Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» (стр. 2 )

1 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
1.	Векторная алгебра	64	10	6	4	54
2.	Аналитическая планиметрия	80	10	6	4	70
	Итого	144	20	12	8	124

2. семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
3.	Аналитическая стереометрия	80	14	8	6	66
4.	Многомерные пространства	56	6	4	2	50
	Итого	136	20	12	8	116

4 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
5.	Геометрические преобразования	76	14	10	4	62
6.	Построения циркулем и линейкой	68	6	2	4	62
	Итого	144	20	12	8	124

6 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
7.	Проективная геометрия	68	12	10	2	56
8.	Изображение фигур на плоскости	68	8	2	6	60
	Итого	136	20	12	8	116

8 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
9.	Дифференциальная геометрия и топология	144	20	12	8	124
	Итого	144	20	12	8	124

10 семестр

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего	Лекции	Практические
10.	Основания геометрии	96	16	10	6	80
	Итого	96	16	10	6	80

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Векторная алгебра

Векторы и линейные действия с ними

Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины, их сонаправленность со всеми, их середины.

Векторы (свободные векторы) как классы сонаправленных отрезков одинаковой длины. Направленный отрезок как изображение вектора. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, противоположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов.

Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании.

Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия действительного векторного (=линейного) пространства, линейной зависимости и независимости системы векторов. Наследуемость линейной независимости подсистемами. Базис векторного пространства, размерность. Примеры. Арифметические векторные пространства.

Базисы и координаты

Разложение по базису. Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису на прямой, критерий коллинеарности векторов. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису на плоскости, критерий компланарности тройки векторов. Базис в пространстве, теорема о разложении вектора по нему. Линейная зависимость системы из более, чем трех векторов.

Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности векторов в координатах.

Скалярное умножение векторов

Угол между векторами. Перпендикулярность (= ортогональность) векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ).

Проекция вектора на (ненулевой) вектор, ее связь с углом между векторами и с координатами в ОНБ. “Направляющие косинусы” - координаты орта в ОНБ. Линейные свойства проекции как свойства координаты в ОНБ.

Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями. Ортогонализация базиса на плоскости. Отсутствие закона сокращения для скалярного умножения и бессмысленность “сочетательного” закона.

Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”. Следствие о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов.

Скалярное произведение в координатах, вывод формулы (важнейший случай - в ОНБ). Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, построение вектора, перпендикулярного данному на плоскости.

Векторное умножение векторов

Ориентированные плоскость и пространство, правые и левые пары и тройки векторов, зависимость ориентации от порядка членов тройки. Правило правой руки (“буравчика”).

Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа.

6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности).

Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Следствие о перестановке знаков векторного и скалярного умножений. Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения.

Векторное и смешанное произведения в координатах: вывод общих формул и важного частного случая (в ОНБ). Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов. «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби.

Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов.

2. Аналитическая планиметрия

Координатный метод

Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиус-вектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК).

Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками, о “делении отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), о центре масс треугольника.

Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости.

Об аналитическом задании фигур на плоскости

Координатное (“неявное”) задание (уравнение, неравенство, система, совокупность уравнений и неравенств) с двумя неизвестными как аналитический способ задания фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг.