Элементы линейной алгебры (стр. 2 )

Если здесь вычисление определителей 2-го порядка выполнить по формуле (6.23), то получим шесть слагаемых, из которых три будут иметь знак «+», а три других знак « – »:

. (6.25)

Чтобы запомнить, какие произведения здесь берутся со знаком «+», а какие со знаком « – », полезно следующее правило Сарруса:

Оно позволяет вычислить определитель 3-го порядка непосредственно по формуле (6.25) без разложения его по элементам первой строки по формуле (6.24).

По аналогии с минором элемента матрицы А определим минор произвольного элемента как определитель матрицы порядка , получаемой из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Естественно возникает после этого вопрос, нельзя ли использовать для вычисления величины определиэлементы и отвечающие им миноры не первой строки, а любой другой строки или любого столбца матрицы А ?

Ответ на этот вопрос дает основная теорема разложения определителя по элементам любой строки и любого столбца, которую примем без доказательства.

Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Для каждой квадратной матрицы А порядка n при любом номере строки имеет место формула

(6.26)

и при любом номере столбца  – формула

. (6.27)

Заметим, что при формула (6.26) есть определение определителя n-го порядка, данное формулой (6.22). В дальнейшем, говоря о строках и столбцах минора , будем допускать вольность, имея в виду строки и столбцы матрицы -го порядка, полученной из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Рассмотрим три примера на использование теоремы.

П р и м е р 1. Вычислить определитель единичной матрицы разложением его по элементам первого столбца.

Р е ш е н и е.

Отсюда следует, что применяя раз равенство , мы получим .

П р и м е р 2. Вычислить определитель

.

Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам второй строки:

=

.

Применяя для вычисления определителей 3-го порядка правило Сарруса, получим .

П р и м е р 3. Вычислить определитель

.

Р е ш е н и е. В данном случае для разложения целесообразно выбрать 3-й столбец, так как наличие в нём трех нулевых элементов дает возможность не вычислять соответствующих миноров. Применяя затем правило Сарруса, находим:

.

6.3. Свойства определителей

С увеличением порядка определителя число произведений, из которых состоит сумма, равная величине определителя, стремительно растет. Так, в определителе 2-го порядка имеем два слагаемых, в определителе 3-го порядка – шесть слагаемых, в определителе 4-го порядка – двадцать четыре, а в определителе 5-го порядка их будет уже сто двадцать. По этой причине определители выше 3-го порядка никогда не вычисляют по определению или по теореме разложения. Существуют замечательные свойства определителей, с одной стороны, значительно упрощающие их вычисление, а с другой стороны, имеющие важное теоретическое значение.

С в о й с т в о 1°. Для любой квадратной матрицы , т. е. при транспонировании матрицы величина определителя сохраняется.

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы разложения. Для этого достаточно лишь заметить, что разложение определителя по первому столбцу в формуле (6.27) тождественно совпадает с разложением определителя по первой строке в формуле (6.26).

Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов определителя и позволяет все последующие свойства определителя устанавливать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их для столбцов.

С в о й с т в о 2°. Если в квадратной матрице поменять местами какие-нибудь две строки (или два столбца), то определитель матрицы сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем это утверждение сначала для двух соседних строк матрицы: i-й и -й. Разложим определитель исходной матрицы А по элементам i-й строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) по элементам -й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (6.26) для определителя каждое слагаемое будет иметь противоположный знак (множители сменятся на множители ), поэтому .

Если переставить не соседние строки, а, скажем, i-ю и -ю, то такую перестановку можно представить как последовательное смещение i-й строки на р строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а -й строки на строк вверх, что тоже сопровождается изменением знака, т. е. знак поменяется нечетное число раз, поэтому .

Тем самым свойство доказано.

О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк , , … , с коэффициентами , , …,, если выполняются равенства .

С в о й с т в о 3°. Если в квадратной матрице А порядка n некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то , где  – определитель, у которого i-я строка есть , а все остальные строки те же, что и у определителя , а  – определитель, у которого i-я строка есть , а все остальные строки те же, что и у определителя :

.

Для доказательства свойства достаточно разложить каждый из определителей , , по i-й строке и заметить, что у всех трех определителей все миноры элементов i-й строки одинаковы:

.

Отсюда следует, что формула сразу вытекает из равенств .

Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

С л е д с т в и е 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2˚ изменит знак на противоположный. Таким образом, , отсюда и .

С л е д с т в и е 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число .

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3° при = 0.

С л е д с т в и е 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего при = 0.

С л е д с т в и е 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.

Найдем, например, значение определителя

.

Элементы первого столбца являются здесь суммами двух слагаемых, поэтому согласно свойству 3° имеем

.

В первом определителе первый столбец пропорционален последнему, во втором же первый столбец пропорционален третьему. По следствию 4 оба определителя равны нулю, а значит Δ = 0.

С л е д с т в и е 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.

Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей для так называемого «обнуливания» определителя, т. е. для замены ненулевых элементов нулевыми, что при определенном порядке обнуливания значительно сокращает вычисление определителя. Рассмотрим конкретные примеры.

П р и м е р 1. Вычислить определитель 4-го порядка

.

Если к этому определителю непосредственно применить формулы разложения (6.26), (6.27), то получим четыре определителя 3-го порядка. Но такой путь вряд ли целесообразен. Поставим перед собой цель, пользуясь следствием 5, получить, например, в первом столбце три нулевых элемента. Для этого умножим третью строку на ( – 2) и сложим со второй; кроме того, умножим эту же строку на 3, после чего сложим с четвертой и вычтем из первой:

.

Разложив определитель по элементам первого столбца, умножим затем третий столбец на 4 и сложим со вторым, а затем умножим его на 13 и сложим с первым. Получим таким образом:

.

П р и м е р 2. Вычислить определитель

Комбинируя следствия 2 и 5 с разложением определителя по элементам строки, используем символическую запись для краткого пояснения решения:

П р и м е р 3. Вычислить

В определителе легко можно получить нули над главной диагональю. В результате так называемый треугольный определитель будет равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали.

 

П р и м е р 4. Вычислить определитель n-го порядка:

.

Разложив определитель по элементам первого столбца, получим

.

Так как в первом определителе нули – под главной диагональю, а во втором – над главной диагональю, то оба они равны произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Таким образом,

.

О п р е д е л е н и е 2. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя n-го порядка (6.21) назовём число, равное и обозначаемое символом :

=. (6.28)

Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком, определенным множителем .

С помощью понятия алгебраического дополнения основную теорему разложения определителя по любой строке и по любому столбцу можно переформулировать так:

Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие им алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна самому определителю:

, (i =1,2,…,n), (6.29)

, (j =1,2,…,n). (6.30)

Теперь можно сформулировать последнее свойство определителя.

С в о й с т в о 4. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю:

(6.31)

(6.32)

Доказательство проведём для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (6.29)

(6.33)

заметим, что поскольку алгебраические дополнения не зависят от элементов i - й строки , то равенство (6.33) является тождеством относительно и сохраняется при замене чисел любыми другими n числами. Заменив соответствующими элементами любой (отличной от i-й) k-й строки , мы получим слева в формуле (6.33) определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1, что и доказывает формулу (6.31).

З а м е ч а н и е. Формулы (6.29) – (6.32) можно объединить, записав их в виде единых формул Лапласа:

(6.34)

(6.35)

Формулы Лапласа играют важную роль, с их помощью доказываются некоторые теоремы линейной алгебры.

6.4. Обратная матрица

При умножении матриц естественно возникает вопрос: обратимо ли действие умножения матрицы на матрицу? Другими словами, если известно произведение двух матриц и одна из матриц-сомножителей, то можно ли найти другую матрицу? Ответить на этот вопрос мы сможем, если введём понятие обратной матрицы.

Как известно, для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

О п р е д е л е н и е. Матрица называется обратной для квадратной матрицы порядка n, если при умножении её слева и справа на матрицу получается единичная матрица, т. е.

. (6.36)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Очевидно, что свойство быть обратной матрицей взаимно в том смысле, что если  является обратной для , то является обратной для :

Убедимся сначала в том, что если обратная матрица существует, то она единственна. Предположим, что для матрицы существуют две обратные матрицы и . Тогда по определению (6.36) имеем:

Умножив последнее равенство слева на , получим

Воспользовавшись сочетательным свойством умножения матриц и определением единичной матрицы, получим:

т. е. Следовательно, матрица не может иметь более одной обратной.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если является необходимым и достаточным условием существования обратного числа , то для существования матрицы таким условием является требование .

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а. Если  –  невырожденная матрица, то она имеет обратную матрицу .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Составим квадратную матрицу , называемую присоединённой для матрицы , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы :

(6.37)

Найдем произведение По определению операции умножения матриц (6.12) и формуле Лапласа (6.34) имеем:

т. е.

Подобным же образом с помощью формул Лапласа (6.35) можно доказать, что . Так как, по условию , то, умножая обе части последних двух равенств на , имеем

Полученные выражения показывают, что для невырожденной матрицы существует обратная матрица

(6.38)

Теорема доказана.

П р и м е р. Найти обратную матрицу для матрицы

Р е ш е н и е. Так как определитель матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

По формуле (6.38) находим:

По формулам проверяем правильность вычисления обратной матрицы:

ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Основные понятия

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (или кратко линейная система) имеет следующий вид:

(7.1)

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n. При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (7.1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (7.1) называется неоднородной.

Система (7.1) называется квадратной, если число m составляющих её уравнений равно числу неизвестных n. В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

(7.2)

О п р е д е л е н и е 1. Совокупность n чисел называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

П р и м е р 1.

Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, очевидным образом не может удовлетворять второму.

П р и м е р 2.

Легко видеть, что эта система имеет единственное решение: x = 2, y =  – 1.

П р и м е р 3.

Пара чисел x = 1, y = 0 есть решение этой системы трёх уравнений с двумя неизвестными, а пара x = – 1, y = 2 – другое решение. Эта система имеет бесконечно много других решений, так как значения x= , при любом удовлетворяют системе.

Приведенные примеры систем показывают, что, вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (как видно будет в дальнейшем, в последнем случае система всегда имеет бесконечно много решений).

О п р е д е л е н и е 2. Система (7.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не имеет ни одного решения.

Следовательно, система примера 1 несовместна, а системы примеров 2 и 3 совместны.

О п р е д е л е н и е 3. Совместная система вида (7.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных решения.

Два решения совместной системы вида и называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств .

В частности, система примера 2 является определенной, а система примера 3 – неопределенной.

Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть поставлены следующие вопросы.

1) Совместна ли заданная система или нет?

2) В случае, если система совместна, как определить, сколько решений она имеет – одно или несколько?

3) Как найти все решения системы?

Ответы на все эти вопросы и должна дать теория систем линейных уравнений.