Элементы линейной алгебры (стр. 4 )

Р е ш е н и е. Выполним над системой элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса, используя непосредственно расширенную матрицу системы:

:(-3)

~ ~

:(2)

~ ~

:(-2)

~ ~

~

Получили систему с базисом, равносильную исходной системе. Ее решением являются:

П р и м е р 2. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования, используя расширенную матрицу системы:

:(2)

~ ~

:(4)

~

~

В полученной матрице содержится система с базисом

Здесь базисными неизвестными являются и , а свободными неизвестными являются . Исходная система имеет бесконечное множество решений. Все они содержатся в общем решении, которое имеет вид:

где свободные неизвестные могут быть любыми числами.

Из общего решения можно получить сколько угодно частных решений. Например, при получим . Тогда частное решение

является базисным решением.

При получим частное решение

и так далее до бесконечности.

П р и м е р 3. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

Р е ш е н и е. При выполнении элементарных преобразований используем дополнительную перестановку строк расширенной матрицы системы:

~ ~

:(-1)

~ ~

~ ~

Шаги исключения неизвестных привели к противоречивому уравнению , стоящему в последней строке. Следовательно, полученная система уравнений и заданная система обе несовместны, т. е. не имеют решений.

7.6.  Вычисление обратной матрицы методом
Жордана – Гаусса

Вычисление обратной матрицы по формуле (6.38) при приводит к очень большому объёму вычислений. Чтобы избежать этого обратную матрицу можно достаточно эффективно вычислять при помощи метода исключения Жордана – Гаусса. Для этого припишем к квадратной матрице порядка n справа единичную матрицу того же порядка. В результате получим так называемую объединённую матрицу вида

(7.22)

К объединённой матрице (7.22) будем применять элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса, которые применялись выше к уравнениям линейной системы, так чтобы на месте матрицы в объединённой матрице (7.22) получилась единичная матрица . Это равносильно одновременному решению n линейных систем, у каждой из которых столбцом свободных членов является один столбец единичной матрицы , приписанной справа в объединённой матрице вида (7.22), а столбцом неизвестных является соответствующий столбец обратной матрицы формулы (6.38). В результате на месте единичной матрицы в объединённой матрице (7.22) получится обратная матрица .

Для того, чтобы слева от черты в матрице (7.22) получить единичную матрицу , следует на каждом шаге исключения выделять единицу на главной диагонали, так чтобы остальные элементы в столбце оказались равными нулю. Если на каком-либо шаге на главной диагонали окажется нуль, то можно поменять местами строки матрицы (7.22). Если в процессе исключения все элементы какой-либо строки слева от черты в матрице (7.22) окажутся равными нулю, то это значит, что определитель матрицы равен нулю, т. е. матрица будет вырожденной и обратной матрицы для неё не существует.

П р и м е р. Найти матрицу , обратную матрице

Р е ш е н и е. Проверять заранее, является ли матрица вырожденной или невырожденной, мы не будем, так как это автоматически выяснится в процессе преобразований. Запишем объединённую матрицу и выполним над ней элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса:

~ ~

:(-5)

~ ~

· (5)

~

~

Из последней матрицы следует, что

По формуле проверяем правильность вычисления обратной матрицы:

Аналогично можно убедиться, что

7.7.  Ранг матрицы

В теории линейных систем важную роль играет понятие ранга матрицы. С помощью ранга матрицы, не решая систему, можно установить её совместность или несовместность, а в случае совместности определить количество решений.

Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу

Пусть  – какое-нибудь натуральное число, не превосходящее и . Выделим в этой матрице любые строк и столбцов. Тогда элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка . Определитель этой квадратной матрицы называется определителем, порождённым матрицей , или минором -го порядка матрицы .

Для матрицы можно составить столько миноров -го порядка, сколькими способами можно выделить в ней строк и столбцов. Например, для матрицы

можно составить 4 минора 3-го порядка:

Аналогично продолжая, можно составить 18 миноров 2-го порядка и 12 миноров 1-го порядка (миноры 1-го порядка есть просто элементы матрицы ). Некоторые из составленных миноров могут быть равными нулю, например, минор

Другие миноры могут быть отличны от нуля, например,

О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы называется число, равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы считается равным нулю по определению.

Ранг матрицы обозначается символами , или . Из определения следует:

а) ранг матрицы тогда и только тогда, когда хотя бы один минор -го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры выше -го порядка этой матрицы (если они существуют) равны нулю;

б) ранг матрицы порядков и не превосходит меньшего из её размеров, т. е. ;

в) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица  – невырожденная.

Подсчёт ранга матрицы по определению требует громоздких вычислений, так как количество миноров матрицы может быть достаточно велико, если размеры матрицы не очень малы. Так, например, в матрице порядков и , рассмотренной выше, количество миноров матрицы равно 34. В связи с этим проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований её строк и столбцов.

Т е о р е м а. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) При умножении строки на число минор, отличный от нуля, либо не изменится, либо умножится на . Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.

2) Если все миноры порядка равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный после указанного преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не входящую), либо он равен сумме минора порядка и определителя матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили другую строку, в него входящую). Из этих соображений следует, что ранг матрицы не может повыситься. Ясно, что он не может и понизиться, так как в противном случае при обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился.

3) При перестановке строк минор может изменить знак (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком, отличающийся от другого минора той же матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или вообще не изменится. Ясно, что при этом ранг матрицы останется тем же.

4) Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично. Тем самым теорема доказана полностью.

Для нахождения ранга матрицы будем применять метод Жордана – Гаусса, выделяя в матрице единицы на главной диагонали. Например, если мы получили матрицу вида

то очевидно, что ранг этой матрицы равен числу единиц на главной диагонали, т. е. равен 3, так как

При этом все миноры 4-го порядка равны нулю, а миноры порядка выше 4-го составить нельзя.

П р и м е р 1. Найти ранг матрицы

Р е ш е н и е.

П р и м е р 2. Найти ранг матрицы

Р е ш е н и е.

П р и м е р 3. Найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Умножив в матрице первый столбец на , второй столбец на , а четвёртый столбец на , переставим затем между собой два первых столбца и выполним элементарные преобразования над строками матрицы, указанные символами:

~

~

Поскольку все миноры 3-го порядка нулевые,

7.8.  Условие совместности систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными вида:

(7.23)

где , или , или .

Введём матрицу системы и расширенную матрицу системы :

(7.24)

Обозначим ранги матриц через и . Так как расширенная матрица системы получается из матрицы системы добавлением столбца свободных членов, что не может увеличить ранга матрицы, то их ранги связаны неравенством

(7.25)

Понятие ранга матрицы позволяет сформулировать условие совместности системы (7.23) в форме следующей основной теоремы теории линейных систем.

Т е о р е м а К р о н е к е р а – К а п е л л и. Для того чтобы система линейных уравнений с  неизвестными вида (7.23) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы:

(7.26)

Не проводя доказательства теоремы, поясним его. При элементарных преобразованиях системы (7.23) в процессе Гаусса, т. е. при элементарных преобразованиях матрицы системы  и расширенной матрицы системы , ранги этих матриц не изменяются. В п. 7.4 было установлено, что система (7.1), тождественно совпадающая с системой (7.23), совместна тогда и только тогда, когда она преобразуется в треугольную систему (7.17) и в трапециевидную систему (7.18). В обоих случаях, как нетрудно проверить, ранг матрицы и ранг расширенной матрицы систем (7.17) и (7.18), так же как и исходной системы (7.1), соответственно совпадают: и .

Из теоремы Кронекера – Капелли и систем (7.17), (7.18) легко получить ответ на вопрос о числе решений линейной системы (7.23): если , то система несовместна; если , то система имеет единственное решение; если , то система имеет бесчисленное множество решений. Отметим, что если ранг матрицы системы равен числу уравнений, т. е. , то система совместна при любых свободных членах, так как ранг расширенной матрицы системы не может быть больше числа её строк.

Таким образом, можно, не решая систему, исследовать её совместность и в случае совместности установить количество решений.

Применим теорему Кронекера – Капелли к однородной системе. Система линейных уравнений с неизвестными называется однородной, если все её свободные члены равны нулю:

(7.27)

Для однородной системы (7.27) расширенная матрица получается из матрицы системы  добавлением нулевого столбца, что не меняет ранга, поэтому всегда . Это значит, что однородная система всегда совместна. Кроме того, она имеет очевидное нулевое или тривиальное решение

(7.28)

Поэтому, если , т. е. определитель однородной системы (7.27) при отличен от нуля

(7.29)

то однородная система имеет только нулевое решение.

Если же ,то решений будет бесчисленное множество, среди которых, кроме нулевого, имеются и ненулевые (нетривиальные) решения. В частном случае, когда , условие равносильно условию

7.9.  Собственные значения и собственные векторы
квадратной матрицы

В различных разделах математики и её приложениях часто приходится иметь дело с переменными , которые являются функциями переменных :

Такое выражение одной системы переменных через другую систему носит название преобразования переменных.

Рассмотрим частный случай преобразования переменных при помощи линейных однородных функций, когда число «старых» и «новых» переменных совпадает:

(7.30)

Преобразование вида (7.30) называется линейным преобразованием. Квадратная матрица, составленная из коэффициентов , называется матрицей линейного преобразования:

(7.31)

Пользуясь правилом умножения матриц, можно линейное преобразование (7.30) записать в виде матричного равенства

(7.32)

где через обозначены матрицы-столбцы

(7.33)

О п р е д е л е н и е 1. Линейное преобразование переменных (7.30) с квадратной матрицей  называется невырожденным если матрица невырожденная, и называется вырожденным, если  – вырожденная матрица.

Для невырожденного линейного преобразования существует обратное преобразование, выражающее переменные через . Это обратное преобразование является также линейным и выражается матричным равенством

(7.34)

где  – обратная матрица.

П р и м е р 1. Дано линейное преобразование переменных

Требуется найти обратное линейное преобразование, выражающее переменные через .

Р е ш е н и е. Введём матрицу данного линейного преобразования и матрицы-столбцы переменных:

Найдём обратную матрицу методом Жордана – Гаусса:

~

: (4)

~

~

~

:(5/2)

· (-2)

~

~

По формуле (7.34) находим в матричном виде обратное линейное преобразование:

Приравнивая элементы матриц, получим обратное линейное преобразование вида

При рассмотрении ряда вопросов, связанных с приложениями матричного исчисления, для данной квадратной матрицы бывает необходимым отыскивать ненулевые матрицы-столбцы , для которых умножение на матрицу слева равносильно умножению на некоторое число , т. е. для которых имеет место равенство

(7.35)

Нулевой столбец, конечно, при любом удовлетворяет этому соотношению. Однако ненулевые матрицы-столбцы, удовлетворяющие условию (7.35), существуют далеко не при всяком .

О п р е д е л е н и е 2. Число называется собственным числом или собственным значением квадратной матрицы , если существует ненулевая матрица-столбец такая, что выполняется равенство (7.35). Если  – собственное значение матрицы , то всякая матрица-столбец , удовлетворяющая равенству (7.35), называется собственным вектором матрицы , принадлежащим собственному значению.

Выясним, что представляют собой собственные значения данной квадратной матрицы (и существуют ли они вообще).

Матричное равенство (7.35), выражающее линейное преобразование «старых» переменных в «новые» переменные , равносильно системе линейных уравнений с неизвестными

(7.36)

которую можно переписать в виде однородной системы

(7.37)

Существование собственного вектора , удовлетворяющего условию (7.35), равносильно, таким образом, существованию ненулевого решения у системы линейных однородных уравнений (7.37) с неизвестными. Согласно п. 7.8 однородная система (7.37) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т. е.

(7.38)

Образуем матрицу , где  – единичная матрица -го порядка. Тогда

Следовательно, собственные значения матрицы характеризуются тем, что для них обращается в нуль определитель

(7.39)

Равенство (7.39) называется характеристическим уравнением матрицы . Это условие на параметр , которому должны удовлетворять все собственные значения матрицы . Многочлен степени n относительно называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни , представляющие собой только действительные (вещественные) числа, будут являться собственными значениями матрицы . Характеристический многочлен имеет вид

. (7.40)

Коэффициент характеристического многочлена называется следом матрицы и обозначается символом (от английского слова trace – след):

(7.41)

Свободный член характеристического многочлена равен его значению при , а это значение равно , где  – определитель квадратной матрицы . Отсюда следует, что квадратная матрица имеет собственное значение тогда и только тогда, когда , т. е. когда матрица вырожденная.

Чтобы найти все собственные векторы матрицы , принадлежащие данному собственному значению , надо, очевидно, найти все решения системы (7.37). Эти решения будут удовлетворять и системе (7.36), а значит, столбцы из решений будут собственными векторами матрицы , обращающими в тождество матричное соотношение (7.35).

Отметим, что собственное значение собственного вектора определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору соответствуют два различных собственных значения и . Тогда из равенства следует, что . Но, по определению, собственный вектор  – ненулевой, поэтому .

Напротив, собственный вектор , принадлежащий данному собственному значению , определяется не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.

До сих пор на элементы матрицы мы не накладывали никаких ограничений, они могли быть любыми действительными (вещественными) числами. Однако, если помимо условия вещественности элементов матрицы предположить ещё, что матрица симметрическая, т. е. совпадает со своей транспонированной матрицей, то имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а. Если собственные векторы и симметрической матрицы принадлежат различным собственным значениям и , то они удовлетворяют условию ортогональности

(7.42)

где  – вектор-строка (транспонированный столбец ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию и . Составим произведение и вычислим его двумя способами с учётом сочетательности умножения трёх матриц и операции транспонирования произведения двух матриц, указанных в п. 6.1.

Имеем:

Следовательно, , откуда ввиду условия и вытекает равенство (7.42). Теорема доказана.

П р и м е р 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е. Матрица  – симметрическая. Имеем характеристическое уравнение

Его корни различны: . Система уравнений для нахождения собственных векторов есть

Подставим сюда поочерёдно и в каждом случае найдём собственные векторы:

Нетрудно проверить, что полученные собственные векторы попарно удовлетворяют условию ортогональности (7.42).

Литература

1. Определители и матрицы. – М.: Наука, 1970.

2. , Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

3. , , Высшая математика для экономистов / Под ред. проф. . – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

4. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977.

5. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Гуманит. науки. Вып– Волгоград: ВолгГАСА, 2000. – С. 96 – 101.

6. , Определители, системы линейных уравнений, линейные преобразования и матрицы: Учеб. пособие. – Волгоград: ВолгГИСИ, 1994.

7. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1978.

8. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. – М.: Рольф, 2001.

9. , , Краткий курс высшей математики. Т. 1. – М.: Высш. шк., 1978.