29. Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, эксцентриситет, директориальное свойство, параметрические уравнения.
30. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения. Изучение формы, асимптоты, эксцентриситет, директориальное свойство, связь со “школьной” гиперболой.
31. Парабола, вывод канонического уравнения. Изучение формы, эксцентриситет, фокальная хорда, связь со “школьной” параболой.
32. Понятие квадрики (кривой 2-го порядка), его независимость от выбора репера. Теорема о классификации квадрик, идея ее доказательства.
33. Действие переноса начала на уравнение 2-го порядка. Инварианты переноса начала. Центры квадрик, их геометрический смысл.
34. Действие поворота осей на уравнение 2-го порядка. Инварианты поворота осей. Существование угла поворота, изгоняющего произведение координат из уравнения 2-го порядка; тангенс, синус и косинус этого угла. Характеристическое уравнение для квадрики.
35. Классификация квадрик. Случай двух квадратов, метод их выделения. Эллиптические и гиперболические квадрики.
36. Классификация квадрик. Случай одного квадрата - параболические квадрики. Главные направления и оси.
37. Кривые с директориальным свойством, вывод их полярного уравнения. Переход к ПСК и идентификация с коническими сечениями.
38. Общие точки квадрики и прямой. Пересечение квадрики с прямой неасимптотического направления, “середины хорд”. Пересечение квадрики с прямой асимптотического направления. Асимптоты. Поиск асимптотических направлений.
39. Понятие касательной прямой к квадрике, вывод ее уравнения, если точка касания - не центр квадрики.
40. Диаметры квадрик, вывод их уравнения, сопряженные диаметры, связь с центрами.
2 семестр
1. Неявное и векторное задания сферы.
2. Неявное и векторное задания цилиндрической поверхности.
3. Векторное задание конической поверхности. Конус второго порядка.
4. Задание линий. Винтовая линия.
5. Векторное и каноническое уравнения плоскости. Уравнение плоскости (МоМ1 М2).
6. Теорема об общем уравнении плоскости. Критерий возможности изобразить вектор в плоскости.
7. “Неполные” уравнения плоскости, уравнения “в отрезках”, примеры построения плоскостей по общим уравнениям.
8. Задание полупространств.
9. Взаимное расположение 2 плоскостей.
10. Теорема о пучке плоскостей.
11. Плоскость в прямоугольной системе координат (ПСК): нормальный вектор, геометрический смысл свободного члена, уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору, нормированное уравнение плоскости.
12. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями. Биссекторные плоскости.
13. Угол между плоскостями. Проведение плоскости, перпендикулярной к данной.
14. Векторное и канонические уравнения прямой.
15. Общие уравнения прямой и переход от них к каноническим.
16. Взаимное расположение прямой и плоскости.
17. Взаимное расположение двух прямых.
18. Угол между прямыми, условие перпендикулярности, уравнения биссектрис.
19. Угол между прямой и плоскостью, условие их перпендикулярности.
20. Проведение перпендикуляра к плоскости, к прямой.
21. Существование общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
22. Расстояние от точки до прямой, угол между двумя прямыми.
23. Цилиндры 2 порядка.
24. Эллипсоид, его исследование методом сечений. Прямолинейные образующие.
25. Однополый гиперболоид.
26. Двуполый гиперболоид. Прямолинейные образующие.
27. Конус 2 порядка. Сечения конуса.
28. Эллиптический параболоид. Прямолинейные образующие.
29. Гиперболический параболоид.
30. Прямые на однополом гиперболоиде, их свойства.
31. Прямые на гиперболическом параболоиде.
32. Понятие квадрики в R3, преобразование ее уравнения при замене репера.
33. Центры квадрик. Действие переноса начала координат на уравнение квадрики.
34. Классификация квадрик. Случай 3 квадратов.
35. Классификация квадрик. Случай 2 квадратов.
36. Классификация квадрик. Случай 1 квадрата.
37. Связь приведения квадратичной формы к главным осям с собственными векторами ее матрицы.
38. Характеристические корни и собственные векторы симметрической матрицы.
39. Приведение квадрик к главным осям. Основная теорема о классификации квадрик.
40. Общие точки квадрики и прямой.
41. Асимптотические направления, касательные и диаметральные плоскости квадрик.
42. Аффинные пространства. Следствия из аксиом Г. Вейля.
43. Аффинные реперы и их замены.
44. Прямые в аффинном пространстве, отношение “между”, отрезки, лучи и углы.
45. Плоскости в аффинном пространстве. Векторное уравнение плоскости. Гиперплоскости.
46. Общее уравнение плоскости в аффинном пространстве (в матричной форме) и “геометрический смысл системы линейных уравнений”. Плоскость как пересечение гиперплоскостей.
47. Пересечение плоскостей в аффинном пространстве.
48. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай неинцидентных направлений).
49. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (случай инцидентных направлений).
50. Наименьшая плоскость, содержащая две данные плоскости.
51. Евклидовы пространства, неравенство Коши-Буняковского, введение понятий ортогональности векторов, длины вектора, угла между векторами, ОНБ, расстояния между точками. Свойства расстояний.
52. Теорема о перпендикуляре. Вывод его уравнения в случае векторного или общего задания исходной плоскости. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
3 семестр
1. Аффинные пространства. Аксиомы Вейля и их первоначальные следствия. Простое отношение трех коллинеарных точек, его существование и возможности.
2. Аффинные реперы и координаты точек в аффинном пространстве. Задача о замене репера.
3. Прямые и плоскости разных размерностей в аффинном пространстве, их взаимное расположение.
4. Евклидовы векторное и точечное пространства. Введение расстояния (метрики) и способа измерения углов. Ортонормированные базисы и ПСК.
5. Аффинные преобразования плоскости, их формулы и возможности (теорема аффинной подвижности), строение аффинной группы для плоскости.
6. Движения и подобия евклидовой плоскости, их формулы в ОНР. Теоремы евклидовой подвижности, классификация движений и подобий плоскости.
7. Коллинеации аффинных пространств и обратные им отображения.
8. Связь коллинеаций с отображениями векторных пространств.
9. Образы плоскостей при коллинеациях.
10. Образ середины отрезка при коллинеациях.
11. Лемма Дарбу.
12. Теорема Дарбу.
13. Переход от коллинеации и связанного с нею отображения векторных пространств к автоморфизму основного поля.
14. Автоморфизмы поля действительных чисел.
15. Алгебраическое доказательство теоремы Дарбу.
16. Пример нелинейного автоморфизма аддитивной группы действительных чисел.
17. Пример неаффинной коллинеации комплексной плоскости.
18. Аффинные преобразования, их групповые и геометрические свойства.
19. Формулы аффинных преобразований (в координатном и векторном виде). Примеры.
20. Теорема аффинной подвижности, ее следствия для прямых, их частей, треугольников, тетраэдров, параллелограммов, других четырехугольников, параллелепипедов и квадрик.
21. Переносы и гомотетии, их групповые и геометрические свойства. Нормальная подгруппа переносов в группе аффинных преобразований.
22. Неподвижные точки аффинных преобразований. Строение аффинной группы.
23. Неподвижные гиперплоскости аффинных преобразований.
24. Неподвижные прямые аффинных преобразований.
25. Параллельные проекции и родственные преобразования аффинной плоскости.
26. Теорема подвижности для родственных преобразований.
27. Разложение аффинных преобразований плоскости на родственные.
28. Жорданова форма матриц линейных операторов двумерных действительных векторных пространств.
29. Классификация аффинных преобразований плоскости с неподвижной точкой.
30. Классификация аффинных преобразований плоскости без неподвижных точек.
31. Движения евклидова пространства, их групповые и геометрические свойства, формулы в ОНР.
32. Связь движений с изометрическими (ортогональными) операторами векторных пространств.
33. Канонический вид матрицы изометрического оператора.
34. Классификация движений трехмерного пространства с неподвижной точкой.
35. Классификация движений трехмерного пространства без неподвижных точек.
36. Разложение движений на отражения. Примеры композиций отражений.
37. Разложение аффинных преобразований на движения и растяжения (геометрический подход).
38. Разложение матрицы в произведение ортогональной и диагональной.
39. Подобия, их групповые и геометрические свойства.
40. Неподвижные точки подобий. Классификация подобий плоскости и трехмерного пространства.
4 семестр
1. Центральная проекция прямой на прямую, плоскости на плоскость. Их свойства и недостатки. Перспективы эллипса. Основные задачи проективной геометрии.
2. Расширенные аффинные пространства как основные модели проективной геометрии. Проверка законов инцидентности в них.
3. Однородные координаты. Арифметические модели проективной планиметрии, их изоморфность расширенным аффинным плоскостям. Перспективы в них. Уравнение прямой (каноническое, общее, параметрические).
4. Аксиомы инцидентности. Абстрактные проективные пространства. Их модели и проверка законов инцидентности в моделях.
5. Большой принцип двойственности. Доказать, что в абстрактном проективном пространстве прямая содержит не менее 3 точек, и что если точка инцидентна двум плоскостям, то она инцидентна их общей прямой. Сформулировать двойственные утверждения.
6. Доказать, что если прямая и плоскость не инцидентны, то им инцидентна единственная точка, и что через 3 неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Сформулировать двойственные утверждения.
7. Доказать, что вне прямой (плоскости) в проективном пространстве имеется точка. Сформулировать двойственные утверждения.
8. Доказать, что вне прямой на проективной плоскости имеется точка. Каково двойственное утверждение?
9. Трехвершинник и двойственный объект в пространстве. Теорема Дезарга (неплоский случай).
10. Теорема Дезарга (плоский случай).
11. Одной линейкой провести через данную точку прямую, параллельную двум данным прямым.
12. Аксиомы проективной плоскости, малый принцип двойственности.
13. Аксиома Дезарга, связь с двойственностью.
14. 4-вершинник и 4-сторонник. Постулат Фано и двойственное утверждение.
15. Гармонические четверки.
16. Теорема о 4-й гармонической.
17. Проективные реперы и однородные координаты в них на проективной прямой. Замена репера. Проективная координата точки на прямой. Построение точки по координате.
18. Проективные реперы и координаты в них на проективной плоскости. Замена репера.
19. Выполнение аксиом Дезарга и Фано в арифметических моделях.
20. Аксиома Паппа, ее выполнимость в арифметических моделях и связь с аксиомой Дезарга.
21. Ангармоническое отношение 4 точек, его свойства и вычисление. Связь с простым отношением в аффинной плоскости.
22. Критерий гармонизма.
23. Построение на аффинной плоскости середины отрезка по заданной параллельной прямой и обратная задача. Линейные однородные преобразования, их проективность.
24. Связь аффинных преобразований с линейными однородными преобразованиями проективной плоскости.
25. Теорема проективной подвижности в аналитической форме.
26. Связь перспектив с линейными однородными преобразованиями.
27. Проективные биекции прямых. Теорема Штаудта.
28. Разложение проективной биекции прямой на прямую в композицию перспектив.
29. Построение образа точки при проективной биекции прямой на прямую.
30. Теорема о проективных преобразованиях плоскости.
31. Пример биекции, сохраняющей коллинеарность, но не сохраняющей ангармонические отношения.
32. Неподвижные точки проективного преобразования плоскости.
33. Неподвижные прямые проективного преобразования плоскости.
34. Найти неподвижные точки и прямые данного проективного преобразования.
35. Понятие квадрики на проективной плоскости и его геометричность.
36. Упрощение уравнений квадрик методом Лагранжа.
37. Классификация квадрик на действительной проективной плоскости.
38. Взаимное расположение квадрики и прямой.
39. Касательные к квадрикам.
40. Поляры и полюсы, теорема о поляритете.
41. Теоремы о касательной прямой к квадрике и о полярной сопряженности.
42. Построение поляры и касательных к овальной квадрике.
43. Пучки прямых. Теорема Штейнера.
44. Определяемость овальной квадрики 5 точками, теоремы Паскаля и Брианшона.
45. Построение одной линейкой точек овальной квадрики по данным 5 точкам.
5 семестр
1. Понятие вектор-функции одной действительной переменной. Действия с вектор-функциями. Предел и непрерывность в.-ф. в точке. Непрерывные в.-ф. и их свойства.
2. Дифференцируемость вектор-функции, правила дифференцирования.
3. Механический и геометрический смысл производной в.-ф.
4. В.-ф. постоянной длины или постоянного направления.
5. Теорема и формула Тэйлора для вектор-функций.
6. Понятие жордановой кривой, простой дуги, гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения, точки возврата.
7. Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом, вектор кривизны, кривизна, главная нормаль.
8. Теорема о соприкасающейся плоскости.
9. Репер Френе, его координатные оси и плоскости, их уравнения в случаях натурального и произвольного параметра. Формулы Френе.
10. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны.
11. Кручение, его механический смысл. Линии нулевого кручения.
12. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях.
13. Поведение гладкой кривой вблизи ее точки относительно репера Френе.
14. Узнавание плоских кривых, их особые точки и асимптоты.
15. Эволюты плоских кривых, их особые точки и асимптоты. Эвольвенты.
16. Криволинейные координатные сети на поверхности, гладкие поверхности, касательная плоскость, нормальный вектор и его длина. “Явное” и “неявное” задание поверхностей. Плоскость в разных системах координат.
17. Поверхности вращения, их проверка на гладкость. Круговые цилиндр и конус. Сфера. Тор.
18. Линейчатые поверхности и торсы (развертывающиеся поверхности), признак торса. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности касательных, главных нормалей и бинормалей гладкой кривой. Геликоид. Лист Мебиуса.
19. Теорема о торсах.
20. Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности.
21. Углы между кривыми на поверхности, координатный угол, биссекторные кривые, ортогональные траектории семейства кривых и для чего они нужны.
22. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление.
23. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Асимптотические направления и линии. Омбилические точки.
24. Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение. Гауссова и средняя кривизны.
25. Главные направления и линии кривизны. Координатные сети из линий кривизны.
26. Индикатриса Дюпена и типы точек на поверхности. Формула Эйлера.
27. Деривационные формулы для поверхности. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности.
28. Геодезическая кривизна линии на поверхности, ее связь с кривизной плоской проекции и вычисление (в том числе - для координатных линий).
29. Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. “Кратчайшесть” геодезических.
30. Теоремы Гаусса и Бонне.
31. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Торсы как поверхности нулевой гауссовой кривизны. Их связь с линиями кривизны.
6 семестр
1. Сравнительная характеристика аксиоматического метода в “Началах” Евклида и в наши дни.
2. Равносильность пятого постулата Евклида и аксиомы Плейфера.
3. Связь пятого постулата Евклида с суммой углов треугольника.
4. Теоремы Саккери-Лежандра.
5. Сигнатура, аксиоматика, род, теория рода, математическая структура (модель) теории рода. Примеры.
6. Изоморфизм моделей (примеры). Категоричность теорий (примеры и контрпримеры).
7. Непротиворечивость теории, способы ее проверки. Ряд примеров.
8. Независимость аксиомы от остальных аксиом аксиоматики, способ проверки независимости. Примеры (включая аксиому Плейфера).
9. Аксиоматика планиметрии по Гильберту, ее характеристика. I группа аксиом, ее непротиворечивость (модели: конечная, арифметические над R и Q, Кэли-Клейна).
10. II группа аксиом Гильберта, ее проверка на моделях, упомянутых в п.9.
11. III группа аксиом Гильберта, ее связь с аксиомой (теоремой ) подвижности, проверка в арифметических моделях над R и Q.
12. IV группа аксиом Гильберта, ее проверка в арифметических моделях и в модели Кэли-Клейна.
13. Характеристика аксиоматики Атанасяна, ее непротиворечивость и эквивалентность аксиоматике Гильберта.
14. Характеристика аксиоматик Колмогорова и Погорелова.
15. Аксиоматика Вейля евклидовой планиметрии, ее непротиворечивость (арифметическая модель) и эквивалентность другим аксиоматикам (определение прямой, луча, отрезка, полуплоскости).
16. Существование для точек A, C точки D, чтобы A-D-C. Бесконечность отрезка (в аксиоматике Гильберта).
17. Конгруэнтность вертикальных углов (в аксиоматике Гильберта).
18. Конгруэнтность всех прямых углов (в аксиоматике Гильберта).
19. Существование середины отрезка (в аксиоматике Гильберта).
20. Теорема о внешнем угле треугольника (в аксиоматике Гильберта).
21. Пересечение прямой и окружности (в аксиоматике Гильберта).
22. V группа аксиом Гильберта, ее проверка в арифметических моделях и в модели Кэли-Клейна.
23. Движения и проверка аксиом конгруэнтности в модели Кэли-Клейна
24. Аксиома Лобачевского. Абсолютная планиметрия и планиметрия Лобачевского, их непротиворечивость (модель Кэли-Клейна в кратком обзоре).
25. Треугольники в плоскости Лобачевского, их дефекты.
26. Четырехугольники в плоскости Лобачевского. 4-угольник Хайама-Саккери.
27. 4-й признак конгруэнтности треугольников.
28. Параллельность и расходимость прямых по Лобачевскому. Угол параллельности.
29. Симметричность параллельности. Секущая равного наклона к двум прямым (в том числе - к параллельным).
30. Транзитивность параллельности.
31. Расходимость прямых, ее признаки. Теорема о расходящихся прямых.
32. Теорема о метрическом свойстве параллельных прямых. Конгруэнтность полос.
33. Существование перпендикуляра к стороне острого угла, не пересекающего другую сторону угла.
34. Существование перпендикуляра к стороне острого угла, параллельного другой стороне.
35. Теорема о функции Лобачевского, формула для нее.
36. Эквидистанты (2 определения), полугеодезические координаты.
37. Орициклы. Непротиворечивость евклидовой геометрии по Лобачевскому.
38. Измерение расстояний на карте Кэли-Клейна.
39. Перпендикулярность в модели Кэли-Клейна. Формула Лобачевского.
40. Модели Пуанкаре.
41. Двуугольники, их площади. Сферические треугольники, их площади.
42. Первая теорема косинусов на сфере. Геометрия Римана и ее связь с проективной геометрией действительной плоскости.
5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
основные определения, теоремы и формулы приведенных в программе разделов, понимать тесную взаимосвязь различных курсов математического профиля как на школьном, так вузовском уровнях.
Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:
доказывать составляющие теоретическую часть курса предложения, выводить формулы для разных геометрических величин, а также аналитические задания геометрических фигур с целью использования их при решении разнообразных задач.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1. Рекомендуемая литература
Основная
1. | , Лекции по аналитической геометрии пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного : учеб. для студентов вузов - СПб. : Лань, 2с. | 26 экз. |
2. | Атанасян : Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов в 2 ч. – М.: изд-во «Литер» Ч.1. – 2008. – 336 с. Ч2. – 2008. – 352 с. | 200 экз. 200 экз. |
3. | , Сборник задач по геометрии : учеб. пособие для студентов I-III курсов физ.-мат. фак. пед. вузов: в 2 ч. Ч1. – М. : Эксмо, 2с. | 32 экз. |
4. | , , Сборник задач по геометрии [Текст] : учеб. пособие для студентов III-V курсов физ.-мат. фак. пед. вузов: в 2 ч. Ч.2. – М. : Эксмо, 2с. | 30 экз. |
5. | Погорелов геометрии : Учеб. пособие для студентов мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов. – 3-е изд. – Подольск: Просвещение, 20с. | 93 экз. |
Дополнительная
1. | Геометрические величины : метод. разработ./ Урал. гос. пед. ун-т ; сост. . – Екатеринбург: Б. и., 20с. | 93 экз. |
2. | Геометрия. методические рекомендации для студентов I курса математического факультета : В 2 ч. / , , ; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2008 Ч. I / , , . – 2007. – 40 с. Ч. II / , , . – 2007. – 28 с. | 100 экз. 100 экз. |
3. | Геометрия. Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета : В 2 ч. / , , ; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2008 Ч. I / , , . – 2008. – 27 с. Ч.2 / , , . – 2008. – 21 с. | 100 экз. 100 экз. |
4. | Геометрия. Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета : В 2 ч. / , ; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2008 Ч. I / , . – 2008. – 25 с. Ч.2 / – 2008. –21 с. | 100 экз. 100 экз. |
5. | Метод координат в пространстве: Индивидуальные задания / Урал. гос. пед. ун-т ; сост. [и др.] – Екатеринбург: Б. и., 20с. | 127 экз. |
6. | Толстопятов геометрии. Курс лекций : Учебное пособие / / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 20с | 50 экз. |
7. | Толстопятов геометрия : Учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2009. – 93 с. | 50 экз. |
8. | Унегова руководство к решению задач по векторной алгебре и аналитической планиметрии : Учебное пособие по разделу «Геометрия» / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2008. – 184 с. | 150 экз. |
5.2 Информационное обеспечение дисциплины
1. Демонстрационные учебные компьютерные материалы с элементами интерактивности по отдельным геометрическим разделам:
«Методы изображений» – собрание презентаций в PowerPoint;
«Сфера» – обучающая демонстрационная программа (написана на языке программирования Турбо Паскаль);
«Поверхности второго порядка» – обучающая демонстрационная программа (написана на языке программирования Delphi с использованием графической библиотеки OpenGL).
1. Грешилов геометрия. Векторная алгебра. Кривые второго порядка: Компьютерный курс: Учебное пособие/ , . – М.: ЛОГОС, 2004, 416с.
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Наборы карточек с изображениями поверхностей второго порядка.
2. Модели конической, цилиндрической поверхности, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида, модели правильных и полуправильных многогранников.
3. Карточки-задания для организации и контроля самостоятельной работы.
8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ
доктор физико-математических наук
профессор
заведующий кафедрой геометрии УрГПУ
кандидат педагогических наук
доцент
доцент кафедры геометрии УрГПУ
кандидат физико-математических наук
доцент
доцент кафедры геометрии УрГПУ
Раб. телефон (8-3
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
