Элементы высшей математики Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 230113 «Компьютерные системы и комплексы» (стр. 4 )

Найдем числитель и знаменатель, пользуясь условием :

Тогда

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов является вектор , который перпендикулярен данным векторам и направлен таким образом, что наименьший поворот от вектора к вектору , совершающийся против часовой стрелки виден из конца вектора .

Длина определяется выражением , где - угол между векторами и.

Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и.

Векторное произведение в координатной форме : . Определитель раскладывают по первой строке.

Условие коллинеарности : ненулевые векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Пример:

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (1,-2,3) и(5,1,-1).

Вычислим координаты векторного произведения =

Длина полученного вектора численно равна искомой площади

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов ,и называется скалярное произведение и .

Обозначение: .

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах,и .

Если известны координаты векторов, то смешанное произведение равно определителю :

=

Условие компланарности: ,и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Примеры:

1). Найти объем пирамиды, построенной на векторах (1,2,0),(0,3,4)и (1,1,1).

V=1/6||=1/6

2). Компланарны ли векторы (1,2,1),(2,4,4)и (3,6,7).

Составим определитель : ,т. к. элементы первой и второй столбцы пропорциональны. Следовательно, векторы компланарны.

6.5. Прямая на плоскости

Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом и точкой на оси ОУ: y=kx+b, где k=tg,

b=y0.

Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом и какой-либо точкой прямой: y-y0=k(x-x0)

 

Уравнение прямой, заданной двумя своими точками M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

Каноническое уравнение прямой: , где (x0,y0)-точка на прямой, - направляющий вектор.

 

Параметрические уравнения прямой , где t- параметр, равный отношениям: .

 

6). Общее уравнение прямой Ax+By+D=0, где A, B, C-числа; (A, B)- нормаль прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Условие параллельности:

Если прямые заданы уравнениями (1), то –k1=k2.

Уравнениями (4) или (5) -

Уравнениями (6) -

Условие перпендикулярности:

Уравнениями (1)- k1=-1/k2.

Уравнениями (4) или (5)-

Уравнениями (6)-

Так как угол между прямыми равен углу между направляющими или между нормалями, то пользуясь скалярным произведением векторов имеем:

Расстояние от заданной точки до прямой

Дана точка прямой (x0,y0) и уравнение прямой Ax+By+D=0, тогда расстояние от данной точки до прямой вычисляется по формуле

Пример: Дан треугольник MNK, где М(-1,2), N(4,1) и К(0,-3). Составить уравнение прямой MN (каноническое, общее и с угловым коэффициентом), уравнение высоты КН, найти ее длину.

Так как известны координаты двух точек прямой, то уравнение прямой запишем в виде (3):

- каноническое уравнение. Параметрические уравнения:

преобразуем каноническое уравнение и получим уравнение с угловым коэффициентом: Общее уравнение: - x-5y+9=0.

, тогда , точка прямой имеет координаты K(0,-3), следовательно воспользуемся уравнением (1): уравнение прямой КН имеет вид y=5x-3, длина КН равна значению выражения :

6.6. Кривые второго порядка

Эллипс

Эллипс есть множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а) , большая, чем расстояние между фокусами (2с).

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат:

где а2 – с2 = в2,

2а и 2в – оси эллипса,

если а>в, то 2а – большая ось, 2в – малая ось;

если в>а, то 2в – большая ось, 2а – малая ось.

Эксцентриситет эллипса е – это отношение расстояния между фокусами к его большой оси:

Если а>в, то е = с/а,

если в>а, то е = с/в.

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (х0, у0):

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).

Каноническое уравнение гиперболы:

где с2 – а2= в2, если первая дробь имеет положительный коэффициент, с2 – в2 = а2 , если вторая дробь имеет положительный коэффициент.

2а и 2в – оси гиперболы,

если первая дробь имеет положительный коэффициент, то 2а – действительная ось, 2в – мнимая ось;

если вторая дробь имеет положительный коэффициент, то 2в – действительная ось, 2а – мнимая ось.

Прямые у = ±(в/а) х – асимптоты гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы е – это отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси:

е = с/а,

или е = с/в.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (х0, у0):

Гиперболы

называются сопряженными.

Если а =в, то гипербола называется равносторонней.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2в, диагонали которого проходят через асимптоты гиперболы, называется основным прямоугольником.

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом. И данной прямой, называемой директрисой.

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, директрисой х = - р/2:

у2 = 2рх.

Уравнение параболы с вершиной в точке (х0, у0):

(у-у0)2 = 2р(х – х0).

6.7. Предел функции. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Определение предела функции (по Коши): Число А называется пределом функции в точке х0, если для любого существует такое >0, что из неравенства |x-x0|< следует неравенство |f(x)-A|<.

Пример: Доказать справедливость равенства

Согласно определению из неравенства |x-|< следует |cosx-|<.

Найдем из последнего неравенства :

-<cosx-<, откуда --<cosx<+. Пусть =, тогда 0<cosx<1, откуда

. Тогда

Выберем наименьшее по модулю значение, тогда , следовательно = для =.

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел: , где v=v(x), v(x)при x.

Пример:

Второй замечательный предел: , где v=v(x) и при x v(x).

Пользуясь связью бесконечно большой и бесконечно малой второй замечательный предел примет вид На практике удобно использовать пределы :

Пример:

Неопределенности вида

Для раскрытия неопределенности вида необходимо выполнить преобразование, позволяющее избавиться от выражения в знаменателе, значение которого при хx0 равно 0.

Пример:

Воспользоваться теоремами о пределах нельзя, так как получаем неопределенность вида . Выполним преобразование функции: умножим числитель и знаменатель на выражение

Получим предел: =-1

Для раскрытия неопределенности вида пользуются тем, что предел бесконечно малой равен 0. Для получения бесконечно малой, делят числитель и знаменатель на максимальную степень переменной в знаменателе.

Пример:

Понятие непрерывной в точке функции

1 определение: f(x) непрерывная в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

2 определение: f(x) непрерывна в точке х0, если

3 определение: f(x) непрерывна в точке х0, если

Теорема: если f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то алгебраическая сумма, произведение и частное этих функций так же непрерывны в этой точке.

Некоторые элементарные непрерывные функции

К непрерывным функциям в точках, принадлежащих их области определения, относятся: целые рациональные функции, дробные рациональные функции, тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

Классификация точек разрыва

Определение точки разрыва: Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если функция в этой точке не является непрерывной, т. е.

Точка разрыва первого рода: х0 называется точкой разрыва первого рода, если : а).f(x) имеет односторонние конечные пределы, но они не равны, т. е.

б).Или конечные односторонние пределы равны, но не равны значению функции в точке х0, т. е.

Если имеет место случай (а), то называется скачком функции в точке х0.

Если имеет место случай (б), то точка х0 – устранимый разрыв.

Точка разрыва второго рода: х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или бесконечен.

Примеры:

1.  Найти точки разрыва и определить их характер

Функция непрерывна на интервалах и , значит, предполагаемой точкой разрыва является точка х=2.

Найдем односторонние пределы:

Т. к. существуют односторонние конечные пределы и , то х=2 – точка разрыва второго рода и функция в этой точке имеет разрыв 6-4=2.

Выполним схематический чертеж

.

2. 

Область определения функции все вещественные числа кроме х=-2 . Во всех точках своей области определения функция непрерывна. Следовательно, возможен разрыв в точке х=-2. Найдем односторонние пределы и определим характер разрыва:

Односторонние пределы равны, но не равны значению функции в точке х=-2. Значит, х=-2- точка разрыва первого рода и в точке имеет место устранимый разрыв.

Выполним схематический чертеж

 

3. 

Область определения функции все вещественные числа кроме х=-3. Во всех точках своей области определения функция непрерывна, следовательно, возможен разрыв в точке х=-3. Найдем односторонние пределы и определим характер разрыва:

Один из односторонних пределов бесконечный, следовательно, х=-3- точка разрыва второго рода.

6.8. Дифференцирование функций заданных различными способами. Правило Лопиталя

Производная сложной функции.

Теорема: Если функция x= имеет производную в точке t0, а функция f(x) имеет производную в точке x0=, то сложная функция имеет производную в точке t0, определяемую по формуле

Пример: Найти производную функции y= ln5sinx.

Сначала дифференцируем степенную функцию, затем - логарифмическую, затем - тригонометрическую. Полученные производные перемножаем.

Производная неявной функции.

Пусть функция F(x, y)=0 дифференцируема на [a, b]. Тогда для нахождения ее производной используют следующий алгоритм:

1). Продифференцировать обе части по x, помня, что y=y(x).

2). Из полученного уравнения выразить

Для нахождения второй производной неявной функции необходимо выполнить пункты 1) и2) и продифференцировать Для нахождения производной третьего порядка дифференцировать

Пример: а) Найти первую производную функции x2siny+y3cosx-2x-3y+1=0.

Продифференцируем обе части по x:

б) Найти вторую производную функции x2+y2=4.

Продифференцируем обе части по x:

. Продифференцируем полученную производную по x:

Подставим вместо y’ соответствующее выражение:

Логарифмическая производная. Производная показательно-степенной функции.

-показательно-степенная функция, где u(x) и v(x) дифференцируемые на [a, b].

Для нахождения y’ прологарифмируем обе части:

Найдем производную по правилу дифференцирования неявной функции:

Пример: Найти производную функции

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями.

Дана функция: дифференцируемы на Тогда производная функции определяется по формуле

Для нахождения производной второго порядка обозначим

Таким образом, можно найти производную любого порядка.

Пример: Найти вторую производную функции

Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков.

df= -дифференциал первого порядка. Данная формула применима и для сложной функции.

Пример: Найти дифференциал второго порядка функции y=2x3-4x.

dy=y’dx=(6x2-4)dx, d2y=y”dx2=12xdx2.

Правило Лопиталя.

Теорема: Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением может быть самой точки. Пусть

Замечание: Теорема справедлива, если пределы f(x) и g(x) бесконечные. Если на первом шаге неопределенность не раскрыта, то применяют данное правило еще раз.

Правило Лопиталя позволяет раскрыть неопределенности вида

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Найти предел

Имеем неопределенность вида Перейдем к неопределенности вида и воспользуемся правилом Лопиталя:

б) Рассмотрим функцию

То есть, имеем неопределенности вида Для раскрытия любой из этих неопределенностей используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:

Таким образом, переходим к неопределенности вида затем – к неопределенности вида Далее используем правило Лопиталя.

6.9. Исследование функции одной переменной и построение ее графика.

Примерная схема исследования функции.

1). Найти область определения функции.

2). Проверить функцию на четность или нечетность, периодичность.

3). Найти асимптоты графика функции,

4). Найти точки пересечения график функции с осями координат.

5). С помощью первой производной найти промежутки монотонности, ее экстремумы.

6). С помощью второй производной найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7). По результатам исследования построить график функции.

Рассмотрим подробнее некоторые пункты исследования:

Асимптоты графика функции.

а). Вертикальная асимптота.

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если

Следовательно, если точка x = a –точка разрыва второго рода, то прямая x=a –вертикальная асимптота.

б). Горизонтальная асимптота.

Прямые y=b, y=c –горизонтальные асимптоты графика функции y=f(x), если

в). Наклонная асимптота.

Если существуют конечные пределы то y = kx + b –наклонная асимптота.

Замечание: горизонтальную асимптоту можно рассматривать как наклонную при k = 0.

Промежутки монотонности, экстремумы функции.

Признак монотонности: Если f(x) дифференцируема на (a,b) и на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает ) на (a,b).

Необходимое условие экстремума: Если f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в x0 локальный экстремум, то

Достаточное условие экстремума: Пусть f(x) дифференцируема в -окрестности точки x0; тогда, если для всех x для всех x то x0- точка максимума (минимума).

Следовательно, для выявления промежутков монотонности и экстремумов необходимо найти , найти критические точки, определить знаки производной, решив неравенства

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Для определения направления выпуклости графика функции используют вторую производную, выполняя следующий алгоритм:

1). Найти

2). Найти критические точки.

3). Решить неравенства

Пример: Исследовать и построить график функции

1.  Область определения функции:

2.  Функция не является ни четной ни нечетной.

3.  Точек пересечения с осью x нет, так как x2+1>0 при любом x. Точка пересечения с осью y (0;-1).

4.  Асимптоты.

Точка x=1- точка разрыва второго рода, так как то x=1-вертикальная асимптота.

Горизонтальной асимптоты нет, так как

Наклонная асимптота: найдем k и b.

Тогда, уравнение наклонной асимптоты y= x+1.

5.  Критические точки : , но x=1-не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов. Отметим знаки интервалов на числовой прямой, учитывая кратность x=1.

Занесем результаты в таблицу

x		-0,4	(-0,4;1)	1	(1;2,4)	2,4
f’(x)	+	0	-	---	-	0	+
f(x)		-0,8		---		4,8
		max				min

6.  Критические точки: x=1, но она не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов : (x-1)3<(>)0.