Магистерская диссертация (стр. 2 )

1.  функция выплат по опциону;

2.  вид зависимости между ценой базового актива
и функцией выплат по опциону;

3.  степень отличия от других опционов;

4.  степень взаимозависимости;

5.  число базовых активов;

6.  возможность траекторного описания;

7.  дата принятия решения и/или дата исполнения опциона;

8.  возможность быть встроенными в другие активы;

Автор надеется, что разработанная таксономия поможет легче понять отличия каждого вида экзотического опциона и его основные признаки.
Таксономия экзотических опционов

Опционы с возможностью траекторного описания

Зависящие от экстремума

Барьерные опционы

Опционы Lookback[1]

Опционы Ratchet [2]

Опционы Shout[3]

Опционы Average[4]

Опционы Average Rate (азиатские опционы)

Опционы Average Strike (по средней цене исполнения
)

Опционы Geometric average (геометрическое среднее)

Опционы на процентные ставки

Опционы кэп

Опционы флор

Опционы с исключительными выплатами

Опционы Contingent Premium

Бинарные опционы

Опционы Cash-or-nothing[5]

Опционы Asset-or-nothing[6]

Зависящие от времени принятия решения об исполнении

Квазиамериканские опционы

Опционы Chooser[7]

Опционы Ratchet

Опционы Shout

Опционы на несколько активов

Опционы Basket[8]

Корреляционные продукты первого порядка

Опционы Rainbow[9]

опцион на лучший/худший из n активов или наличные

опцион на актив с максимальной/минимальной ценой на

момент исполнения

Корреляционные продукты второго порядка

Опционы Cross-Currency

Опционы Quanto[10]

с фиксированным валютным курсом

с плавающим валютным курсом

Опционы Сompo[11]

Составные опционы

Опционы Chooser

Опционы Сompound

Функциональные опционы

Опционы Power

Опционы Curvilinear[12]

Встроенные опционы

Явно встроенные опционы

Неявно встроенные опционы

Легко увидеть, что любой человек может расширить таксономию и создать новый инструмент, добавив дополнительное условие к стандартному опционному контракту
. В магистерской диссертации автор не будет пытаться моделировать новые производные ценные бумаги, а рассмотрит четыре вида экзотических опционов и сравнит возможности, которые предоставляют эти инструменты с возможностями и выгодами от торговли простыми опционами.

Глава 2. Оценка премий экзотических опционов

§ 2.1. Функции конечных выплат по опционам

По мнению автора, наиболее удобным подходом к рассмотрению экзотических опционов является описание соответствующих им функций конечных выплат в момент исполнения Т. Иногда вместо термина «функция конечных выплат» употребляется термин «функция выигрыша» (PAYOFF), поскольку ее значение показывает сумму выигрыша по опциону. Функция прибыли отличается от функции выигрыша на величину будущей стоимости премии опциона.

Напомним, что для простого опциона колл функция конечных выплат выглядит следующим образом:

max {0, ST - K},

где ST - цена актива в момент исполнения, а K - цена исполнения опциона. Функция конечных выплат для простого опциона пут выглядит так:

max {0, K - ST}.

Функция прибыли отличается от функции выигрыша на величину будущей стоимости премии опциона (PFV), то есть

p = PAYOFF - PFV.

Из всего многообразия экзотических опционов автор сосредочилась на следующих инструментах:

1)  Барьерные опционы

2)  Опционы lookback

3)  Азиатские опционы

4)  Опционы chooser

Рассмотрим функции выплат этих инструментов.

Экзотические опционы с возможностью траекторного описания

В отличие от простых опционов, выплаты по опционам с возможностью траекторного описания зависят от направления изменения цены базового актива.

Опционы, зависящие от экстремума

Это опционы с возможностью траекторного описания, которые зависят не только от направления изменения цены базового актива, но также и от максимального и минимального значения, достигаемого в течение жизни данного опциона. Классическим представителем этой категории является класс барьерных опционов.

Барьерные опционы

Барьерный опцион - это опцион, выплата по которому зависит от того, достигла ли цена базового актива определенного уровня за определенный период времени или нет. Одним из примеров данного вида опционов являются опционы CAPS, которые торгуются на СBOT (Chicago Board of Trade). Эти опционы разработаны так, что выплаты по ним не могут превысить $30. Опцион CAP колл автоматически исполняется в день, когда индекс закрывается на уровне, превышающем цену исполнения на более чем $30. Опцион CAP пут автоматически исполняется в день, когда индекс закрывается на уровне более чем на $30 ниже цены исполнения. Опционы CAP, как европейские, так и американские, схожие с теми, которые торгуются на CBOT, обычно используются на внебиржевом рынке [48, c. 419].

Другим видом барьерного опциона является опцион knockout. Его отличие от простого опциона заключается в том, что когда цена базового актива достигает определенного барьера H, опцион прекращает свое существование. В случае опциона knockout колл барьер лежит ниже цены исполнения (Н < К), поэтому этот опцион еще называют down-and-out. В случае опциона knockout пут, H > K, поэтому такой опцион называют up-and-out. Аналогично, опцион down-and-in это колл опцион, который начинает свое существование с момента, когда пересечен барьер Н (Н < K); опцион up-and-in является опционом пут, существующим с момента достижения ценой базового актива барьера Н (Н > K).

Функция конечных выплат для опциона knock-out колл выглядит следующим образом:

max {0, SТ - K}, если St > H для t £ T

компенсация или 0 если St £ H для t £ T

Если опцион прекращает свое существование его владелец в зависимости от условий контракта или не получает ничего или получает фиксированную сумму денег, называемую компенсацией.

Опционы Lookback

Опцион lookback дает его владельцу право приобрести или продать базовый актив по наиболее подходящей ему цене, которая была достигнута в период до исполнения опциона. Функции выплат таковы:

lookback колл

max {0, ST - min(S0,S1,S2, … , ST )};

lookback пут

max {0, max (S0,S1,S2, … , ST ) - ST},

где S0,S1,S2, … , ST - последовательность цен базового актива, наблюдаемых в период до исполнения опциона.

Опционы Average

Данный вид опционов с возможностью траекторного описания учитывает усредненные значения цен базового актива на протяжении всего периода до исполнения опциона. Термин «усредненные» в данном контексте означают либо простое арифметическое среднее, либо взвешенное.

Рассмотрим случай расчета арифметического среднего. Обозначим цены актива за определенный промежуток времени через S0,S1,S2, … Sn, которые берутся с весами w0,w 1,w 2, , wn. Тогда взвешенное среднее арифметическое считается по формуле:

В этом случае функция конечных выплат для опциона average колл будет выглядеть следующим образом:

max{A - K, 0}.

Существует множество разновидностей этого класса опционов. Мы приведем лишь некоторые примеры и их краткое описание.

Опционы Average Rate

Опцион average rate является аналогом простого опциона, у которого спот цена базового актива на дату исполнения заменяется средним арифметическим цен актива, достигнутыми в период до погашения опциона.

Финансовый инструмент был разработан и впервые представлен на внебиржевом рынке токийским отделением компании Bankers Trust, которая продавала его японским фирмам в целях хеджирования валютного риска. Этот факт обусловил появление второго, более распространенного сегодня названия инструмента - азиатский опцион.

Биржевая торговля азиатскими опционами началась в конце семидесятых годов, в форме облигаций с встроенным опционом. В 1977 году компания Mexican Petrobond выпустила облигацию с правом досрочного погашения по среднему курсу с интервалом 25 дней. В мае 1985 года появилась облигация голландской компании Oranje Nassau со сроком погашения 8 лет, которая предусматривала досрочное погашение по максимуму из средней цены 10,5 баррелей нефти Brent Blend за последний год и номинальной стоимости облигации.

Азиатские опционы как самостоятельный производный финансовый инструмент появились позднее. В январе 1988 г. шведская экспортная корпорация AB Svenk Exportkredit выпустила опционы на средний курс йены и немецкой марки, торги которыми проводятся на Люксембургской бирже.

С конца восьмидесятых годов азиатский опцион приобрел репутацию одного им из наиболее популярных экзотических продуктов, несмотря на то, что этот инструмент торгуется в основном на внебиржевом рынке. В настоящее время в практике западных стран опционные контракты average rate заключаются на товары, биржевые индексы, валюту и ставку процента.

Функция выплат по азиатскому опциону колл имеет вид:

max {0, A - K}, где

Опцион Average Strike

Опцион average strike - это опцион, цена исполнения которого заменяется средним арифметическим цен базового актива, которые наблюдались в период до погашения опциона.

Функция выплат по опциону колл:

max{ST - A, 0}.

Опционы Geometric Average

Опцион геометрическое среднее - это опцион average, среднее арифметическое цен базового актива которого заменено средним геометрическим.

Функция выплат по опциону колл:

max{G - K, 0}.

Зависящие от времени принятия решения об исполнении

В то время, как все опционы в той или иной степени зависят от времени, у одних эта зависимость выражена в большей степени, чем у других. Зависимость европейских опционов от времени очень жесткая - опцион исполняется только в определенную дату. С другой стороны, существуют опционы американского типа, которые могут быть исполнены в любое время в период до исполнения опциона.

Опционы Chooser

Опцион chooser позволяет покупателю в будущем выбрать: между правом исполнить либо простой опцион колл, либо опцион пут с одинаковыми ценами и датами исполнения. Функция выплат по такому опциону выглядит следующим образом:

max{C(K, T - t), P(K, T - t); t},

где T - дата исполнения одной из двух альтернатив, а t - время выбора вида опциона.

§ 2.2. Модели ценообразования экзотических опционов

Модели определения премий опционов базируются на ряде предположений.

1.  Изменение цены актива в будущем - это случайный процесс. В теории для описания этого процесса пользуются логарифмически нормальным (логнормальным), а не нормальным распределением, поскольку

А) Нормальное распределение является симметричной кривой относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Однако цена актива, лежащего в основе опционного контракта, не может быть отрицательной.

B) Нормальное распределение предполагает, что переменная может пойти вверх или вниз с равной вероятностью. В то же время, инфляция в экономике оказывает давление на цены в сторону их повышения [2, стр. 167].

Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность. Это указывает на большую вероятность цены пойти вверх, а не вниз. Плотность логнормального распределения случайной величины z =ex записывается следующим образом:

где а - математическое ожидание случайной нормальной величины х, а s2 - ее дисперсия.

2.  Если S(t)- спот-цена актива в момент времени t, то изменение цены описывается стохастическим процессом Ито, который может быть выражен уравнением

где z описывается процессом Винера, m - ожидаемая доходность актива, s-отклонение цены от ожидаемого изменения [37, стр. 163].

Винеровский случайный процесс - процесс X(t), 0<t<¥, для которого X(0)º0, а в любом интервале (t2, t1) приращение процесса, характеризуются гауссовским распределением с параметрами ( 0, t2-t1), то есть

[6, с. 15].

3.  В моделях рассматривается непрерывное начисление процента. При вложении $1 при ставке процента r на срок t при окончании срока полученная сумма составит 1´ert.

4.  Остаются справедливыми гипотезы модели Блэка-Шоулса, а, именно, гипотеза эффективности рынка, предположение об отсутствии возможности проведения арбитражных операций и нулевые трансакционные издержки.

5.  Рассматриваются европейские, а не американские опционы.

6.  Основные обозначения моделей

S - cпот курс в момент заключения опционного контракта;

К - цена исполнения;

T - время до даты исполнения в годах;

Н - значение установленного барьера;

s - волатильность базового актива;

r - безрисковая ставка процента для национальной валюты;

rf - безрисковая ставка процента для иностранной валюты.

Рассмотрим опционы, зависящие от экстремума. Стоимость опциона до исполнения и в момент исполнения зависит от цены спот S и параметра времени t и от параметра, который мы обозначим как I. Определение параметра I будет зависеть от рассматриваемого опциона. Например, для опциона lookback имеем:

I = max S(t) при 0£t£t

а для азиатского опциона со средним геометрическим I преобразуется в ò0 I log S(t)dt

В Приложении 3 приведены несколько типов экзотических опционов с соответствующим определением значения I. [45 , c. 126].

Работа Блэка-Шоулза была построена на основе образования хеджированного портфеля, состаящего из опциона и продажи D базовых активов. Стоимость такого портфеля равна

V(S, I, t) - DS.

Напомним, что правильный выбор параметра D дает безрисковый портфель. Изменение в стоимости этого портфеля равные изменению безрисковой ставки процента равны

¶V/¶t +f(S, t)* ¶V/¶I + (rS-D(S, I,t)* ¶V/¶S – rV+(S2/2)*( ¶2V/¶S2)

В математике это уравнение называют параболическим уравнением в частных производных или уравнение диффузии. Уравнения такого вида были получены более 150 лет назад в физике, до того как Блэк и Шоулз открыли их в финансовой экономике.

Уравнение диффузии в таком виде не имеет единственного решения. Для получения такого решения необходимо задать граничные условия и первоначальные условия.

Первоначальные условия определяет стоимость опциона на момент исполнения, то есть при t = T. Для простого опциона мы имеем

V(S, I, T) = max (S-K,0),

где K это цена исполнения.

Граничные условия определяют стоимость опциона для некоторой цены базового актива S в течение всего периода времени. Для получения единственного решения диффузионного уравнения необходимы два условия: стоимость опциона должна быть определена при S = 0 и S = ¥. Для простого опциона колл граничные условия задаются как

V(0,I, t) = 0 и dV/dS(¥, I, t)=1.

Описанные выше условия позволяют рассчитать стоимость простых опционов пут и колл по формуле Блэка-Шоулза:

Оценка стоимости экзотических опционов основывается на дальнейшей разработке модели, полученной Блэком и Шоулзом. Для опциона колл премия рассчитывается по следующей формуле:

где

а цена пут опциона находится из уравнения паритета

Блэк и Шоулз опубликовали результаты своей работы в 1973 году, а Р. Мертон опубликовал более обобщий подход к оценке опционов. Работы экономистов принесли Мертону и Блэку Нобелевскую премию по экономике в 1997 году. Блэк скончался в 1995 году.

Рассмотрим выбранные экзотические опционы. В качестве базового актива выберем валютный курс.

Азиатский опцион

В основе математической модели определения премии азиатского опциона лежит метод аппроксимации, предложенный профессором Эразмузского университета (Нидерланды) Тоном Ворстом [48, стр.183].

Пусть в даты Т1 , ......... Тn фиксируется валютный курс S(Т1 ), .....S(Тn ) для расчета его среднего значения.

Тогда цена европейского опциона average rate колл представляется как дисконтированное
математическое ожидание функции выплаты на дату исполнения:

Предположим, что выплата по азиатскому опциону на дату исполнения составит не

то есть расчет показателя A проводится по формуле геометрического среднего. Тогда цена азиатского опциона колл в момент времени t может быть записана как

Поскольку произведение логнормально распределенных случайных величин также распределено логнормально, то возможно в явном виде вычислить интеграл

и получить формулу для цены азиатского опциона на основе геометрического среднего

где N(i)- кумулятивная функция нормального распределения

M и V - среднее и стандартное отклонение величины

причем

Для аппроксимации цены азиатского опциона необходимо учесть тот факт, что значение арифметического среднего всегда больше значения геометрического среднего, а, значит, и цена опциона будет выше. Поэтому в формуле цена исполнения уменьшается на величину

Премия опциона пут находится из уравнения паритета, которое в данной модели выглядит следующим образом:

Точность описанного метода достаточно высока. При малых стандартных отклонениях разница в значениях, полученных с помощью метода аппроксимации и методом Монте-Карло меньше 1%.

Барьерный опцион

Цена опциона knockout колл в нулевой момент времени определяется по формуле:

Цена европейского опциона knockout пут находится из соотношения

где

Обычный опцион колл есть сумма цен соответствующих опционов down-and-out и down-and-in. Цена европейского опциона down-and-out колл, таким образом, вычисляется как цена обычного европейского опциона минус цена соответствующего опциона down-and-in. Аналогично цена европейского опциона up-and-out есть цена обычного европейского опциона пут минус цена соответствующего up-and-in опциона [R. Merton “Theory of Rational Option Pricing”, Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (1973)].

Опцион chooser

Если опционы, являющиеся базовыми для опциона chooser, оба европейские и имеют одну и ту же цену исполнения, паритет опционов пут и колл может быть использован для вывода формулы оценки премии этого опциона. Предположим, что покупатель принимает решение о выборе опциона пут или опциона колл в момент времени t1. S1 - значение валютного курса в этот момент, t2 - срок исполнения опциона. Цена опциона в момент t1 будет равна

max (c, p),

где с - цена базового опциона колл, p - цена базового опциона пут.

Паритет опционов пут и колл подразумевает, что

max (c, p) = max (c, c + Ke-r*(t2 - t1) - S1e-rf*(t2 - t1)) =

c + e-rf*(t2 - t1) * max (0, Ke-(r - rf)*(t2 - t1) - S1)

Это означает, что опцион chooser эквивалентен стратегии стрэддл с двумя составляющими:

1.  Опцион колл с ценой исполнения K и сроком исполнения t2;

2.  e-rf *(t2 - t1) пут опционов с ценой исполнения Ke-(r - rf)*(t2 - t1) и сроком исполнения t1.

Премии простых опционов находятся по формуле Блэка-Шоулса [23, стр. 418].

Опцион lookback

Модель оценки премии европейских опционов lookback была разработана коллективом американских ученых Б. Голдменом, Х. Сосиным и A. Гато и опубликована в статье “Path-Dependent Options: Buy at the Low, Sell at the High” [Journal of Finance, 39 (1979)]. Согласно модели, премия европейского опциона lookback колл рассчитывается по формуле

где Smin - минимальное значение валютного курса, достигнутое за срок жизни опциона;

Премия опциона lookback пут равна

где Smax - максимальный валютный курс, достигнутый в период жизни опциона;

Цена опциона lookback зависит от частоты наблюдений за ценой базового актива Формулы, приведенные выше, базируются на предположении о непрерывном наблюдении валютным курсом S.

§ 2.3. Примеры расчетов премий опционов

В данном параграфе автор приводит простые примеры расчета премий выбранных для анализа инструментов.

Предположим, что на карте мира существуют две страны - развивающаяся страна А и развитая страна В. Компания ХХХ, резидент страны А, экспортирует электроэнергию из страны А в страну В. Базовым активом для всех опционов является валютный курс А к В. Расчет за поставку энергии производится в конце каждого квартала. Сумма в валюте В, которая поступает на счет компании XXX равна W (сумма выручки) , а квартальная прибыль - П. Опционный контракт во всех случаях является европейским и заключается сроком на три месяца - с 1 января по 1 апреля 2002 года. Наблюдения за изменениями цены базового актива ведутся первого числа каждого месяца. Финансовый директор принимает решение о заключении опционного контракта 1 января 2002 года. Функции выигрышей по опционам вычисляются в терминах валюты страны А.

Безрисковая ставка процента в валюте развивающейся страны А составляет 30%, в стране В, т. е. для компании ХХХ в иностранной валюте, - 10%. Посчитаем знаечение s.

Пусть в IV квартале 2001 года в стране А наблюдалась следующая динамика обменного курса:

1 октября: S(T1)=15A/1B

1 ноября: S(T2)= 6 A/1B

1 декабря: S(T3)= 7A/1B

Для определения исторического стандартного отклонения (оценка волатильности) используется формула :

Отсюда, волатильность равна 148%.

Пример 1. Азиатский опцион

Финансовому директору компании для составления квартального баланса необходимо рассчитать выручку и затраты по существующим контрактам и сделать прогноз показателя прибыль/убыток в валюте страны А. Для перевода полученной суммы выручки из валюты B в валюту А финансовый директор выбирает среднемесячный курс 10A/1В, сложившийся в IV квартале 2001 года. Если в течение года произойдет укрепление позиций валюты развивающейся страны А к валюте развитой страны В, то есть курс упадет ниже отметки 10А/1B, финансовый директор понесет убытки. Для хеджирования трансляционного или балансового риска, финансовому директору необходимо купить азиатский пут опцион в валюте B на сумму W со сроком исполнения три месяца и ценой исполнения 10А/1В.

Рассмотрим возможные сценарии развития событий.

1 января 2002 года.

Текущий валютный курс равен 12А/1В. Финансовый директор покупает пут опцион со сроком исполнения три месяца и ценой исполнения 10A/1B, заплатив за него опционную премию. С момента открытия позиции 1 числа каждого месяца фиксируется текущее значение курса и рассчитывается его среднее значение. Последним днем пересчета среднего является дата исполнения опциона.

1 апреля 2002 года.

В течение квартала были зафиксированы следующие значения обменного курса.

1 января: S(T1)=12A/1B

1 февраля: S(T2)=4A/1B Средний обменный курс = (12+4+3+1)/4= 5A/1B

1 марта: S(T3)=3A/1B

1 апреля: S(T4)=1A/1B

Опцион на момент исполнения является опционом с выигрышем, исполняется его владельцем и приносит ему прибыль в размере (10-5 - Р3mo, PA)*W, где Р3mo, PA - премия по трехмесячному азиатскому пут опциону.

Напомним, что премия по азиатскому пут опциону находится по модели Ворста и уравнения паритета.

Подставляя в качестве цены страйк средний обменный курс 5 A/B, получаем, что премия пут опциона равна 0,69А.

Пример 2: Покупка барьерного опциона

Финансовый директор, предполагая значительное падение курса валюты страны В, принимает решение о хеджировании валютного риска, связанного с предполагаемой конвертацией выручки W в валюту А. Текущий валютный курс составляет 12А/1В. Идеальным вариантом ему представляется покупка простого опциона пут с ценой исполнения 10А/В и сроком исполнения 3 месяца. Однако, сложившаяся рыночная ситуация делает этот процесс слишком дорогостоящим. Для уменьшения издержек хеджирования, финансовый директор решает приобрести барьерный опцион пут с верхней границей 15А/1В. Премия по такому типу опциона, также называемому up-and-out (up - «вверх» означает, что цене базового актива необходимо будет подниматься для достижения установленного барьера, out - «вне» означает, что опцион прекращает свое существование, если цена базового актива достигает барьера) будет ниже, чем по простому.

В течение трех месяцев значение валютного курса не превысило отметку 15 A/B и покупатель опциона может воспользоваться своим правом.

Значение валютного курса 1 апреля 1998 года упало до 1A/1B.

Опцион на момент исполнения является опционом с выигрышем и финансовый директор, исполняя его, получает прибыль в размере Pq, Pb)*П.

Как уже упоминалось в описании барьерного опциона, премия опциона up-and-out пут вычисляется как премия обычного европейского опциона пут минус премия опциона up-and-in пут.

Рассчитаем премию по опциону up-and-in пут:

Далее находим премию по простому опциону пут с теми же параметрами, и вычисляем премию по барьерному опциону up-and-out пут европейского типа:

Пример 3. Покупка опциона chooser

В стране B в январе грядут выборы федерального правительства. Финансовый директор компании ХХХ не обладает достаточной информацией, чтобы сделать выводы об исходе выборов. Тем не менее, пользуясь сложившимися обстоятельствами, он желает сыграть на исходе события, используя некоторое количество своих собственных средств (C) в валюте страны В. Так как директор не имеет представления о том, какая тенденция будет превалировать на рынке после выборов, ему представляется наилучшим вариантом приобрести опцион chooser с правом выбора между простым колл и пут опционом через один месяц после заключения опционного контракта, сроком исполнения 3 месяца и ценой исполнения 10А/1В (среднемесячный курс в IV квартале 1997 года). Таким образом, если после выборов наметится тенденция укрепления валюты страны A (падение курса), финансовый директор изберет опцион пут, и, если тенденция не изменится, получит выигрыш по истечению трех месяцев. Если же после выборов курс валюты В начнет расти, директор, предполагая, что тенденция не изменится, выберет опцион колл, и, если на момент исполнения, опцион будет с выигрышем, то финансовый директор на валютном рынке реализует опцион колл на покупку валюты В, а затем продаст ее по текущему курсу, при этом получая выигрыш в размере разницы между рыночным курсом и ценой исполнения опциона, умноженной на размер контракта С.

Рассмотрим теперь на примере возможные сценарии развития событий:

1 апреля: S=18 A/1B

В этом случае прибыль по выбранному опциону колл составит Pq, C)*С.

Сценарий 2.

Результаты выборов были объявлены и курс валюты страны В стал стремительно падать. Его значение на 1 февраля составило 4A/1B. В этом случае выбором финансового директора станет опцион пут.

На дату исполнения (1 апреля) валютный курс равен 1A/1B.

В этом случае опцион пут является опционом с выигрышем, и финансовый директор получает прибыль по опциону в размере Pq, Ch)*C, где Pq, Ch - премия по трехмесячному опциону chooser. Аналогично сценарию 1 может быть рассмотрена динамика валютного курса, при которой исполнение опциона пут не будет оптимальной стратегией.

Оценим опцион chooser по следующей схеме: опцион chooser эквивалентен стратегии стрэддл с двумя составляющими. Таким образом, наша задача сводится к расчету премии по:

простому опциону колл с ценой исполнения 10 (именно столько стоит единица валюты, на покупку или продажу которой заключался опцион) и сроком исполнения - 3 месяца;

расчету премии по 0,98 (e-rf*(t2 - t1)) пут опционам с ценой исполнения 9,67 (Ke-(r - rf)*(t2 - t1)) и сроком исполнения 1 месяц. После чего, путем суммирования двух полученных премий мы получим премию по опциону chooser.

Вычислим премию простого опциона колл, используя формулу Блэка-Шоулса:

Таким образом, премия по простому опциону колл составит 4,38А.

Найдем премию опциона пут:

Мы получили премию по трехмесячному опциону колл с ценой исполнения 10А, равную 6,25А, и премию по одномесячному опциону пут с ценой исполнения 9,67А, равную 0,83А. Остается найти премию по опциону chooser:

Мы видим, что в ситуации, подобно той, которая описана в примере 1, более выгодным является опцион chooser, а не стрэддл из колла и пута, т. к. премия по опциону chooser меньше, чем суммарная премия по простым опционам колл и пут.

Пример 4. Покупка опциона lookback

Финансовый директор компании ХХХ, предвидя значительные флуктуации валютного курса, принимает решение застраховать выручку своего предприятия в валюте страны В путем покупки европейского опциона lookback пут на валюту В.

Причиной приобретения именно этого опциона является тот факт, что директор желает по истечению трех месяцев приобрести валюту А по наиболее подходящему ему курсу, достигнутому за рассматриваемый период. Это означает, что на момент исполнения опциона он отдаст предпочтение тому курсу, при котором за единицу валюты В давали наибольшее количество валюты А (то есть В была наиболее сильной). Таким образом, опцион lookback дает своему владельцу получить выигрыш в размере разницы между минимальным значением курса валюты А (или максимальным курсом валюты В, то есть максимальной ценой базового актива) и спот курсом, либо, если предположения владельца не подтверждаются, владелец несет убытки в размере премии по опциону. Значения обменного курса фиксируются первого числа каждого месяца.

Сценарий 1.

Динамика валютного курса описывается следующим рядом:

1 января: S(T1)=12A/1B

1 февраля: S(T2)=14A/1B

1 марта: S(T3)=3 A/1B

1 апреля: S(T4)=1 A/1B

Опцион на момент исполнения является опционом с выигрышем и приносит своему владельцу прибыль в размере Pq, PL)*W, где Pq, PL - премия по трехмесячному опциону lookback пут.

Определение премии опциона lookback

Приступим к оценке стоимости опциона lookback. Рассчитаем цену европейского опциона lookback колл в нулевой момент времени (премию опциона):