Элементы линейной алгебры (стр. 3 )

Весьма удобно записывать линейную систему (7.1) в матричной форме. Введём следующие обозначения:

, , , (7.3)

где  – матрица, составленная из коэффициентов системы, в дальнейшем будет называться матрицей системы; X – матрица-столбец неизвестных; B – матрица-столбец свободных членов.

Согласно правилу умножения двух матриц произведение AX представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т. е. один столбец следующего вида:

. (7.4)

Элементами полученной матрицы являются левые части системы (7.1), а элементами матрицы B являются правые части той же системы. На основании определения равенства двух матриц систему (7.1) можно заменить теперь одним эквивалентным ей матричным уравнением

(7.5)

Решение матричного уравнения (7.5) заключается в отыскании такой матрицы X, которая при заданных матрицах A и B обращает уравнение (7.5) в тождество.

7.2. Система n линейных уравнений с n
неизвестными

Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(7.6)

Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6). Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим, чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём: умножали первое уравнение на число , второе уравнение на число , а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение (его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений) является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.

Составим определитель n-го порядка

элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).

Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от нуля.

Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при этом определитель системы равен нулю.

Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением

, (7.7)

где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов.

Так как определитель отличен от нуля, то существует обратная матрица .

Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу , будем иметь

В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и определения единичной матрицы имеем

поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец

(7.8)

Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:

Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид

или после умножения матриц

Отсюда следует, что для любого j ( j = 1, 2, …, n)

(7.9)

где  – определитель матрицы, полученной из матрицы заменой её j-го столбца столбцом свободных членов:

Формулы (7.9) получили название формул Крамера.

Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением (7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).

Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При n > 3 квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.

П р и м е р. Решить систему уравнений

а) матричным способом; б) по формулам Крамера.

Р е ш е н и е. а) Обозначим

Так как определитель системы , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру п. 6.4)

По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:

Используя определение равенства двух матриц, получаем

б) Найдем определитель системы . Так как , то решение системы по формулам Крамера имеет вид

Вычисляем определители получаемые из определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Следовательно,

Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.

7.3. Элементарные преобразования матриц и систем
линейных уравнений

Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.

Пусть дана матрица

(7.10)

Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А может быть квадратной.

О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка местами двух строк;

4) аналогичные операции над столбцами.

Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование, мы получаем новую матрицу А'. Для этих двух матриц справедливо следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица получается из при помощи какого-либо элементарного преобразования, то и матрица может быть получена из также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица получается из умножением i-й строки на число . Умножая i-ю строку матрицы на число (т. е. применяя к элементарное преобразование), мы получим исходную матрицу .

Пусть получается из прибавлением к i-й строке элементов j-й строки, умноженных на число . Прибавляя к элементам i-й строки матрицы элементы её j-й строки, умноженные на , мы возвращаемся к матрице .

Наконец, если получается из перестановкой i-й и j-й строк, то, переставляя в те же i-ю и j-ю строки, мы снова получим исходную матрицу .

Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.

Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица

(7.11)

получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.

О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:

1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3) перестановка местами двух уравнений в системе.

Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.

О п р е д е л е н и е 3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом различным.

Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой. Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.

Заметим, что уравнение вида

удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.

Напротив, если в системе встретилось уравнение вида

то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет решений.

Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.

Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1) переходит в равносильную систему.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2, тогда она примет вид:

(7.12)

При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система будет иметь вид

(7.13)

Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа являются решением системы (7.12), то уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).

Значит, числа будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и обратное: всякое решение системы (7.13) является решением и системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют решения, то эти решения для обеих систем одинаковы. Ясно также, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносильны, а это и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в равносильную систему.

7.4. Метод Гаусса

При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощённую систему, мы найдем тем самым и решение исходной системы. При этом упрощений можно достигать, конечно, разными способами.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том, что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Пусть задана произвольная система линейных уравнений (7.1). Будем считать, что (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное из всех уравнений системы (7.1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент ; тогда получим новую систему, равносильную данной:

(7.14)

Умножим теперь первое уравнение системы (7.14) на   и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение системы (7.14) на и сложим его с третьим уравнением и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

(7.15)

Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных по формулам

Допустим, что в системе (7.15) (в противном случае всегда можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (7.15) на коэффициент ; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на и сложим поочередно с каждым соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда получим систему, равносильную системам (7.1), (7.14), (7.15):

(7.16)

Далее действия над уравнениями системы (7.16) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (7.16) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.

В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.

1. При некотором преобразовании получаем противоречивое уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая отлична от нуля; это свидетельствует о несовместности исходной системы (7.1).

2. Система (7.1) сводится к треугольному виду:

(7.17)

Покажем, что система уравнений (7.17) определена. Из последнего уравнения имеем Подставляя это значение во все уравнения системы, начиная снизу, найдем последовательно значения неизвестных . Система (7.1) равносильна системе (7.17), поэтому полученное решение также будет единственным решением системы (7.1), т. е. она является совместной и определённой.

3. Система (7.1) преобразуется в трапециевидную:

(7.18)

причём s < n.

Покажем, что система (7.18) является неопределённой. Для этого в последнем уравнении системы (7.18) выразим через , перенося члены с этими неизвестными в правую часть уравнения.

Перенося в каждом из уравнений системы (7.18) члены с неизвестными в правую часть, получим систему вида

(7.19)

Придавая неизвестным , которые называются свободными, произвольные значения , получим треугольную систему вида (7.17), из которой последовательно найдём все остальные неизвестные Так как свободным неизвестным можно придать любые значения, то исходная система (7.1) имеет бесчисленное множество решений, т. е. является неопределённой.

Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Т е о р е м а. 1) Если в процессе Гаусса появится уравнение , где , то исходная система несовместна, т. е. решений не имеет.

2) Если система приводится к треугольному виду, то она является определённой, т. е. решение системы существует и единственно.

3) Если система приводится к трапециевидной форме, то она является неопределённой, т. е. имеет бесчисленное множество решений.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобно записывать её в виде расширенной матрицы системы (7.11), составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, и выполнять затем элементарные преобразования, указанные в процессе Гаусса, со строками расширенной матрицы. Это сокращает запись решения линейной системы и делает его более простым и наглядным.

П р и м е р 1. Найти решение системы:

Р е ш е н и е. Запишем эту систему в виде расширенной матрицы системы и выполним действия, указанные в методе Гаусса, с её строками, используя символическую запись для краткого пояснения решения.

: (4)

~ ~

~ ~

: (–10)

~

Знак ~ при записи матриц означает равносильность соответствующих им систем линейных уравнений. Следовательно, полученной матрице соответствует система уравнений, равносильная заданной:

Так как система уравнений привелась к треугольному виду, то она является совместной и определенной. Последовательно решая уравнения системы снизу вверх, получим решение

П р и м е р 2. Найти решение системы

Р е ш е н и е.

: (–2)

~ ~

: (4)

~ ~

~

Последней матрице соответствует трапециевидная система линейных уравнений. Такая система является совместной и неопределенной. Перенося четвертое неизвестное в правую часть в каждом уравнении, получим систему

Придавая неизвестному произвольное значение , получим решение

Неизвестное в этом случае является свободным неизвестным. Исходная система – совместная и неопределенная, т. е. имеет бесчисленное множество решений в зависимости от выбранного значения .

П р и м е р 3. Решить систему уравнений

Р е ш е н и е.

: (–2)

~   ~

: (4)

~ ~

~

Система несовместна, так как из последней матрицы получаем противоречивый результат: .

7.5.  Система линейных уравнений с базисом. Метод
Жордана – Гаусса

Систему линейных уравнений будем называть системой с базисом, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях (т. е. входящее в них с коэффициентом, равным нулю) и называемое базисным неизвестным.

Предположим, что из n неизвестных базисными являются первые . Тогда система с базисом будет иметь вид:

(7.20)

Неизвестные, не являющиеся базисными, а именно, называются свободными. Если свободным неизвестным придавать любые значения, то при каждом наборе значений свободных неизвестных из уравнений системы (7.20) можно единственным образом получить соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система с базисом всегда совместна, причём возможны два случая:

1) . В этом случае все неизвестные системы (7.20) окажутся базисными, и система будет иметь единственное решение .

2) . В этом случае непосредственно из уравнений системы (7.20) получим выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные :

(7.21)

О п р е д е л е н и е 1. Общим решением системы с базисом (7.20) называется совокупность значений неизвестных , связанных формулами (7.21), которые выражают базисные неизвестные через свободные, где свободные неизвестные могут быть любыми числами.

О п р е д е л е н и е 2. Частным решением системы с базисом (7.20) называется всякое решение, получаемое из общего решения при определённых значениях свободных неизвестных.

Придавая какие угодно значения свободным неизвестным, можно из общего решения получить сколько угодно частных решений. Частное решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным решением системы (7.20).

Таким образом, система линейных уравнений с базисом (7.20) всегда совместна, при этом имеет единственное решение, если все её неизвестные являются базисными, и бесконечное множество решений, если кроме базисных, в ней есть хотя бы одно свободное неизвестное.

Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений (7.1) состоит в том, что с помощью элементарных преобразований процесса Гаусса любую линейную систему можно либо преобразовать в равносильную ей систему с базисом, а значит, найти все её решения, либо убедиться в том, что исходная система несовместна. Для этого на каждом шаге алгоритма метода Жордана – Гаусса с помощью элементарных преобразований в одном из уравнений системы выделяется базисное неизвестное с коэффициентом, равным единице, которое исключается из всех остальных уравнений системы в отличие от метода Гаусса, в котором оно исключается только из последующих уравнений.

Метод Жордана – Гаусса не имеет каких-либо преимуществ в вычислительном отношении по сравнению с методом Гаусса, но он сразу приводит к общему решению системы вида (7.21).

П р и м е р 1. Решить систему методом Жордана – Гаусса: