В. А. М Е Р К У Л О В
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Избранные разделы
Р а з д е л 2
Элементы линейной алгебры
Волгоград 2004
УДК 51
ББК 22.1
М 523
Рецензенты:
, д-р физ.-мат. наук, профессор, зам. директора
по научной работе Волжского гуманитарного института
Волгоградского государственного университета;
кафедра высшей математики Волжского филиала Московского
энергетического института (ТУ)
(зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент ,
доцент, канд. техн. наук )
М 523 Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд. 2: Элементы линейной алгебры: Учеб. пособие / ВолгГАСУ. – Волгоград, 2004. – 64 с.
ISBN -8
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для инженерно-строительных и технических специальностей вузов. Оно содержит четыре независимых друг от друга раздела: «Аналитическая геометрия», «Элементы линейной алгебры», «Введение в анализ», «Теория вероятностей».
Раздел 2 «Элементы линейной алгебры» состоит из главы 6 «Матрицы и определители» и главы 7 «Системы линейных уравнений». Изложение этих тем, сопровождаемое достаточно большим количеством примеров, проводится на конкретной основе без использования понятия векторного пространства.
В основу пособия положены лекции, читаемые автором с 1974 года в ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.
Предназначено для самостоятельного изучения указанных разделов студентами дневной и заочной форм обучения.
Библиогр. 9 назв.
ISBN -8 УДК 51
ББК 22.1
© Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, 2004
© , 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ............................ | 4 |
Глава 6. Матрицы и определители................................................... | 4 |
6.1. Числовые матрицы и действия над ними............................. | 4 14 19 25 |
Глава 7. Системы линейных уравнений.......................................... | 29 |
7.1. Основные понятия …......…………………………………… | 29 31 35 38 44 49 51 54 56 |
Литература .............................................................................................. | 63 |
Р а з д е л 2
Элементы линейной алгебры
Глава 6. Матрицы и определители
6.1. Числовые матрицы и действия над ними
Линейная алгебра представляет собой раздел высшей математики, изучающий матрицы, определители, системы линейных уравнений, линейные пространства и линейные преобразования в таких пространствах.
Основное прикладное значение в линейной алгебре имеет теория систем линейных уравнений. Для её изучения удобным математическим аппаратом служат матрицы и определители. Матричная форма записи линейных систем, а также характерные приемы матричного исчисления приводят к упрощению и наглядности как процесса решения этих систем, так и трактовки полученных результатов. Именно поэтому изложение линейной алгебры начнем с изучения матриц и определителей.
О п р е д е л е н и е 1. Числовой матрицей, в дальнейшем именуемой просто матрицей, называется прямоугольная таблица из чисел , содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы. В случае, если 
, матрица называется прямоугольной размера 
. Если же 
, то матрица называется квадратной, а число n называется её порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться круглые скобки, ограничивающие слева и справа таблицу, обозначающую матрицу:
(6.1)
Числа , входящие в состав данной матрицы, называются её элементами. В записи первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, в которых стоит элемент . Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква, например А, либо символ ( ), а иногда и буква и символ с разъяснением:
(6.2)
Если 
, то матрица А называется матрицей-строкой:
(6.3)
При 
получим матрицу-столбец:
. (6.4)
В случае квадратной матрицы порядка n
(6.5)
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (6.5) называется диагональ 
, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ 
, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
П р и м е р 1.
– прямоугольная матрица размера 
;
– квадратная матрица второго порядка;
– матрица-строка размера 
;
– матрица-столбец размера 
.
О п р е д е л е н и е 2. Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной и обозначается так:
= 
(6.6)
Элементы диагональной матрицы могут иметь любые значения. Например,
, 
– диагональные матрицы третьего порядка.
В частном случае, если все элементы диагональной матрицы равны между собой, матрица называется скалярной. Например,
– скалярная матрица третьего порядка.
О п р е д е л е н и е 3. Диагональная матрица все элементы которой равны единице называется единичной матрицей порядка n и обозначается обычно буквой 
:
(6.7)
О п р е д е л е н и е 4. Матрица размера 
все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается буквой О:
. (6.8)
Матрица не является нулевой, если хотя бы один из её элементов отличен от нуля.
Введем теперь действия над матрицами. Прежде всего договоримся считать две матрицы А и В равными и писать 
, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают:
,
. (6.9)
Соответствующими элементами матриц А и В называются элементы этих матриц, имеющие одинаковые номера строк и столбцов. Две матрицы, не удовлетворяющие указанным условиям, считаются неравными.
П р и м е р 2.
, , .
, , 
.
П р и м е р 3.
, , .
, , .
О п р е д е л е н и е 5. Суммой двух матриц 
и 
одинаковых порядков m и n называется матрица 
тех же порядков m и n, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых
, 
(6.10)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись 
. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Например,
= 
+ 
= .
Из формулы (6.10) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами сложения действительных чисел:
1) , 2) .
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых при сложении двух или большего числа матриц.
О п р е д е л е н и е 6. Произведением матрицы 
на действительное число 
называется матрица 
, элементы 
которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на это число:
, 
. (6.11)
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись 
или 
, а операция составления произведения называется умножением матрицы на это число. Например,
=
Непосредственно из формулы (6.11) очевидно, что умножение матрицы на число обладает тремя следующими свойствами:
1° сочетательным свойством относительно числового множителя 
;
2° распределительным свойством относительно суммы матриц ;
3° распределительным свойством относительно суммы чисел 
.
Введенные выше действия сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Рассмотрим некоторые следствия линейных операций.
1. Если О – нулевая матрица порядков m и n, то для любой матрицы А тех же порядков имеем 
.
2. При 
матрицу 
будем называть противоположной матрице и обозначать 
. Она обладает тем очевидным свойством, что 
. Например,
+ 
= 
.
3. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n называется матрица С тех же порядков m и n, получаемая по правилу 
. Операция составления разности двух матриц называется их вычитанием. Например,
– 
=
4. Если любую матрицу умножить на нуль, то получим нулевую матрицу тех же порядков.
5. Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак матрицы. Например,
= .
Кроме линейных операций, над матрицами можно выполнять действия, называемые нелинейными операциями: умножение матрицы на матрицу, возведение квадратной матрицы в целую натуральную степень, транспонирование матрицы. Рассмотрим эти операции.
О п р е д е л е н и е 7. Пусть даны матрица А порядков m и n и матрица В порядков n и k, причем число столбцов n матрицы А равно числу строк n матрицы В:
,
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
,
обозначаемая 
, каждый элемент 
которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
,
. (6.12)
Согласно данному определению не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк второго множителя В. При этом в произведении получается матрица С, число строчек которой равно числу строк первого множителя А, а число столбцов равно числу столбцов второго множителя В. Схематически это можно изобразить так:
 |
Что касается правила (6.12) для вычисления элементов в произведении двух матриц, то оно схематически изображается следующим образом:
 |
Заметим, что умножение матрицы на матрицу определяется несимметрично для обоих сомножителей и, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, т. е.
. Может быть даже так, что произведение матриц, взятых в одном порядке, существует, а взятых в другом порядке не существует.
П р и м е р 4. Перемножить матрицы А и В, если
, .
Р е ш е н и е.
=
=
=
.
Оба произведения А В и В А здесь имеют смысл, но являются различными матрицами (даже различных порядков).
П р и м е р 5. Перемножить матрицы А и В, если
, .
Р е ш е н и е. Произведение АВ здесь имеет смысл, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В:
.
Произведение В А здесь смысла не имеет.
Действие умножения матрицы на матрицу обладает следующими четырьмя свойствами:
4° сочетательным свойством умножения матриц 
;
5° распределительным свойством умножения матрицы на сумму матриц 
;
6° распределительным свойством умножения суммы матриц на матрицу 
;
7° если оба произведения АВ и ВА существуют, то в общем случае .
Из свойства 7° видно, почему из свойств 5° и 6° нельзя было оставить только одно из них. Если же для двух матриц А и В имеем равенство 
, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутативными. Очевидно, что это может иметь место только в случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n.
Среди квадратных матриц одинакового порядка n существует только одна матрица, которая перестановочна с любой матрицей. Это – введенная ранее формулой (6.7) единичная матрица. Нетрудно проверить, что всегда
, (6.13)
где А – произвольная квадратная матрица порядка n, т. е. единичная матрица ведет себя при умножении на матрицу как число 1 в обычной алгебре. Перестановочными являются также диагональные матрицы одного порядка.
З а м е ч а н и е. Из алгебры известно, что произведение двух чисел 
тогда, когда по меньшей мере одно из чисел a или b равно нулю. При умножении матриц это неверно. Например, пусть А и В – квадратные матрицы второго порядка:
, .
Тогда
, 
.
Из приведенного примера видно, что 
, где О – нулевая матрица второго порядка, хотя 
и 
. Матрицы А и В, удовлетворяющие условию , называются делителями нуля. Существование делителей нуля есть одно из резких отличий алгебры матриц от алгебры чисел. В то же время произведение 
, т. е. матрицы А и В не являются перестановочными и в произведении В А делителями нуля не являются.
О п р е д е л е н и е 8. Целой положительной степенью 
квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т. е.
(6.14)
Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. По определению полагают:
(6.15)
Следует обратить внимание на то, что из равенства 
еще не следует, что матрица А нулевая.
П р и м е р 6. Пусть . Тогда
,
,
,
.
О п р е д е л е н и е 9. Пусть дана матрица А размера :
. (6.16)
Сопоставим ей матрицу 
из n строк и m столбцов по следующему правилу. Элементы каждой строки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матрицы , причем номер столбца матрицы совпадает с номером строки матрицы А. Ясно, что при этом i-я строка матрицы состоит из тех же элементов в том же порядке, что и i-й столбец матрицы А:
. (6.17)
Матрица называется транспонированной матрицей А, а переход от А к называется транспонированием матрицы А.
Определение транспонированной матрицы можно записать в виде равенств вида:
, (6.18)
связывающих элементы матриц и 
, для всех i = 1, 2, … , m и j = 1, 2, … , n.
При транспонировании, как видим, меняется строение матрицы (если 
), а именно:
 |
Например, если
, 
,
то
, .
При транспонировании матрицы её строка превращается в столбец, а столбец в соответствующую строку. При этой операции выполняются следующие свойства:
1) , 2) ,
3) , 4) .
Отметим, что в общем случае 
, но 
.
О п р е д е л е н и е 10. Квадратная матрица порядка n называется симметрической, если её элементы расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, т. е. 
. Симметрическая матрица имеет вид
. (6.19)
Из определений 9 и 10 следует, что симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной матрицей. Если же выполняется равенство 
, то квадратная матрица А называется кососимметрической. Например, матрица
– кососимметрическая, так как 
.
6.2. Определители квадратных матриц
С каждой квадратной матрицей, и только с ней, можно связать число – её определитель. Определители играют важную роль как в линейной алгебре при решении систем линейных уравнений, так и в других разделах математики. В курсе аналитической геометрии уже рассматривались определители 2-го и 3-го порядка. Нашей дальнейшей задачей является изучение определителей квадратных матриц любого порядка n.
Понятие определителя n-го порядка мы введем рекуррентным способом, считая, что нами уже введено понятие определителя 1-го порядка и указана формула вычисления определителя порядка 
. Для удобства записи суммы большого числа слагаемых, имеющих один и тот же вид и отличающихся только индексами, будем использовать следующее обозначение. Символ 
, после которого стоит некоторое выражение, содержащее индекс к, будет обозначать сумму таких выражений для всех значений индекса к от 1 до n включительно, например:
, 
.
Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования может быть употреблена и любая другая буква.
О п р е д е л е н и е. 1°. Определителем матрицы первого порядка 
, или определителем 1-го порядка, называется единственный элемент этой матрицы 
, обозначаемый одним из символов
. (6.20)
2°. Определителем матрицы А порядка , где
,
называется число, обозначаемое одним из символов
(6.21)
и вычисляемое по формуле
–
, (6.22)
где 
– определитель матрицы порядка 
, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента .
Формулой (6.22) определитель 
матрицы А порядка n выражается через определители 
матриц порядка . Для нахождения чисел мы можем и должны воспользоваться той же формулой (6.22), поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим определитель через определители матриц порядка . Можно продолжать этот процесс до тех пор, пока мы не придем к матрицам первого порядка, для которых определитель определен непосредственно.
Применим определение к матрицам порядка и . Для матрицы 2-го порядка получим:
(6.23)
Из формулы (6.23) следует, что определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов матрицы А, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Определитель 3-го порядка по формуле (6.22) выразим через три определителя 2-го порядка:
=
. (6.24)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
