Элементы высшей математики Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 230113 «Компьютерные системы и комплексы» (стр. 3 )

4) Вычислить с помощью первого и второго замечательных пределов

5). Найти предел, используя правило Лопиталя

6) Исследовать функцию и построить график.

Интегральное исчисление функции одной переменной.

7) Найти неопределенный интеграл.

Теория рядов

8) Исследовать на сходимость ряд.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух переменных

9)Найти частные производные первого порядка:

10) Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Дифференциальные уравнения

11).Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка.

1). 6). ;

2). 7).

3). 8).

4). ; 9).

5). 10).

6.  КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

6.1. Определители. Свойства определителей

Определитель второго порядка - это число, равное значению выражения

Элементы образуют главную диагональ; элементы - побочную диагональ.

Пример: Вычислить определитель второго порядка

Определитель третьего порядка - это число, равное значению выражения

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

Определитель n-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

Ей соответствует определитель n-го порядка, который обозначается

Другие обозначения определителя: D, Dn (n - порядок определителя),

Минор Мij элемента aij - это определитель Dn-1, получаемый путем вычеркивания из определителя Dn i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение Аij элемента аij - это произведение соответствующего минора Мij на выражение (-1)i+j.

Пример: Найти М32 и А32 определителя

Вычеркнем третью строку и второй столбец :

Составим определитель, который и будет минором : М32=

Алгебраическое дополнение А32=(-1)5

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пример: Разложить определитель по элементам первой строки.

Свойства определителей n-го порядка.

1.  Значение определителя не изменится:

1.1.  при транспонировании соответствующей матрицы,

1.2.  при сложении элементов какой-либо строки (столбца) с элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и тоже число, не равное нулю.

2.  При перестановке каких-либо двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3.  Определитель равен нулю, если:

3.1.  он содержит нулевую строку (столбец),

3.2.  элементы какой-либо строки (столбца) пропорциональны или равны элементам другой строки (столбца).

4.  Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) равен сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в первом из них элементы соответствующей строки равны первым слагаемым, во втором - вторым слагаемым.

5.  Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Примеры:

Не вычисляя определителей доказать справедливость равенств:

1). Данное равенство верно, т. к. элементы первого и третьего столбцов пропорциональны.

2). Равенство верно, т. к. произведена перестановка первой и второй строк.

3). Согласно свойству перепишем определитель в виде суммы двух определителей:

.

Первый определитель равен нулю, т. к. равны первая и третья строки; второй определитель равен нулю, т. к. пропорциональны вторая и третья строки. Следовательно и исходный определитель равен нулю.

Вычисление определителей п-го порядка с помощью свойств

Процесс вычисления определителя п-го порядка путем разложения его по элементам строки (столбца) упрощается, если содержится строка (столбец) с элементами, равными нулю, т. к. сокращается число слагаемых в разложении. Поэтому, перед разложением определителя, следует путем линейных комбинаций получить нули в какой-либо строке (столбце).

Пример: - вычислить определитель.

Просмотрев строки и столбцы, выберем для разложения первую строку, т. к. в ней есть нулевой элемент. Все элементы, кроме единицы путем линейных комбинаций со столбцами превратим в нули. Единица выбрана с точки зрения простоты вычислений.

Для обращения в ноль элемента 4 умножим второй столбец на –4 и прибавим к элементам первого столбца. Для обращения в ноль элемента 3 умножим второй столбец на –3 и прибавим к элементам четвертого столбца. Получим определитель, равный исходному и разложим его по элементам первой строки. В разложении будет только одно произведение, т. к. все остальные равны нулю.

Определитель третьего порядка вычислим по правилу треугольника и получим

410=-410.

6.2. Действия над матрицами. Матричный способ решения систем линейных уравнений

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В является матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

Произведение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число (АА) является матрица С, элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на число , т. е.

Произведение матриц.

Произведением матриц и является матрица , каждый элемент которой определяется следующим образом :

Транспонирование матрицы.

Дана матрица . Транспонированная матрица получается путем замены в матрице А строк на соответствующие столбцы (столбцов на соответствующие строки).

Пример: выполнить действия над матрицами

Укажем порядок действий, возможность их выполнения и размеры получаемых матриц:

1.  Умножение матрицы А на –1. Размер матрицы –А такой же, как и у матрицы А - .

2.  Транспонирование матрицы В. Размер матрицы

3.  Умножение матрицы из предыдущего действия на 2. Матрица такого же размера, как в действии 2.

4.  Сумма матриц –результатов 1 и 3 действий. Действие возможно, т. к. матрицы одного размера, получаемая матрица размера

5.  Умножение матрицы - результата 4 действия на матрицу В. действие возможно, т. к. в первой матрице 3 столбца, а во второй матрице 3 строки. Получаемая матрица размера

Покажем каждое действие:

1.  -1

2. 

3.  2

4.  +=

5.  =

Равные матрицы. Матричные уравнения вида AX=B.

Матрицы А и В равны тогда и только тогда, когда

Решить уравнение AX=B, где

Алгоритм решения:

1.  Определить размер матрицы Х и подставить в уравнение вместо обозначения саму матрицу. В данном случае матрица Х имеет размер определяется исходя из правила умножения матриц.

2.  Выполнить умножение в правой части уравнения :

3.  Пользуясь определением равных матриц, составить систему уравнений и решить ее. В данном случае получим систему Откуда получим x=2, y=-1. Тогда искомая матрица имеет вид Х=(2 1).

Обратная матрица.

Любая невырожденная матрица А (определитель не равен о) имеет обратную А-1 такую, что АА-1=Е (Е - единичная матрица).

А-1 имеет вид : А-1= Следовательно, каждый элемент обратной матрицы находится следующим образом

Пример: Построить обратную матрицу для В= и выполнить проверку.

Вычислим определитель |B|=13.Значит обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы:

А11=2,

А12=1,

А21=-7,

А22=3.

Тогда

Выполним проверку: ВВ-1= .

Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Рассмотрим матрицу Данную систему можно записать в виде матричного уравнения АХ=В, где А=,

Если матрица А невырожденная, то решение имеет вид: Х=А-1В.

Пример: Решить систему матричным методом

Вычислим определитель матрицы . Значит, матрица невырожденная и система имеет решение. Перепишем систему в виде матричного уравнения

Решение имеет вид

Для составления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения

А11=-6, А21=-18, А31=-6,

А12=-11, А22=7, А32=-1,

А13=-1, А23=17, А33=-11.

Тогда

Ответ: x=3, y=1, z=1.

Решить систему матричным методом

Вычислим определитель матрицы . Значит, матрица невырожденная и система имеет решение. Перепишем систему в виде матричного уравнения

Решение имеет вид

Для составления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения

А11=-6, А21=-18, А31=-6,

А12=-11, А22=7, А32=-1,

А13=-1, А23=17, А33=-11.

Тогда

6.3. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Минор к-го порядка- это определитель к-го порядка, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении выделенных к строк и к столбцов.

Пример: . Составим минор 2-го порядка, выделив, например, первую и третью строки и третий и четвертый столбцы: = 7-1=6.

Ранг матрицы- это наибольший порядок минора, отличного от нуля. Обозначение: r(A)- ранг матрицы А. Если все элементы матрицы равны 0, то r(A)=0.

Эквивалентные матрицы- это матрицы, ранги которых равны.

Приведем перечень преобразований, называемых элементарными, не меняющих ранга матрицы, т. е. позволяющих заменить матрицу на эквивалентную. Итак, ранг матрицы не изменится, если:

1.  Транспонировать матрицу.

2.  Умножить какую-либо строку или столбец на число, отличное от нуля.

3.  Переставить строки или столбцы местами.

4.  Выполнить линейные комбинации со строками или столбцами.

5.  Вычеркнуть нулевую строку или столбец.

6.  Вычеркнуть одну из равных или пропорциональных строк или столбцов.

Примеры:

Вычислить ранги матриц.

1).. Вычеркнем четвертый столбец, т. к. элементы четвертого и третьего столбцов соответственно равны. Получим эквивалентную матрицу . Вычислим определитель матрицы : следовательно r(A)= 3.

2). . Все три строки пропорциональны, поэтому вычеркнем, например, вторую и третью, получим эквивалентную матрицу . Значит r(B)=1.

Ранг матрицы можно вычислить, приведя ее к треугольному или трапециидальному виду: с помощью элементарных преобразований превратить в нули поочередно все элементы под aii. Тогда ранг матрицы будет равен min(k, l), где k - количество строк, l - количество столбцов в полученной матрице.

Пример:Приведем матрицу к трапециидальному виду. Превратим в нули элементы под а11: умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на –5 и прибавим к третьей. Для получения нулей под а22 умножим вторую строку на –2 и прибавим к третьей. В третьей строке получим нули и поэтому вычеркнем ее.

Следовательно, r=2.

Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим систему

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. Если к матрице системы приписать столбец из свободных членов, то получим расширенную матрицу.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и – несовместной, если не имеет решения.

Теорема Кронекера - Капелли : Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Если ранг совместной матрицы равен числу неизвестных, то матрица имеет единственное решение и называется определенной.

Если ранг совместной матрицы меньше числа неизвестных, то матрица имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной.

Примеры:

1). Исследовать систему на совместность :

Найдем ранг матрицы и расширенной матрицы:

Вторую строку разделим на 3 и вычтем из нее первую.

Ранг матрицы равен 3, а ранг расширенной матрицы - 2. Значит, система несовместна.

2). Исследовать на совместность и определенность систему

Вычислим ранги матрицы и расширенной матрицы

Прибавим к первой строке вторую. Получили пропорциональные строки: 1-ая и 3-ья. Вычеркнем, например, третью. К третьей строке прибавим вторую. Получим пропорциональные третью и четвертую строки, вычеркнем четвертую.

Составим минор 3-го порядка и вычислим его 1. Следовательно, r(A)=r(A/)=3. Ранг равен количеству неизвестных, значит, система определенная. Для поиска ее решения можно воспользоваться формулами Крамера или матричным методом.

Базисный минор-любой минор матрицы системы порядка r, не равный нулю.

Рассмотрим поиск решения неопределенной системы. Из системы выбирают r уравнений, среди коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора и составляют новую систему. Далее выделяют r неизвестных, называемых базисными неизвестными, с коэффициентами - элементами базисного минора. Выражают их через остальные неизвестные, которые называются свободными. Таким образом, получают систему с квадратной матрицей и решают ее любым способом. Такое решение системы называется общим. Если свободным неизвестным придавать конкретные значения, то получим частное решение системы. Т. к. класс действительных чисел есть бесконечное множество, то и частных решений существует тоже бесконечное множество.

Пример: Исследовать систему и найти решение

Найдем ранги матриц

Умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй. Затем первую строку умножим на –5 и прибавим к третьей. Получили пропорциональные вторую и третью строки. Вычеркнем третью.

Ранги матриц равны двум. Система совместная и неопределенная.

Выделим два уравнения - первое и второе. Пусть x1 и x2- базисные неизвестные. Вычислим соответствующий минор - значит минор базисный. Составим систему, выражая в уравнениях базисные неизвестные через свободные:

Обозначим : x3=u, x4=v. Получим общее решение x1=

x2=

Метод Гаусса

Поясним смысл данного метода на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Допустим, что а11 0( если а11=0, то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое, в котором коэффициент при х не равен 0).

1 шаг: делим первое уравнение на а11, умножаем на –а21 и прибавляем ко второму уравнению.

Затем умножаем первое уравнение на –а31 и прибавляем к третьему уравнению. И, наконец, умножаем первое уравнение на –а41 и прибавляем к четвертому. В результате первого шага приходим к системе

1 шаг: поступаем со вторым, третьим и четвертым уравнениями второй системы так же, в итоге исходная система преобразуется к ступенчатому виду.

Из последнего уравнения, содержащего одну неизвестную u, найдем ее. Подставим полученное значение в третье уравнение и решим его относительно z. И так далее, дойдя до первого уравнения, найдем все неизвестные.

Практически приводят к ступенчатому виду не систему, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных слагаемых. Вводят еще один контрольный столбец- каждый его элемент равен сумме элементов соответствующей строки. Контрольный столбец тоже преобразуется. Если вычисления выполнены верно, то каждый элемент контрольного столбца будет равен сумме элементов соответствующей строки.

Если система приводится к треугольному виду, т. е. последнее уравнение имеет одну неизвестную, то система определенная; если же система приводится к трапециидальному виду, т. е. последнее уравнение содержит более одной неизвестной, то система неопределенная.

Если же в период преобразований, какое - либо уравнение примет вид 0=1, то система несовместная.

Пример:

Составим матрицу, поменяв местами первое и второе уравнения

из второй и третьей строк вычитаем первую умноженную на 3 и 4, получим эквивалентную матрицу . Значения элементов контрольного столбца показывают, что вычисления выполнены верно. Вторую строку умножим на –5 и прибавим к третьей, снова получим эквивалентную матрицу .

Получим систему треугольного вида, значит она совместная и определенная:

Получаем решение (-1, 3, 2).

6.4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Разложение вектора по базису

Если векторы не коллинеарны, то они могут быть базисом на плоскости.

Разложение по базису геометрически:

Для того чтобы разложить вектор по двум неколлинеарным векторам необходимо расположить их из общего начала; достроить параллелограмм, где лежат на одних прямых со смежными сторонами параллелограмма, - является его диагональю. Найти числа m и n такие, что бы выполнялось равенство .

c

a

 

b

 

Аналитическое решение задачи:

Если векторы заданы своими координатами, то составляют равенство . Выполняя действия в правой части, получают систему уравнений, решение которой – искомые числа.

Пример: даны векторы разложить вектор по базису и .

Подставим координаты векторов в равенство и составим систему уравнений:

Откуда имеем Тогда

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Из определения следует условие перпендикулярности ненулевых векторов:

скалярное произведение в координатной форме:

Примеры:

1). Перпендикулярны ли векторы ?

Найдем скалярное произведение каждой пары векторов в координатной форме :

2). Найти угол между векторами и , если - угол между .

Пусть - искомый угол, пользуясь определением скалярного произведения векторов, найдем его косинус: