

Определение касательного конуса к квазиметрическому пространству введено на предыдущих этапах проекта и представляет собой естественное (но не прямолинейное) обобщение теории Громова для метрических пространств.

В случае многообразий Карно нами доказан аналог классической теоремы Рашевского—Чоу, и также доказаны локальная аппроксимационная теорема и теорема о касательном конусе.

Доказательства по существу основываются на результатах для случая регулярных точек [64],[65], а также на синтезе и обобщении методов работ [59-64]. Кроме того, получен ряд новых свойств изучаемых квазиметрик.

1.5.4. В теории упругости исследуется следующий вопрос: что мы можем сказать о глобальной деформации твердого тела при условии, что локальные деформации малы? Известно, что если тензор деформации нулевой почти всюду в U, то f — движение при условии достаточной регулярности. Если же деформации малы в каком-нибудь смысле на U, то каково глобальное отличие f от движения на всей области? Если глобальное отличие также мало, то это свойство называют геометрической жесткостью или устойчивостью изометрий.

Если f — гомеоморфизм, для которого тензор деформации мал, то f будет локально билипшицевым (см., например, [66]). Это приводит к естественной интерпретации деформации как билипшицевых отображении. В 1961 году Ф. Джон [67] исследовал этот вопрос в более общей постановке: а именно, он рассмотрел отображение f :U → Rn, где U — открытое множество в Rn, n>1, и показал, что для локально (1 + ε)-билипшицевого отображения f, где ε < 1, существует движение φ такое, что

∥Df − Dφ∥p, U≤C1pε|U|1/p и sup{|f(x)−φ(x)|: x∈U}≤C2 diam(U)ε.

Ф. Джон доказал второе соотношение для области U специальной природы, называемой сейчас областью Джона, а первое — на кубах. Позже [66] другим методом установил оба эти соотношения на областях Джона без ограничения на ε.

Квазиконформный анализ в субримановой геометрии стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформных отображений и функциональных классов на однородных группах, а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм.

Проблема устойчивости изометрий в субримановом случае исследовалась только на группах Гейзенберга Hn в работе и [68]. Они установили количественную теорему устойчивости изометрий на группах Гейзенберга: всякая (1+ε)-квазиизометрия области Джона группы Гейзенберга Hn, n > 1, близка к некоторой изометрии с порядком близости ε1/2+ε в равномерной норме и с порядком близости ε в норме Соболева Lp1. Также были приведены примеры, демонстрирующие асимптотическую точность полученных результатов.

Цель нашего исследования – доказать количественную жесткость изометрий на группе Карно глубины 3. Самой простой трехступенчатой группой Карно является группа джетов J2(R,R) (или группа Энгеля), которую мы и изучили.

Элементы группы джетов J2(R,R) можно рассматривать в виде точек из R4 = {x=(x1, x2, x3, x4)} со следующей групповой операцией

(x1, x2, x3, x4)·(y1, y2, y3, y4) =(x1+y1,x2+y2, x3+y3+x1y2, x4+y4+ x1y3+x12y2/2).

Очевидно, 0=(0,0,0,0) – единица группы и

x-1=(-x1,-x2,-x3+x1x2,-x4+x1x3-x12x2/2).

Левоинвариантные векторные поля X1=∂1, X2=∂2+x1∂3+x12∂4/2, X3=∂3+x1∂4, X4=∂4 порождают алгебру Ли. При этом выполняются следующие коммутационные соотношения:

[X1,X2] = X3, [X1,X3] = X4, [X2,X3]=[X1,X4]=[X2,X4]=[X3,X4]= 0.

Векторные поля X1, X2 образуют горизонтальное подрасслоение H касательного расслоения. H и все коммутаторы полей из H образуют все касательное расслоение. Метрика Карно – Каратеодори d задается как инфимум длин всех горизонтальных кривых соединяющих две точки (напомним, что кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если ее касательный вектор лежит в горизонтальном подрасслоении H почти всюду). Размерность по Хаусдорфу относительно метрики Карно – Каратеодори равна 7.

Растяжение δs, s > 0, действует на группе J2(R,R) по правилу δs(x1, x2, x3, x4)= (sx1, sx2, s2x3, s3x4) и является гомоморфизмом группы. Мера Лебега на R4 является биинвариантной мерой Хаара.

Пусть Ω — область в J2(R,R). Пространство Соболева Wq1(Ω), 1≤q≤∞, состоит из функций f : Ω → R, имеющих обобщенные производные X1f и X2f, и конечную норму ∥f|Wq1(Ω)||=∥f∥q,Ω+∥∇Lf∥q,Ω, где ∇Lf=(X1f,X2f) — субградиент функции f.

Отображение f:Ω→J2(R,R) принадлежит классу Соболева Wq1(Ω,J2(R,R)), если выполнены следующие условия:

(A)  Для всякого y∈J2(R,R) функция [f]y:x∈Ω→d(f(x),y) принадлежит классу Wq1(Ω);

(B)  Семейство функций {∇L[f]y} имеет мажоранту, принадлежащую Lq,loc(Ω), т. е. существует функция g∈Lq,loc(Ω), не зависящая от y, такая, что |∇L[f]y(x)|≤g(x) для почти всех x∈Ω.

Если f – отображение класса Соболева, то базисные вектора X1(x), X2(x) горизонтального подпространства Hx переходят в векторы (X1f)(x), (X2f)(x)∈Hf(x) для почти всех x. То есть почти всюду выполняются так называемые слабые условия контактности:

X1f2= X1f3= X1f4=0, X2f3= f1 X2f2, X2f4= f12 X2f2/2.

Таким образом, определено отображение Dhf(x) = {Xifj(x)}i, j=1,2: Hx → Hf(x) горизонтальных подрасслоений, называемое аппроксимативным горизонтальным дифференциалом. В свою очередь, Dhf почти всюду определяет сохраняющий градуировку гомоморфизм алгебр Ли Df [Vod]. Определитель матрицы Df(x) называется (формальным) якобианом отображения f и обозначается символом J(x, f).

Пусть U — открытое множество на группе джетов J2(R,R), а f:U→ J2(R,R) — непостоянное отображение класса Соболева W1q,loc(U, J2(R,R)). Отображение f принадлежит классу QI(L,U), L≥1 (является L-квазиизометрией), если J(x, f) не меняет знак на U и L−1|ξ|≤|Dhf(x)ξ|≤L|ξ| для всех векторов ξ∈Hx в почти всех точках x∈U. Если f ∈ QI(1,U), то отображение f будет изометрией на U. 1-квазиконформные отображения группы джетов описаны в работе [69]. Отсюда легко получить описание изометрий.

Лемма (описание изометрий). Всякое изометрическое отображение группы джетов J2(R,R) является композицией следующих трех отображений:

s1(x1, x2, x3, x4)=(-x1, x2, -x3, x4) – отражение,

s2(x1, x2, x3, x4)=(-x1, -x2, x3, -x4) – переворот,

πa(x)=a·x, a∈J2(R,R), — левый сдвиг.

Также как и в евклидовом случае Dhφ — постоянное отображение для всякой изометрии φ.

Мы доказываем жесткость изометрий на области Джона. Область Ω⊂ J2(R,R) называется областью Джона J(α,β), 0<α≤β, если существует выделенная точка y∈Ω такая, что каждая точка x∈Ω может быть соединена с y спрямляемой кривой γ:[0,l]→Ω, параметризованной длиной дуги так, что γ(0)=x, γ(l)=y, l≤β, и dist(γ(s),∂Ω)≥αs/l для всех s∈[0,l]. Очевидно, что B(y,α)⊂Ω⊂B(y,β).

Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема (количественная жесткость изометрий). Пусть U — область Джона на группе джетов J2(R,R) с внутренним радиусом α и внешним радиусом β. Тогда для любого f ∈ QI(1+ε,U), существует изометрия θ, для которой

sup{d(f(x),θ(x)) : x∈U} ≤ N1(β2/α)(ε1/3+ε)

и

.

Постоянные N1 и N2 не зависят от области U и отображения f.

Растяжение δ1+ε показывает асимптотическую точность порядка близости в теореме.

Метод доказательства теоремы так же, как и в [66], основан на линеаризации тензора напряжения на группе джетов в виде дифференциального оператора первого порядка с постоянными коэффициентами, ядро которого «почти» совпадает с алгеброй Ли группы изометрий.

Пусть U — область на группе джетов J2(R,R). Однородный дифференциальный оператор Q действует на отображение u: U → R2 следующим образом:

,

где Dhu={Xiuj}i,j=1,2.

Лемма. Ядро оператора Q в классе Соболева W1p,loc(U, J2(R,R)), p>1, конечномерно: u∈kerQ тогда и только тогда, когда u=c, где c∈R2.

Далее мы используем коэрцитивные оценки для оператора Q из работы [70] и получаем оценку на близость дифференциалов в интегральной норме. Поскольку дифференциал изометрии является постоянной матрицей, мы получаем, что дифференциал квазиизометрии принадлежит классу BMO, для которого известна экспоненциальная интегрируемость. Жесткость в равномерной норме с порядком близости ε1/3 получается из следующей леммы.

Лемма. Пусть ||Dhf-I||p,B(0,1)<ε|B(0,1)|1/p, где B(0,1) – шар с центром в 0 радиуса 1. Тогда d(f(x),x)<C(ε1/3+ε) для всех x∈B(0,1/2).

1.6 Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей

Известно, что теория эллиптических уравнений является одной из основных областей теории уравнений в частных производных и имеет многочисленные важные приложения. В частности, применительно к механике сплошных сред, такие уравнения описывают стационарные модели теории упругости, гидродинамики, теплопроводности и др.

Линейное эллиптическое уравнение второго порядка характеризуется тем, что квадратичная форма при частных производных второго порядка в таком уравнении строго положительно определена. Последнее означает, что в рассматриваемом уравнении сумма слагаемых, содержащих частные производные второго порядка искомой функции, может быть записана как , где - число независимых переменных, для любого матрица симметрическая и соответствующая квадратичная форма положительно определена, т. е. удовлетворяет неравенству для любого не равного нулю вектора . Последнее неравенство эквивалентно тому, что собственные значения матрицы больше нуля.

Можно также рассмотреть случай, когда соответствующая квадратичная форма неотрицательно определена, т. е. для любого . Тогда рассматриваемое уравнение будет иметь параболический тип, если имеет единственное нулевое собственное значение, причем собственные вектора , , отвечающие положительным собственным значениям интегрируемое касательное подрасслоение. Последнее означает, что существуют многообразия размерности такие, что касательное пространство к этому многообразию в точке совпадает с линейной оболочкой векторов . Это определение можно обобщить на случай, когда матрица имеет линейно независимых собственных векторов, отвечающих нулевому собственному значению, предполагая, что не зависит от и, что -мерное подрасслоение, соответствующее собственным векторам, отвечающим положительным собственным значениям, интегрируемо. Такие уравнения также можно называть параболическими.

Уравнение имеет субэллиптический тип, если, напротив, собственные вектора , отвечающие положительным собственным значениям, порождают вполне неинтегрируемое касательное подрасслоение (обычно предполагается, что размерность не зависит от точки ). Иначе говоря, если минимальным многообразием, касательное пространство к которому содержит это подрасслоение является все пространство .

Параболические и субэллиптические уравнения возникают при описании моделей статистической физики, а также применительно к некоторым другим вопросам. В частности к другим статистическим задачам, а также при описании упругих деформаций некоторых композиционных материалов. При этом, несмотря на то, что они возникают в связи со схожими приложениями, свойства решений параболических и субэллиптических уравнений значительно различаются. Свойства решений субэллиптических уравнений более сходны со свойствами решений эллиптических уравнений.

Теории эллиптических и субэллиптических уравнений имеют много общего. А именно, в постановках корректных краевых задач, доказательстве априорных оценок, исследовании регулярности решений уравнений, методах построения решений краевых задач, а также методах численного приближения решений различных задач для таких уравнений.

Основные различия состоят в том, в каких функциональных классах отыскиваются решения, соответственно, в терминах каких норм доказываются априорные оценки и какие дискретные пространства используются в численных методах для построения решений таких уравнений.

Если для эллиптических уравнений, как правило, используются классические функциональные пространства Гельдера, Соболева, Никольского, Бесова [71] и др., то для субэллиптических уравнений используются их аналоги, содержащие информацию об уравнении.

Функция принадлежит классическому пространству Соболева , если она имеет обобщенные производные порядка 1 во всех направлениях, суммируемые в степени . Решения субэллиптических уравнений ищут в пространстве функций, имеющих суммируемые в степени обобщенные производные, только в направлениях, определяемых собственными векторами матрицы коэффициентов уравнения при старших производных, соответствующих положительным собственным значениям.