Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» (стр. 3 )

Векторное (параметрическое) задание линий, примеры. Окружность.

Полярная система координат на плоскости, связь полярных координат с прямоугольными. Задание фигур в полярной системе, примеры.

Прямая линия на плоскости

Векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой. Проведение прямой через две точки.

Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”.

Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.

Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и определителями. Теорема о пучке прямых.

Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Уравнение с угловым коэффициентом, геометрический смысл углового коэффициента. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми, направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой.

Квадрики на плоскости (кривые 2-го порядка)

Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения эллипса.

Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы. Асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство гиперболы, связь со “школьной” гиперболой.

Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы. Эксцентриситет, фокальная хорда параболы, связь со “школьной” параболой.

Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства.

Действие переноса начала системы координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл.

Действие поворота осей координат на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего из уравнения 2-го порядка член с произведением координат; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики. Базисы главных направлений.

Классификация квадрик (доказательство основной теоремы). Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси.

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями. Конические сечения как баллистические траектории.

Квадрики и прямые

Общие точки квадрики и прямой. Понятие асимптотического направления. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики.

Асимптоты. Поиск асимптотических направлений.

Диаметр квадрики, сопряженный данному неасимптотическому направлению, вывод уравнения диаметра, сопряженные диаметры, связь с центрами квадрик.

3. Аналитическая стереометрия

О задании фигур в пространстве

Координатное (“неявное”) уравнение (неравенство, система уравнений и неравенств) с тремя неизвестными как аналитический способ задания фигур в пространстве. График уравнения (неравенства, системы). Две взаимнообратные задачи аналитической стереометрии. Примеры. Сфера, шар, открытый шар. Цилиндрические поверхности как графики уравнений с двумя неизвестными в пространстве.

“Неявное” задание кривых линий. Примеры: прямая как пересечение плоскостей, окружность как пересечение плоскости со сферой или с цилиндром. Возможность задания кривой линии одним неявным уравнением.

Векторное (параметрическое) задание поверхностей. Сфера в географических координатах. Цилиндрические и конические поверхности.

Плоскость в пространстве

Векторное, параметрические и каноническое уравнения плоскости. Проведение плоскости через три точки.

Теорема об общем уравнении плоскости, ее следствия о направляющих векторах, о признаке параллельности вектора плоскости, о “неполных” уравнениях, об уравнении “в отрезках”.

Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными.

Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений. Теорема о пучке плоскостей.

Плоскость в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор плоскости. Геометрический смысл свободного члена в уравнении плоскости и нормированное уравнение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условие перпендикулярности плоскостей, биссекторные плоскости.

Прямая линия в пространстве

Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Проведение прямой через две точки.

Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух прямых, роль двух направляющих и одного “соединяющего” вектора.

Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямой и плоскостью, условие перпендикулярности. Проведение перпендикуляра к плоскости и нахождение симметричной точки относительно плоскости. Проведение плоскости перпендикулярно данной прямой и нахождение симметричной точки относительно прямой. Угол между прямыми, условия перпендикулярности и ортогональности. Проведение перпендикуляра к прямой. Биссектрисы углов между прямыми. Расстояние между фигурами, пример двух кругов. Расстояние между двумя прямыми, существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых, его уравнения.

Квадрики в 3-мерном пространстве (поверхности второго порядка)

Цилиндры второго порядка как графики алгебраических уравнений второго порядка в подходящей ПСК, их классификация.

Эллипсоиды, их изучение методом сечений. Мнимый эллипсоид.

Однополые и двуполые гиперболоиды.

Конусы второго порядка, их прямолинейные образующие и всевозможные плоские сечения. Конус второго порядка как коническая поверхность.

Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Прямые на однополом гиперболоиде, его линейчатость, свойства прямолинейных образующих. То же - для гиперболического параболоида.

Понятие квадрики в пространстве (поверхности второго порядка), его независимость от выбора репера. Квадратичная форма старших членов, ее матрица, определитель и ранг, их поведение при замене репера. Понятие центра, его геометрический смысл. Теорема о классификации квадрик в пространстве, идея доказательства.

Классификация квадрик (доказательство основной теоремы в предположении отсутствия произведений координат в уравнении квадрики). Случай трех квадратов, метод выделения полных квадратов, приведение к каноническому виду (эллипсоиды, гиперболоиды, точка и конус). Случай двух квадратов, их выделение, канонические уравнения (параболоиды, эллиптические и гиперболический цилиндры, прямая, пара пересекающихся плоскостей). Случай одного квадрата, дополнительный поворот осей, канонические уравнения (параболический цилиндр, пара параллельных, совпавших или мнимых плоскостей). Приведение канонических уравнений к нормальному виду за счет изменения масштабов по осям.

Приведение квадрик к главным осям и его связь с диагонализацией матрицы квадратичной формы. Ортогональность матрицы перехода от одного ОНБ к другому. Связь диагонализации с существованием ОНБ из собственных векторов матрицы. Связь собственных чисел матрицы с корнями ее характеристического уравнения. Действительность характеристических корней действительной симметричной матрицы и ортогональность собственных векторов, отвечающих различным собственным числам. Теорема о приведении действительной квадратичной формы к главным осям. Примеры.

Квадрики и прямые в пространстве

Общие точки квадрики и прямой. Случай неасимптотического направления прямой. Секущие, хорды, касательные, “внешние” прямые, “середины хорд”. Случай асимптотического направления, три возможных положения прямой относительно квадрики, поиск асимптотических направлений.

Касательная прямая к квадрике в заданной точке касания, поиск ее (или прямолинейной образующей) направления, если точка касания - не центр квадрики. Касательная плоскость к квадрике, ее уравнение.

Диаметральная плоскость квадрики, сопряженная данному неасимптотическому направлению, ее уравнение, связь с центрами квадрики.

4. Многомерные пространства

Аффинные пространства

Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы Г. Вейля и их следствия. Аффинный репер, размерность пространства, координаты точек и их связь с координатами вектора. Простое отношение трех точек, его свойства и связь с координатами. Задача о замене репера и ее частные случаи: перенос начала, замена базиса, переход от одного ОНБ к другому (ортогональные матрицы и их определители).

Плоскости в аффинном пространстве

Определение прямой, ее векторное и канонические уравнения. Отношение «лежать между», понятия отрезка и луча в действительном пространстве. Определение k-плоскости, ее независимость от выбора в ней начальной точки. Гиперплоскости.

Векторное уравнение плоскости. Общие уравнения плоскости, геометрический смысл системы линейных уравнений. Гиперплоскость как график одного линейного уравнения. Плоскость как пересечение гиперплоскостей.

Взаимное расположение двух плоскостей в случаях инцидентных и неинцидентных направляющих подпространств. Критерии непустоты пересечения и единственности общей точки. Наименьшая плоскость, содержащая данные плоскости.

Плоскости в евклидовом пространстве

Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность), ОНБ, формула скалярного произведения в координатах. Евклидово точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь с отношением «лежать между» и с простым отношением трех точек.

Понятие ортогональности подпространств и ортогонального дополнения в векторном пространстве. Понятие перпендикулярности плоскостей, теорема о перпендикуляре. Уравнения перпендикуляра при векторном и общем задании плоскости, нахождение основания перпендикуляра и расстояния от точки до плоскости.

5. Геометрические преобразования

Группы преобразований

Отображения и преобразования, сравнение “алгебраической” и “геометрической” терминологий; инъекции, сюръекции и биекции. Преобразования как биекции множества на себя, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры: элементарные функции как отображения прямой; гомотетия аффинного пространства, центральная симметрия, параллельный перенос. Аналитическое задание преобразования.

Композиция отображений и преобразований. Композиция двух центральных симметрий, нарушение коммутативности. Аналитическое задание композиции. Композиции переносов и гомотетий. Теорема о том, что множество всех преобразований пространства есть группа. Группа параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства.

Определение геометрии по Ф. Клейну, эквивалентность фигур. Примеры: теория множеств и совпадение фигур, метрическая геометрия и конгруэнтность (“равенство”) фигур, евклидова геометрия и подобие фигур, топология и взаимно непрерывные биекции, теория мощностей и равномощность фигур.

Аффинные преобразования

Понятие аффинного преобразования аффинного пространства как сохраняющего коллинеарность точек и простые отношения. Свойства простого отношения, его связь с аффинной координатой. Группа аффинных преобразований, аффинная эквивалентность. Геометрические свойства аффинных преобразований. Образ репера и координаты в нем образа точки. Связь аффинного преобразования с линейным оператором векторного пространства.

Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов. Примеры: растяжения и сжатия по осям, их композиции, косой сдвиг, косая симметрия. Формулы композиции и обратного преобразования.

Аффинная эквивалентность. Теорема аффинной подвижности, ее следствия. Аффинная эквивалентность четырехугольников, квадрик.

Неподвижные точки аффинных преобразований, их нахождение. Центроаффинные и перспективноаффинные преобразования, соответствующие подгруппы. Разложение аффинного преобразования в композицию центроаффинного преобразования и параллельного переноса. Нахождение неподвижных прямых аффинного преобразования.

Коллинеации между n-мерными аффинными пространствами, n > 1. Сохранение неколлинеарности точек и обратная коллинеация. Связь коллинеации с линейным оператором векторных пространств. Образы прямых, k-плоскостей и «середин отрезков» при коллинеациях. Теорема Дарбу об аффинности коллинеаций действительных аффинных пространств.

Движения

Понятие движения евклидова пространства, подгруппа движений в аффинной группе. Конгруэнтность фигур, определение метрической евклидовой геометрии по Ф. Клейну. Геометрические свойства движений. Связь движения с изометрическим линейным оператором евклидова векторного пространства.

Теорема о формулах движения. Теорема подвижности в реперной и флаговой формах, ее следствия о конгруэнтности двух прямых, двух лучей, двух прямых углов и т. д. Признаки конгруэнтности треугольников.

Классификация движений плоскости по числу неподвижных точек (теорема Шаля). Свойства поворотов, параллельных переносов, осевых симметрий.

Разложение движений плоскости в композицию осевых симметрий. Изучение композиций двух и трех симметрий. Скользящие симметрии, их свойства. Композиции поворотов, переноса и осевой симметрии. Строение группы движений, ее подгруппы.

Группы самосовмещений плоских фигур, их строение при условиях конечности группы или ограниченности фигуры.

Канонический вид матрицы изометрического оператора и классификация движений трехмерного пространства.

Подобия

Понятие подобия, подгруппа подобий в аффинной группе.

Гомотетии, их «основное свойство» и следствия из него.

Разложение подобия в композицию гомотетии и движения. Формулы подобия. Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости и трехмерного пространства. Признаки подобия треугольников. Подобие парабол, эллипсов, гипербол.

Применение подобий к задачам “на построение” и “на доказательство”. Теоремы о прямой и окружности Эйлера для треугольников.

6. Построения циркулем и линейкой

Аксиомы построений. Аксиома линейки. Аксиома циркуля. Следствия аксиом. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

Основные задачи на построение в школьном курсе геометрии. Структура задачи на построение: анализ, его творческий характер; построение, алгоритмическая функция его символической записи; доказательство, его сопоставление с анализом; исследование существования и количества решений, его зависимость от позиционного или метрического характера задачи.

Метод пересечений, его связь с заданием точечных множеств геометрическим свойством, основные примеры такого задания. Окружность Аполлония. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Метод движений. Построение образов точек, прямых и окружностей при параллельном переносе, повороте, осевой симметрии. Типичные примеры применения этих преобразований.

Метод подобий. Построение образов точек, прямых и окружностей при гомотетии. Поиск коэффициента гомотетии и выбор центра в задачах, решаемых методом подобий.

Алгебраический метод решения задач на построение отрезков. Основные школьные формулы построения отрезков (с привлечением единичного отрезка), их связь с квадратичными расширениями полей. Критерий разрешимости задачи на построение циркулем и линейкой. Примеры неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой, понятие об их решении другими средствами.

Метод инверсии. Инверсия, образы точек, прямых и окружностей при инверсии. Сохранение отношения касания и величин углов между прямыми и окружностями. Примеры задач, решаемых методом инверсии. Теорема Мора-Маскерони о разрешимости задачи на построение одним циркулем. Примеры решения задач на построение одним циркулем

7. Проективная геометрия

Проективные пространства

Перспектива (центральная проекция) прямой на прямую и плоскости на плоскость, ее достоинства и недостатки. Образы окружности при перспективах. Цели проективной геометрии: изучение перспектив путем превращения их в биекции и связывания с естественной группой (проективных) преобразований, включение проективной геометрии в схему Ф. Клейна.

Расширенное аффинное пространство над полем как модель проективного пространства. Несобственные точки, прямые, плоскости. Отсутствие параллельных прямых и плоскостей в проективном пространстве, биективность перспектив.

Однородные координаты в аффинной плоскости и ее расширении. Коллинеарность трех точек, векторное, каноническое и общее уравнения прямой в однородных координатах. Арифметическая модель проективной плоскости, ее вложимость в арифметическую модель проективного пространства. Векторная модель проективного пространства.

Инцидентность точек, прямых и плоскостей в моделях проективного пространства, законы инцидентности и их проверка. Абстрактное проективное пространство. Принцип двойственности. Следствия законов инцидентности и принципа двойственности.

Трехвершинник. Теорема Дезарга в абстрактном проективном пространстве. Обратная и двойственная теоремы к теореме Дезарга. Приложение к решению задач на построение на ограниченном чертеже, одной линейкой.

Проективная плоскость

Аксиомы абстрактной проективной плоскости, малый принцип двойственности. Дезарговы плоскости, сохранение двойственности для них.

Четырехвершинник и четырехсторонник. Постулат Фано и двойственный постулат, пример их нарушения. Гармонические четверки точек, сохранение гармонизма при перестановках. Теорема о четвертой гармонической точке. Связь с серединой отрезка.

Проективные реперы на прямой и плоскости, условие согласования, однородные координаты точки в данном репере. Задача о замене репера.

Свойства арифметических моделей: дезарговость, фановость, папповость. Арифметичность папповых плоскостей.

Проективные преобразования

Ангармоническое (двойное, сложное) отношение четверки точек как проективная координата на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек. Связь с простым отношением трех точек в аффинной плоскости. Признак гармонизма.

Проективные отображения прямой на прямую, плоскости на плоскость. Линейные однородные преобразования плоскости как проективные, теорема подвижности для них, их связь с аффинными преобразованиями и с перспективами прямой на прямую.

Теорема подвижности для проективных отображений прямой. Теорема Штаудта. Разложение проективных отображений и преобразований прямой в композицию перспектив. Построение образа точки при проективном отображении прямой. Дробно-линейная формула проективного преобразования прямой, ее частные случаи.

Теорема проективной подвижности для плоскости. Теорема о линейности проективных преобразований. Существенность требования сохранения ангармонических отношений. Неподвижные точки и прямые проективных преобразований, их нахождение.

Квадрики на проективной плоскости

Понятие квадрики на плоскости, его геометричность; ранг и невырожденность квадрик.

Приведение уравнения квадрики к каноническому виду и проективная классификация квадрик.

Квадрика и прямая, их общие точки.

Полюсы и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник. Построение касательной к овальной квадрике.

Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона. Построение овальной квадрики по пяти точкам.

8. Изображение фигур на плоскости

Понятие изображения

Требования к изображению фигуры: верность, наглядность, легкость исполнения, полнота и метрическая полнота. Несовместимость этих требований.

Параллельная проекция, ее свойства. Конкурирующие точки. Проекция как аффинное отображение. Сохранение центров симметрии, выпуклости. Ортогональная проекция, длина проекции отрезка.

Изображение как фигура, подобная проекции оригинала. Необходимость уточнения этого определения в соответствии с требованиями к изображению.

Изображение плоских фигур

Теорема об изображении репера (треугольника). Теорема об определяемости изображений точек плоскости изображением ее репера.

Проекции и изображения четырехугольников (параллелограммов, трапеций) и многоугольников.

Эллипс как изображение окружности, сопряженные диаметры эллипса как изображения перпендикулярных диаметров окружности. Построение точек эллипса.

Изображение вписанных в окружность и описанных около нее треугольников и многоугольников.

Построения на изображениях плоских фигур.

Изображение пространственных фигур

Изображение репера (тетраэдра) на плоскости. Теорема Польке-Шварца. Теорема об определяемости изображений точек изображением репера (аксонометрия). Полные и неполные изображения.

Изображение параллелепипеда, призмы, пирамиды. Вторичные проекции. Построение сечений многогранников.

Изображения цилиндра и конуса. Связь направления проектирования с параметрами изображения. Построение сечений цилиндра и конуса.

Изображение сферы (ортогональная проекция), экватор и полюсы. Построение меридианов и параллелей. Построение изображений фигур, вписанных в шар или описанных около шара. Построения на изображениях пространственных фигур.

9. Дифференциальная геометрия и топология

Теория гладких кривых линий

Вектор-функции (в.-ф.) одной действительной переменной, действия с ними. Предел и непрерывность в.-ф. в точке. Непрерывные в.-ф. и их свойства. Дифференцируемость в.-ф., правила дифференцирования. Механический и геометрический смысл производной в.-ф. В.-ф. постоянной длины, постоянного направления. Теорема и формула Тэйлора для в.-ф.

Понятие жордановой кривой, простой дуги, гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения, точки возврата.

Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом, вектор кривизны, кривизна, главная нормаль.

Теорема о соприкасающейся плоскости. Репер Френе, его координатные оси и плоскости, их уравнения в случаях натурального и произвольного параметра. Формулы Френе. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны. Кручение, его механический смысл. Линии нулевого кручения. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях. Поведение гладкой кривой вблизи ее точки относительно репера Френе.

Плоские кривые, их особые точки и асимптоты. Эволюты плоских кривых, их особые точки и асимптоты. Эвольвенты.

Теория гладких поверхностей

Криволинейные координатные сети на поверхности, гладкие поверхности, касательная плоскость, нормальный вектор и его длина. “Явное” и “неявное” задание поверхностей. Плоскость в разных системах координат.

Поверхности вращения, их проверка на гладкость. Круговые цилиндр и конус. Сфера. Тор.

Линейчатые поверхности и торсы (развертывающиеся поверхности), признак торса. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности касательных, главных нормалей и бинормалей гладкой кривой. Геликоид. Лист Мебиуса. Теорема о торсах.

Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности. Углы между кривыми на поверхности, координатный угол, биссекторные кривые, ортогональные траектории семейства кривых.

Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Асимптотические направления и линии. Омбилические точки. Индикатриса Дюпена и типы точек на поверхности. Формула Эйлера.

Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение. Гауссова и средняя кривизны. Главные направления и линии кривизны. Координатные сети из линий кривизны.

Деривационные формулы для поверхности. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности. Геодезическая кривизна линии на поверхности, ее связь с кривизной плоской проекции и вычисление (в частности - для координатных линий). Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. “Кратчайшесть” геодезических.

Теоремы Гаусса и Бонне.

Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Торсы как поверхности нулевой гауссовой кривизны. Их связь с линиями кривизны.

Элементы общей топологии

Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры. Открытые множества, определение топологии. Критерий эквивалентности баз топологии. Индуцированная топология, подпространства. Произведение пространств.

Замкнутые множества. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию.

Внутренние и граничные точки, предел последовательности. Хаусдорфовость и единственность предела.

Непрерывные отображения (4 эквивалентных определения). Гомеоморфизмы. Определение топологии по схеме Клейна.

Связность и связные компоненты точек. Связность промежутков и линейная связность.

Компактные пространства, их образы, замкнутые подпространства и произведения. Замкнутость компакта в хаусдорфовом пространстве. Лемма Тихонова. Критерий компактности подмножества в евклидовом пространстве.

10. Основания геометрии

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод в “Началах” Евклида, его характерные черты: выделение исходных понятий и аксиом, логическое построение теории, вспомогательная роль чертежей. Слабости “наивного” аксиоматического метода: попытки определения основных понятий, расчленение аксиоматики на аксиомы и постулаты; неполнота аксиоматики, вынуждающая апеллировать к “очевидности”, игнорирование проблемы непротиворечивости. История пятого постулата Евклида, доказательства равносильных ему утверждений о сумме углов треугольника, о единственности параллельной прямой. Теоремы Лежандра-Саккери (из абсолютной геометрии) о сумме углов треугольников.

Понятие математической структуры и модели, сигнатура и род, теория данного рода, примеры. Изоморфизм моделей и категоричность теории. Непротиворечивость теории и способ ее доказательства с помощью построения модели. Схема доказательства непротиворечивости числовых систем и действительных векторных пространств, геометрии в аксиоматике Г. Вейля. Понятие независимости аксиомы, примеры из алгебры и геометрии. Эквивалентность теорий.

Построение школьного курса геометрии

Аксиоматика планиметрии по Гильберту. Аксиомы соединения, их следствия и конечная модель. Аксиомы порядка и конгруэнтности, их следствия и арифметические (рациональная и действительная) модели. Аксиомы Архимеда, Кантора и Дедекинда, их следствия. Абсолютная геометрия, ее декартова модель.

Эквивалентность аксиоматик Гильберта и Г. Вейля. Аксиоматика учебника и др. Аксиоматика . * Аксиоматика . * Аксиоматика .

Геометрия

Аксиоматика гиперболической планиметрии, ее непротиворечивость (модель Кэли-Клейна).

Треугольники, четыре признака конгруэнтности. Четырехугольники. Четырехугольник Хайама-Саккери.

Параллельность, ее симметричность и транзитивность. Ось симметрии полосы. Секущая равного наклона. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр. Поведение расстояния от точки, бегущей по прямой, до прямой, параллельной или расходящейся с данной прямой.

Угол параллельности, функция Лобачевского. Перпендикуляр к стороне угла. Существование абсолютной единицы длины.

Эквидистанта, ее нелинейность, симметричность и касательные. Орициклы, их конгруэнтность, пересечение с прямыми. Орисфера, модель евклидовой геометрии на ней.

Измерение расстояний и углов на карте Кэли-Клейна. Формула Лобачевского для угла параллельности.

Сферическая геометрия

«Прямые» на сфере, сферические углы и движения. Сферические двуугольники, их углы и площади. Сферический треугольник, сумма его углов. Полярность сферических треугольников. Теоремы синусов и косинусов. Эллиптическая геометрия Римана и ее связь с действительной проективной планиметрией.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение

1.  Многогранники.

2.  Измерение геометрических величин.

4.2. Примерные темы курсовых работ

1.  Квадратичные формы и квадрики в n-мерном аффинном пространстве Аn

2.  Решение задач элементарной геометрии с помощью векторной алгебры

3.  Симметрия

4.  Циклоидальные кривые

5.  Метод координат на плоскости

6.  Геометрия окружностей

7.  Аксонометрия

8.  Линейная перспектива

9.  Теоремы Штейнера, Паскаля, Брианшона и их применение к решению геометрических задач.

10.  Аффинная геометрия с проективной точки зрения.

11.  Геометрия Лобачевского с проективной точки зрения.

12.  Некоторые вопросы теории графов.

13.  Элементы тензорной алгебры и ее приложения в аналитической геометрии.

14.  Псевдосфера и ее внутренняя геометрия.

15.  Дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей.

16.  Наложимые поверхности.

17.  Развертывающиеся поверхности.

18.  Развитие понятия о геометрическом пространстве.

19.  Аксиоматический метод построения геометрии.

20.  Обоснование евклидовой геометрии по Г. Вейлю.

21.  Сферическая геометрия. Трехгранные углы и сферические треугольники.

22.  Эллиптическая геометрия.

23.  Геометрия плоскости Лобачевского в модели А. Пуанкаре.

24.  Геометрические построения на плоскости Лобачевского, выполняемые в модели Клейна.

25.  Линии постоянной кривизны на плоскости Лобачевского.

26.  Теория измерения длин отрезков.

27.  Равновеликость и равносоставленность фигур.

28.  Теория измерения площадей простых многоугольников в евклидовой геометрии.

29.  Конечные геометрии.

30.  Геометрия треугольника.

4.3. Вопросы для зачета и экзамена

1 семестр

1.  Направленные отрезки (связанные векторы). Сонаправленность и антинаправленность, противоположность отрезков. Длина отрезка. Направленные отрезки нулевой длины.

2.  Свободные векторы. Длины векторов, орты, нуль-вектор. Сонаправленность, антинаправленность, противоположность, коллинеарность, компланарность векторов. “Аксиомы” Г. Вейля, связывающие векторы и точки. Критерии равенства векторов.

3.  Сложение векторов. “Правило треугольника”, его корректность. 4 закона сложения, их доказательства. Следствие о вычитании.

4.  Умножение вектора на число, его 4 закона, их доказательства. Понятия линейной комбинации и линейной выражаемости векторов.

Базис на прямой. Теорема о разложении вектора по базису, критерии коллинеарности векторов.

5.  Базис на плоскости, теорема о разложении по нему, критерии компланарности.

6.  Базис в 3-пространстве, теорема о разложении вектора по базису и ее следствие.

7.  Координаты вектора в данном базисе, их свойства, критерий коллинеарности.

8.  Угол между (ненулевыми) векторами. Перпендикулярность векторов, поведение нуль-вектора. Ортонормированный базис (ОНБ). Проекция вектора на вектор, ее связь с углом между векторами, с координатами в ОНБ и линейные свойства.

9.  Скалярное произведение векторов, его связь с длиной, перпендикулярностью, коллинеарностью и проекциями, с вектором высоты треугольника.

10.  Законы скалярного умножения, их доказательства. Следствие о “сокращении”, о диагоналях параллелограмма. Неравенства для длин суммы и разности векторов.

11.  Формулы скалярного произведения в координатах. Приложения к вычислению длин векторов, углов между ними, проекций, работы силы на прямолинейном пути. Критерий перпендикулярности, нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору на плоскости.

12.  Правые и левые тройки и пары векторов. Векторное произведение векторов, его связь с коллинеарностью и площадью параллелограмма. Тождество Лагранжа.

13.  6 законов векторного умножения. Доказательства антипереместительного закона и закона вынесения скаляра. Ложность сочетательного закона (ассоциативности).

14.  Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле его знака и модуля (связь с объемами). Доказательство распределительных законов векторного умножения и законов смешанного умножения.

15.  Векторное и смешанное произведения в координатах. Приложения к вычислению площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров, высот упомянутых фигур, проверке коллинеарности и компланарности векторов, ориентации тройки векторов.

16.  «Двойное» векторное произведение, доказательство тождества «бац минус цаб» и тождества Якоби.

17.  Направленные углы на ориентированной плоскости, нахождение их косинусов и синусов.

18.  Аффинный репер и аффинная система координат в пространстве. Радиус-вектор и координаты точек. Ортонормированный репер и прямоугольная система координат (ПСК). Задачи о координатах вектора, о расстоянии между точками.

19.  “Деление отрезка в данном отношении” (простое отношение трех точек), середина отрезка и центр масс треугольника.

20.  Задача о замене репера. Матрица перехода к новому базису, ее невырожденность. Вывод формул преобразования координат при замене репера. Важные частные случаи: замена базиса, перенос начала, поворот осей на плоскости.

21.  Координатное (“неявное”) задание фигур на плоскости. График уравнения (неравенства, системы). Две основные задачи аналитической геометрии. Окружность, круг. Векторное (параметрическое) задание линий, примеры.

22.  Полярная система координат на плоскости, ее связь с сопряженной ПСК. Задание фигур в полярной системе, примеры. Прямая в полярной системе координат.

23.  Векторное, параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости. Проведение прямой через две точки.

24.  Теорема об общем уравнении прямой, ее следствия о направляющем векторе, о “неполных” уравнениях, об уравнениях “в отрезках” и “с угловым коэффициентом”.

25.  Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.

26.  Взаимное расположение двух прямых. Теорема о пучке прямых.

27.  Прямая в прямоугольной системе координат и метрические задачи. Нормальный вектор прямой. Геометрический смысл свободного члена в уравнении прямой и нормированное уравнение. Расстояние от точки до прямой.

28.  Угловой коэффициент, его геометрический смысл. Угол между прямыми, направленный угол от прямой до прямой, биссектрисы углов, условие перпендикулярности, проведение перпендикуляров к прямым. Нахождение точки, симметричной данной точке относительно данной прямой.