Составим таблицу:
x |
| 1 |
|
| - | --- | + |
| --- |
f(x)7.
|
|
|
|
|
|
 |
Строим график функции согласно порядку исследования.
6.10. Основные методы нахождения неопределенного интеграла
Непосредственное интегрирование.
Метод основан на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. При необходимости подынтегральная функция путем преобразований сводится к табличному интегралу.
Пример: а) 
Преобразуем подынтегральную функцию: выполним почленное деление, затем используем свойство об интеграле суммы функций, используем табличные интегралы.
б) 
Понизим степень подынтегральной функции, используя тригонометрическое тождество, и сведем интеграл к двум табличным интегралам:
Интегрирование способом подстановки
Используются два вида подстановок :
а) x=
-непрерывная дифференцируемая функция от t, тогда
б) t=
-непрерывная и дифференцируемая функция
Примеры:
а) 
Замечание: если между переменной интегрирования и -линейная зависимость, то можно использовать следующее равенство: dx=
б) 
в) 
3x2-производная x3, поэтому внесем x2 под знак дифференциала:
Интегрирование по частям
Применяем формулу интегрирования по частям: 
Следует учесть рекомендации: в качестве u выбирают функцию, которая при дифференцировании упрощается (превращается в константу), а в качестве dv – функцию, для которой существует табличный интеграл.
Если подынтегральная функция имеет вид P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, где P(x) – многочлен, то u=P(x), dv: eax, sinax, cosax. Причем формулу интегрирования по частям используют столько раз, какова степень многочлена.
Если подынтегральные функции вида: P(x)lnx, P(x)arcsinax, P(x)arcosax, то в качестве u - lnx, arcsinax, arccosax.
Если подынтегральная функция имеет вид : eaxsinbx (eaxcosbx), то используя формулу интегрирования по частям два раза получим уравнение относительно искомого интеграла.
Примеры:
а) 
обозначим искомый интеграл через I, получим уравнение:
I=e 2x sinx+2e 2x cosx-4I, отсюда находим : 
6.12. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида
или
называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
Метод интегрирования таких уравнений состоит в следующем. Если в уравнении производную 
представить в виде отношения дифференциалов 
и функция 
не равна нулю на рассматриваемом интервале, то данное уравнение приводится к виду
.
Если функции 
в уравнении (5) не равны нулю, то его можно привести к виду
.
Полученные дифференциальные уравнения и называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.
Проинтегрируем уравнение почленно
или
,
где 
. Выражение представляет собой общий интеграл (общее решение) уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
.
где 
– заданные непрерывные функции от x или постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Его характерным признаком является наличие лишь первых степеней функции 
и ее производной . Если 
, то линейное уравнение называется неоднородным. Если 
, то уравнение
.
называется линейным однородным.
Для решения неоднородных линейных уравнений можно использовать метод Бернулли, или метод подстановки.
Рассмотрим первый метод.
Будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде
.
Для удобства аргумент x в дальнейшем будем опускать. Тогда 
. Подставляя в уравнение, получим
;
.
Если функцию 
выбрать как некоторое решение уравнения с разделяющимися переменными 
(или однородного линейного уравнения), то исходное уравнение примет вид
.
Подставляя найденное решение в данное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно переменной x и функции u(x). Если 
– общее решение полученного уравнения, то общее решение исходного линейного уравнения примет вид:
,
или окончательная формула для определения имеет вид:
.
Таким образом, интегрирование линейного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными, одно из которых является однородным.
Замечание. Если вместо 
и подставить полученное после интегрирования значение, то получим, что общее решение линейного, уравнения, равное сумме общего решения соответствующего однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения.
,
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
называется однородным относительно переменных x и y, если 
– однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным относительно переменных x и y, если 
и 
– однородные функции одной и той же степени k относительно своих аргументов.
Функция называется однородной степени k относительно переменных x и y, если для произвольного действительного числа a выполняется равенство
.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде
. (1)
Метод интегрирования однородных дифференциальных уравнений состоит в следующем. Однородное дифференциальное уравнение приводится к виду (1). Вводится новая переменная 
или 
, где 
(
), и после подстановки в уравнение (1) приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой функции t(x).
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение
где коэффициенты 
– постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если 
, то уравнение называется неоднородным.
Если 
, то уравнение называется однородным.
I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Общим решением уравнения является функция
Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения :
1) составляют соответствующее ему характеристическое уравнение (заменяя в однородном уравнении производные от искомой функции на k в соответствующей степени, то есть 
на 
, на 
и 
на 
)
(18).
Полученное квадратное уравнение может иметь (в зависимости от дискриминанта 
) два различных действительных решения, два совпадающих (кратный корень) действительных решения и пару комплексно-сопряженных решений;
2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение.
Корни характеристического уравнения | Частные решения | Общее решение однородного дифференциального уравнения | |
I | Два действительных и различных корня, т. е. |
|
|
II | Два действительных и совпадающих корня, т. е. |
|
|
III | Два комплексно сопряженных решения, т. е. |
|
|
, 
6.13. Числовые ряды
Определение числового ряда. Свойства числовых рядов
Определение: Пусть дана бесконечная числовая последовательность а1, а2,, а3, … Символ а1 + а2 +а3 +…=
. называется числовым рядом, а сами числа- члены ряда.
Члены ряда задаются формулой п-го члена, позволяющей по номеру найти сам член ряда.
Пример: Записать первые три члена ряда 
Ряд задан формулой п-го члена. Подставляя вместо п соответствующий номер, находим сам член ряда:
Определение сходящегося ряда: Числовой ряд сходится. Если существует конечный предел его частичных сумм, т. е.
Свойства числовых рядов
Теорема 1: Если в числовом ряду отбросить первые т его членов, то ряд r m= а т+1 +а т+2 +…(остаток ряда) сходится (расходится) вместе с исходным рядом.
Теорема 2: Если числовой ряд сходится, то
Теорема 3(необходимый признак сходимости): Общий член сходящегося числового ряда стремится к нулю при п
,т. е.
Теорема4(достаточный признак расходимости): Если 
, то ряд расходится.
Рассмотрим пример: Доказать, что ряд 
расходится .
Воспользуемся достаточным признаком расходимости, вычислим предел п-го члена:
значит ряд расходится.
Теорема 5: Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд
тоже сходится и его сумма равна cS.
Теорема 6: Если ряды и 
сходятся и их суммы соответственно равны S и Q, то ряд 
также сходится и его сумма равна S+Q.
Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Определение: Знакоположительным (положительным) рядом называется числовой ряд , члены которого неотрицательны.
Теорема: Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
Пользоваться на практике данной теоремой для исследования ряда на сходимость неудобно из-за довольно сложных рассуждений. Пользуются достаточными признаками сходимости. Рассмотрим каждый из них подробно.
Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда (1) и (2) . Если an
bn, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
При использовании этого признака пользуются уже известными сходящимися и расходящимися рядами:
1. Ряд, члены которого являются членами геометрической прогрессии со знаменателем q меньшим единицы, сходящийся ряд;
2. Ряд (гармонический ряд) является расходящимся;
3. Ряд (обобщенный гармонический ряд) при : 
<1 - расходится, при >1- сходится.
Пример: Исследовать ряд на сходимость
Сравним ряд со сходящимся рядом Его члены - это члены геометрической прогрессии со знаменателем q=1/7 <1. Сравним члены рядов : 1/(7п+1)<1/7n, т. к. знаменатель первой дроби больше знаменателя второй, а числители равные. Следовательно, ряд сходится.
Признак Даламбера: Если члены положительного ряда таковы, что существует предел 
, то :
1. при l<1- ряд сходится;
2. при l>1- ряд расходится;
3. при l=1- вопрос остается открытым.
Примеры:
1. 
. Составим отношение последующего члена к предыдущему: 
Найдем предел найденного отношения: 
, следовательно, ряд сходится.
2. 
Составим отношение 
, следовательно, ряд расходится.
Радикальный признак Коши: Если для положительного ряда величина 
имеет предел l при n стремящемся к бесконечности, т. е. 
,то:
1. при l<1- ряд сходится;
2. при l>1- ряд расходится;
3. при l=1- вопрос остается открытым.
Примеры:
1. 
Используем радикальный признак Коши: 
, следовательно, ряд сходится.
2. 
Используем радикальный признак Коши:
Следовательно, ряд сходится.
Интегральный признак Коши: Пусть члены положительного ряда таковы, что 
, где функция f(x) при x
1 непрерывная, положительная и убывающая. Тогда ряд и несобственный интеграл 
сходятся или расходятся одновременно.
Примеры:
1. 
Рассмотрим функцию f(x)= она удовлетворяет условию теоремы. Соствим несобственный интеграл и исследуем его на сходимость:
Интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Определение: Знакочередующимся рядом называется ряд вида:
а1 - а2 +а3- …+(-1) п-1 ап+ …=
где ап>0 (n
Теорема: Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что
а) a1 > a2 >a3 >a4>…;
б) 
;
то ряд сходится. При этом его сумма - положительное число, меньшее а1 т. е. S>0 и
Примеры:
1. Исследовать ряд на сходимость : 
Проверим условия теоремы Лейбница:
Условия теоремы выполняются, значит, ряд сходится.
2. 
Условие теоремы не соблюдается, значит, ряд расходится.
3. 
Найдем несколько первых членов ряда и сравним их: 
Оба условия теоремы выполняются, значит, ряд сходится.
Следствие из теоремы Лейбница.
Остаток знакочередующегося ряда rm=S- Sm, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, имеет знак своего первого члена а т+1 и меньше его по абсолютной величине: rm <|a m+1|.
Следствие позволяет оценить погрешность при замене суммы S ряда на частичную сумму Sm:
rm- это тоже ряд и его сумма не превышает по абсолютному значению а т+1, и сумма остатка ряда является одновременно погрешностью, которая допускается при замене суммы знакочередующегося ряда на сумму Sm, обозначим эту погрешность 
, тогда 
Примеры:
1. Оценить ошибку при замене S на S4 для ряда 
Решение: <|a5|=0,2, следовательно, при замене суммы ряда на сумму первых четырех членов погрешность не превышает 0,2.
2. Найти приближенное значение суммы ряда 
с точностью до 0,01.
Решение:
<0,01, следовательно, |am+1|<0,01, обозначим т+1=к: 
Знакопеременные ряды
Ряды (1)
где ап принимает любой знак, называются знакопеременными.
С такими рядами связаны ряды, составленные из абсолютных значений членов данного знакопеременного ряда: (2) следующей теоремой:
Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1).
Определение1: Если ряд (2) сходится, то знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся.
Определение2: Если ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Определение 3: Если ряд
Примеры:
1. Исследовать ряд
Исследуем ряд на сходимость с помощью теоремы Лейбница:
Условия теоремы выполняются, значит, ряд сходится.
Составим ряд из абсолютных значений членов данного ряд: - это обобщенный гармонический ряд, где 
, следовательно, расходящийся.
Данный ряд является условно сходящимся.
2. Исследовать ряд .
Решение:
Данный ряд - знакопеременный. По теореме Лейбница имеем:
Условия теоремы выполняются, значит, ряд сходится.
Составим ряд из абсолютных значений и исследуем его с помощью признака сравнения:
, сравним со сходящимся обобщенным гармоническим рядом
Т. к. |cosn|
, то 
, а следовательно ряд сходится.
Данный знакопеременный ряд абсолютно сходится.
6.14. Функция двух переменных Частные производные и полный дифференциал функции двух действительных переменных
Область определения функции двух действительных переменных.
Множество D пар значений (x,y), которые могут принимать переменные х и у, называется областью определения функции z= f(x,y). х и у - аргументы, z - значение функции.
Пример. Найти область определения функции z = ln (9 - x2 - y2 ) и изобразить на плоскости ху.
Так как существует логарифм только положительных чисел, то
9- x2 -y2>0, отсюда x2 + y2 < 9 - это круг радиуса R=3 без ограничивающей его окружности. выполним рисунок:
 |
Предел функции двух переменных.
Определение: А - предел функции z = f(x, y)= f( M) при стремлении точки М к М0 , если для любого 
существует 
такое, что для любой точки М из области определения функции такой, что 0<MM0<
имеет место неравенство
Обозначение предела: 
или 
Все основные свойства о бесконечно малых и о пределах, установленные для функции одной действительной переменной, обобщаются и на случай функции двух переменных.
Пример1. 
Воспользуемся первым замечательным пределом: 
, тогда
Пример 2. 
Частные производные функции двух переменных.
Частной производной функции двух действительных переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Для функции двух переменных z =f(x, у) в точке Мо(хо; уо) частные производные определяются так:
если эти пределы существуют.
Величина 
(
)называется частными приращениями функции z в точке М0 по аргументу х (у).
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная 
-угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z =f(х, у) и плоскости у = уо (х = x0 ) в соответствующей точке .
Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что и для функций одной переменной, только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример. Найти частные производные а) z=xlny+y/x; б) z= xy.
а) Для вычисления частной производной по х считаем, что у=const, по у - считаем, что x= const.
б) Поступим аналогично:
Достаточное условие дифференцируемости: Если частные производные функции z= f(x,y) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция дифференцируема в этой точке.
6.15. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Определение двойного интеграла. Свойства
Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области Д плоскости ХОУ задана непрерывная функция z = f(P), где Р принадлежит Д. Область Д произвольно разобьем на несколько частичных областей с диаметрами d1, d2,…, dn (dmax® 0) с площадями 
. В каждой частичной области произвольно выберем точку Рi и найдем значение f(Pi). Составим интегральную сумму 
Если существует предел суммы 
, не зависящий от способа разбиения области Д на частичные области и выбора точек Рi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(P)= f(x, y) по области Д и обозначается символом
Функция f(x, y) называется интегрируемой в области Д, Д – область интегрирования, dxdy - элемент площади, х и у – переменные интегрирования.
Геометрический смысл двойного интеграла: если f(x, y)>0 в области Д, то двойной интеграл
равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку - цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси z, и снизу- областью Д.
Свойства:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.
2. Двойной интеграл суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций.
3. Пусть область Д разбита на две области Д1 и Д2, тогда
Вычисление двойных интегралов.
Введем понятие простой области:
Область Д называется простой относительно оси х, если она проецируется в отрезок [a, b] оси х так, что любая прямая, параллельная оси у и проходящая внутри отрезка [a, b], пересекает границу области Д не более чем в двух точках.
Область Д называется простой относительно оси у, если она проецируется в отрезок [c, d] оси у так, что любая прямая, параллельная оси х и проходящая внутри отрезка [c, d], пересекает границу области Д не более чем в двух точках.
Если область Д простая относительно оси х, сверху ограничена гладкой кривой у1(х), снизу – у2(х), то от двойного интеграла переходим к повторному (двукратному):
Если область Д простая относительно оси у, слева ограничена гладкой кривой х1(у), справа – х2(у), то от двойного интеграла переходим к повторному (двукратному):
Если область Д простая относительно обеих осей, то можно изменить порядок интегрирования, согласно равенству:
Если область не является простой относительно обеих осей или ограничена сверху или снизу (слева или справа) несколькими гладкими кривыми, то необходимо разбить область на простые, взаимно непересекающиеся и использовать 3-е свойство.
Пример 1: Вычислить двойной интеграл 
по области Д, ограниченной линиями у= 1/2х2, у= 3х, х =1, х =2.
Схематически изобразим область Д и выберем порядок интегрирования.
 |
Область Д простая относительно обеих осей, но справа она ограничена двумя кривыми, поэтому рассматриваем область как простую относительно оси х, получим повторный интеграл:
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 
.
Область Д ограничена линиями : у=1, у=2, х= 1/у, х= у. Схематически изобразим область Д.
 |
Область Д является простой относительно оси х, но снизу она ограничена двумя кривыми, поэтому разобьем ее на две области Д1 и Д2 прямой х =1. Меняя порядок интегрирования, получим сумму двух повторных интегралов:
7. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
1. Определитель n-го порядка. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Свойства определителя.
2. Действия над матрицами, свойства матриц.
3. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Исследование системы на совместность и определенность.
4. Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса.
5. Скалярное и векторное произведение векторов. Их геометрическое приложение.
6. Смешанное произведение векторов. Геометрическое приложение.
7. Уравнения прямой на плоскости.
8. Взаимное расположение прямых на плоскости.
9. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола.
10. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами.
11. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами.
12. Числовая последовательность. Ограниченная и неограниченная последовательность. Точная нижняя и верхняя границы.
13. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
14. Предел функции по Гейне и по Коши. Теоремы о пределах.
15. Первый и второй замечательные пределы.
16. Определения непрерывной функции в точке. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями.
17. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций.
18. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
19. Логарифмическая производная.
20. Производная первого и высших порядков функции, заданной неявно.
21. Производная первого и высших порядков функции, заданной параметрически.
22. Полная схема исследования функции и построение графика.
23. Основные методы интегрирования: непосредственное, метод подстановки, интегрирование по частям.
24. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.
25. Несобственные интегралы. Сходящийся и расходящийся интеграл.
26. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Задача Коши.
27. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
28. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
29. Числовой ряд. Сходящийся ряд. Основные свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда.
30. Ряды с положительными членами. Исследование на сходимость с помощью признака сравнения.
31. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: Признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
32. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
33. Знакопеременный ряд. Достаточный признак сходимости.
34. Условная и абсолютная сходимость знакопеременного ряда.
35. Определение функционального ряда. Область сходимости ряда.
36. Степенной ряд (по степеням х). Область его сходимости. Теорема Абеля.
37. Область сходимости степенного ряда (по степеням (х-а)).
38. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций. в ряд Тейлора.
39. Функция нескольких переменных. Область определения функции двух переменных.
40. Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал.
41. Частные производные второго порядка функции двух переменных.
42. Двойной интеграл в декартовых координатах. Правила вычисления.
43. Изменение порядка интегрирования
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
