· изображать зависимость между ценой товара и спросом потребителя на этот товар с помощью кривых (индивидуального) спроса.
‚ Рассмотрим Потребителя, располагающего m денежными единицами, которые он хочет потратить (полностью или частично) на приобретение некоторого набора из двух товаров (услуг). Цены товаров известны и равны, соответственно, p1, p2, число m в контексте данной задаче называется доходом потребителя.
Предпочтения Потребителя описываются с помощью Функции полезности
U(x)=x1 2/3x2 1/3. | (1) |
Задача нахождения наилучшего для потребителя набора товаров из множества доступных ему наборов называется задачей выбора потребителя (ЗВП). Она может быть формализована как задача математического программирования
U(x) ® max, x Î B(m; p), | (2) |
где: x=(x1, x2) – набор товаров, B(m; p) – бюджетное множество потребителя, U(x) – его функции полезности.
1. Рассмотрим ЗВП, предпочтения которого описываются функцией полезности (1), при доходе потребителя m0=4 и ценах товаров p10=1, p20=2. В данном случае задача (2) имеет следующий вид:
U(x) =x1 2/3x2 1/3 ® max, x Î B(4; 1, 2). | (3) |
Процедура решения задачи (3) подробно описана в [3, 12-18]. Следуя ей, можно показать, что в рассматриваемой экономической ситуации лучшим для потребителя будет набор товаров x* = (8/3, 2/3).
2. Предположим, что доход потребителя m и цены товаров p1, p2 изменяются в достаточно малых окрестностях чисел m0, p10, p20. Построим на этом множестве Функцию индивидуального спроса потребителя. Для этого рассмотрим ЗВП
U(x) =x1 2/3x2 1/3 ® max, x Î B(m; p), | (4) |
для некоторых произвольным образом выбранных значений m и p из вышеупомянутых окрестностей.
Замечание 1. Как известно [5, 44], если функция U(x) – функция полезности потребителя, а f(t) – строго монотонно возрастающая числовая функция, то функция V(x) = f(U(x)) также будет функцией полезности потребителя.
Отсюда следует, что поскольку f(t) = t3 является строго монотонно возрастающей числовой функцией, то для рассматриваемого потребителя функция
V(x) =[U(x)]3=[ x1 2/3x2 1/3]3= x12x2
также является функцией полезности, и ЗВП может быть формализована как
V(x) = x12x2 ® max, x Î B(m; p), | (5) |
причем множества решений задач (4) и (5) совпадают.
Символически изобразим допустимое множество задачи (5) (бюджетное множество потребителя). Оно будет выглядеть следующим образом:
Рис. 3 Бюджетное множество потребителя
На Рис. 3 L(m; p) – бюджетная линия потребителя.
Решение задачи (5) заведомо существует в силу теоремы Вейерштрасса [3, 15], поскольку при сделанных выше предположениях ее допустимое множество замкнуто, ограничено и не пусто, а целевая функция непрерывна на нем.
Теоретически решение задачи (5) следует искать
а) среди внутренних точек бюджетного множества;
б) на отрезках координатных осей, входящих в бюджетное множество;
в) на бюджетной линии.
а) Рассмотрим произвольный набор товаров x, являющийся внутренней точкой бюджетного множества. Вычислим частные производные целевой функции задачи (5) в точке x (предельные полезности товаров для потребителя, располагающего набором x):
Отсюда следует, что решение задачи (5) не совпадает с внутренней точкой бюджетного множества, поскольку в противном случае все частные производные целевой функции в этой точке равнялись бы нулю. Кроме того, используя интерпретацию предельной полезности товаров, можно заключить, что увеличение количества любого товара в наборе x приводит к увеличению полезности набора в глазах потребителя.
б) Поскольку для рассматриваемого типа предпочтений (1) полезность любого набора товаров, содержащего только один товар, равна нулю, а полезность любого набора, содержащего оба товара, положительна, решение задачи (5) не может принадлежать отрезкам координатных осей, входящих в бюджетное множество.
в) Таким образом, решение задачи (5) принадлежит бюджетной линии. Для любого набора x=(x1, x2), принадлежащего бюджетной линии, справедлива цепочка соотношений:
| (6) |
Это обстоятельство позволяет свести задачу (5) к задаче
| (7) |
Вычислим производную целевой функции задачи (7):
Поскольку в граничных точках допустимого множества задачи (7) ее целевая функция равна нулю, а в единственной критической точке x1*=(2m)/(3 p1) – положительна, задача (7) имеет решение в точке x1*. Соответственно (формула (6)), задача (5) имеет решение в точке
| (8) |
Мы построили функцию, которая каждому сочетанию дохода потребителя и цен товаров (из достаточно малых окрестностей чисел m0, p10, p20) ставит в соответствие точку равновесия потребителя. Как известно, такая функция называется функцией индивидуального спроса. Функции
называются функциями частного спроса, соответственно, на первый и второй товары.
3. Исследуем зависимость потребления товаров от дохода потребителя. Предположим, что цены товаров неизменны и равны p10=1, p20=2. В этом случае функции частного спроса
связывают доход потребителя и его спрос, соответственно, на первый и второй товары. Графики этих функций, построенные в системах координат x1Om и x2Om, называются кривыми Энгеля:
 |  |
| |
Рис. 4 Кривые Энгеля для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(x)=x1 2/3x2 1/3
4. Исследуем зависимость потребления первого товара от его цены, при неизменной цене второго товара и доходе потребителя (p20 = 2, m=4). В этом случае функция частного спроса на первый товар
связывает цену первого товара и спрос потребителя на первый товар. График этой функции, построенный в системе координат x1Op1, называется кривой спроса (индивидуального) на первый товар:
 |
Рис. 5 Кривая индивидуального спроса на первый товар для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(x)=x1 2/3x2 1/3
ƒ Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент должен быть способен
· изображать в одной системе координат графики функций
а) общих и переменных издержек,
б) средних общих и средних переменных издержек;
· по заданной функции общих издержек находить функцию предельных издержек и интерпретировать ее значения;
· изображать в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек;
· по заданной функции общих издержек строить функцию предложения фирмы в условиях совершенной конкуренции;
· находить минимальную цену товара, при которой продажа товара имеет экономический смысл;
· находить цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.
ƒ Рассмотрим фирму (продавца), общие издержки которой C(x) зависят от объема x проданной партии товара следующим образом:
C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27.
Как известно, общие издержки есть сумма переменных и постоянных издержек. Ниже будут использоваться следующие обозначения:
С0 (в литературе часто используется обозначение FC – fixed cost) – постоянные издержки; CV(x) (VC – variable cost) – функция переменных издержек; С(x)= CV(x)+С0 (TC – total cost) – функция общих издержек.
Таким образом, С(x) = CV(x) + С0 = (x3 – 3x2 + 4x) + 27.
1. Построим в одной системе координат графики функций общих и переменных издержек. Для построения графиков достаточно заметить, что
обе функции определены только для неотрицательных значений аргумента;
С(0) = С0 = 27 – график функции общих издержек пересекает ось ординат в точке (0, 27);
СV(0) = 0 – график функции переменных издержек выходит из начала координат;
С¢(x) = СV¢(x) = 3x2 – 6x +4 > 0 – функции общих и переменных издержек являются строго монотонно возрастающими при всех x > 0;
С¢¢(x) = СV¢¢(x) = 6x – 6 = 6(x – 1) – функции общих и переменных издержек вогнуты при 0 £ x £ 1 и выпуклы при x ³ 1.
 |
Рис. 6 Графики функций общих и переменных издержек
C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27, CV(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27
Отметим, что:
график функции переменных издержек всегда выходит из начала координат;
график функции общих издержек получается из графика функции переменных издержек путем сдвига вверх на число единиц, равное постоянным издержкам;
функции общих и переменных издержек являются строго монотонно возрастающими;
функции общих и переменных издержек, как правило, начиная с некоторого объема продаж, являются выпуклыми.
2. Выпишем функции средних общих издержек AC(x) (ATC – average total cost) и средних переменных издержек ACV(x) (AVC – average variable cost), разделив функции общих и переменных издержек на объем продаж x:
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4.
Построим в одной системе координат графики функций средних общих и средних переменных издержек.
Графиком функции средних переменных издержек является парабола с вершиной в точке (1,5; 1,75) и ветвями, направленными вверх.
Поскольку AC(x) – ACV(x) =27/x, график функции средних общих издержек расположен выше графика функции средних переменных издержек, причем по мере роста объема продаж графики функций асимптотически сближаются.
Исследуем поведение средних общих издержек при стремлении к нулю (справа) объема продаж товара. Будем иметь:
Таким образом, вертикальная асимптота графика функции средних общих издержек совпадает с осью ординат.
Найдем экстремумы функции y = AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x на промежутке x > 0. Ее производная имеет следующий вид:
Для нахождения критических точек функции y = AC(x) решим уравнение
2x3 – 3x2 – 27 = 0. | (1) |
Как известно, если уравнение вида (1) имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. Таким образом, корнями уравнения (1) могут являться следующие числа: ±1, ±3, ±9, ±27. Непосредственная подстановка этих чисел в уравнение (1) показывает, что x = 3 является корнем этого уравнения. Вопрос о наличии других критических точек функции средних общих издержек (других корней уравнения (1)) оставим пока открытым.
Для выяснения вопроса о наличии и характере экстремума в точке x = 3, вычислим вторую производную функции y = AC(x):
А. Поскольку AC¢¢(3) = 8 > 0, при x = 3 функция средних общих издержек имеет локальный минимум. Отметим, что AC(3) =13.
Б. В силу того, что AC¢¢(x) > 0 при всех x > 0, функция средних общих издержек выпукла на рассматриваемом промежутке, в силу чего ее локальный минимум является глобальным.
В. Из положительности функции y = AC¢¢(x) следует, что функция y = AC¢(x) строго монотонно возрастает на рассматриваемом промежутке и, следовательно, не может иметь на нем более одного корня. Таким образом, других экстремумов функция средних общих издержек не имеет.
Используя полученную информацию, построим графики функций средних общих и средних переменных издержек:
 |
Рис. 7 Графики функций средних общих и переменных издержек
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4.
Отметим, что:
график функции средних общих издержек расположен выше графика функции средних переменных издержек;
по мере роста объема продаж графики функций асимптотически сближаются;
вертикальная асимптота графика функции средних общих издержек совпадает с осью ординат.
3. Выпишем функцию предельных издержек производства, которая является производной функции общих (и одновременно переменных) издержек:
С¢(x) = СV¢(x) = 3x2 – 6x +4. | (2) |
Функция предельных издержек (в литературе ее часто обозначают MC – marginal cost) показывает, на сколько примерно возрастут общие издержки фирмы, если объем продаж товара увеличить на единицу.
Построим график функции предельных издержек. Графиком функции (2) является парабола с вершиной в точке (1; 1) и ветвями, направленными вверх.
Обратим внимание на расположение графика функции предельных издержек относительно кривых средних общих и средних переменных издержек. Поскольку будут справедливы следующие равенства:
С¢(0) = 4 = ACV(0), С¢(1,5) = 1,75 = ACV(1,5), С¢(3) = 13 = AC(3),
кривые предельных и средних переменных издержек начинаются из одной точки оси ординат;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних переменных издержек в точке минимума кривой средних переменных издержек;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних общих издержек в точке минимума кривой средних общих издержек.
Используя полученную информацию, построим в одной системе координат графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек:
| |
| |
|
Рис. 8 Графики функций средних общих, средних переменных и предельных издержек AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, ACV(x) = x2 – 3x + 4, С¢(x) = 3x2 – 6x +4.
Отметим, что:
кривые предельных и средних переменных издержек начинаются из одной точки оси ординат;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних переменных издержек в точке минимума кривой средних переменных издержек;
график функции предельных издержек пересекает график функции средних общих издержек в точке минимума кривой средних общих издержек;
функции предельных издержек, начиная с некоторого объема выпуска, являются строго монотонно возрастающими.
4. Предположим, что фирма с рассматриваемой функцией общих издержек, действует в условиях совершенной конкуренции. Рыночный спрос на продаваемый ею товар задан функцией x = x(p).
Будем считать, что конкуренция в отрасли является совершенной, если каждая фирма признает, что рыночная цена устанавливается не ею, не зависит от объема ее выпуска, и по этой цене она теоретически может продать любое (не превышающее величины рыночного спроса) количество продукции.
Предположим, что в рассматриваемый момент времени продажи в отрасли происходят по цене p. В этих условиях кривая спроса на продукцию фирмы выглядит следующим образом:
 |
Рис. 9 Кривая спроса на продукцию фирмы в условиях совершенной конкуренции
Таким образом, выпустив x единиц продукции (закупив для продажи партию товара объемом в x единиц), фирма
не продаст ни одной единицы товара по цене p¢ > p;
по цене p продаст любое количество товара x Î [0, x p];
по цене p¢ < p продаст x (p¢) единиц товара.
Как обычно, будем предполагать, что продавец стремится выбрать план (x, p), где x – объем предложения товара, p – цена товара, таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль.
Условимся ниже обозначать через p и R, соответственно, прибыль и доход фирмы. Поскольку при p¢ > p будет справедлива следующая цепочка соотношений:
p (x, p¢) = R (x, p¢) – C(x) = –C(x) £ R (x, p) – C(x) = p (x, p),
подобная стратегия ценообразования не может быть рекомендована.
При цене p¢ < p все потребители продукции отрасли переключатся на товар, предлагаемый рассматриваемой фирмой, что даст ей возможность полностью обеспечить рыночный спрос, который составит x (p¢) единиц. Однако структура издержек фирм в отраслях, в которых складывается совершенная конкуренция такова, что продажа товаров в таких больших объемах может принести фирме разве лишь значительные убытки.
Таким образом, у фирмы нет оснований отклоняться от сложившейся в отрасли цены, и проблема планирования сводится к проблеме определения объема предложения товара, максимизирующего прибыль фирмы. При сделанных предположениях, выпустив x (x £ xp) единиц товара и назначив на него цену p, она получит прибыль в размере
p (x) = R (x) – C(x) = p x – C(x).
Таким образом, в интересующем нас аспекте планирование деятельности фирмы в условиях совершенной конкуренции может быть формализовано в виде следующей задачи математического программирования:
p (x) = R (x) – C(x) = p x – C(x) ® max, 0£ x £ xp. | (3) |
Выпишем задачу (3) для рассматриваемой фирмы:
p (x) = R (x) – C(x) = p x – (x3 – 3x2 + 4x + 27) ® max, 0£ x £ xp. | (4) |
Поставим задачу построения функции предложения фирмы. Напомним, что функция s=s(p), сопоставляющая рыночной цене p объем предложения товара s(p), который принесет производителю наибольшую прибыль, называется функцией предложения фирмы.
Для решения поставленной задачи может быть рекомендован следующий алгоритм.
А. Определение условий, при которых продажа товара не имеет экономического смысла.
Обозначим наименьшее значение функции средних переменных издержек на промежутке [0, x p] через AVCmin (оно существует в силу нашего предположения о характере изменения средних издержек). Предположим, что оно достигается в точке xmin.
Легко показать, что при p < AVCmin решение задачи (3) (и задачи (4)) совпадает с левой границей допустимого множества – точкой x=0. Поскольку при x=0 прибыль продавца совпадает с его постоянными издержками, взятыми со знаком минус, это означает, что любое предложение товара приведет к убыткам, превосходящим постоянные издержки продавца.
Таким образом, s(p)=0 при p < AVCmin. В рассматриваемом случае функция средних переменных издержек достигает своего наименьшего значения AVCmin =1,75 при xmin =1,5, откуда следует, что s(p)=0 при p < 1,75.
При p = AVCmin задача имеет два решения: x=0 и x = xmin, поскольку
p (xmin) = p (0) = – C0.
Экономически это означает, что при продаже xmin единиц продукции доход продавца в точности покрывает его переменные издержки, и он терпит убытки в размере постоянных издержек. Отметим, что любое другое предложение приводит к еще большим убыткам.
Таким образом, s(p)={0; 1,5} при p = 1,75. На практике выбор конкретной альтернативы из двух имеющихся в данном случае определяется прежде всего желанием фирмы быть представленной на рынке рассматриваемого товара.
Б. Определение объема предложения товара.
Предположим, что p > AVCmin = 1,75. Поскольку, как отмечалось выше, в условиях совершенной конкуренции фирме не выгодно пытаться удовлетворить весь рыночный спрос, в этом случае решение задач (3) и (4) достигается во внутренней точке допустимого множества, то есть в критической точке функции прибыли. Выпишем производную этой функции:
p¢(x) = R¢(x) – C¢(x) = p – (3x2 – 6x + 4). | (5) |
Для нахождения критических точек функции (5) решим уравнение
3x2 – 6x + 4 – p =0, | (6) |
рассматривая p как параметр. Будем иметь две критические точки:
Легко видеть, что поскольку p¢¢(x) = – 6(x – 1), то p¢¢(x1) > 0, p¢¢(x2) < 0, то есть, x1 – локальный минимум функции прибыли, а x2 – локальный максимум. Отсюда следует, что задача (4) имеет решение в точке x2, и функция предложения фирмы на рассматриваемом промежутке изменения цены товара выглядит следующим образом:
Выпишем окончательный вид функции предложения:
Построим график функции предложения в системе координат «предложение» – «цена». Графиком функции предложения в этой системе координат будет множество точек вида
{( s(p), p), p ³ 0}.
При 0 £ p < 1,75 графиком функции является соответствующий участок оси ординат, при p = 1,75 – две точки: (0; 1,75) и (1,5; 1,75).
Выясним вид графика при p > 1,75. В этом случае экстремум функции прибыли достигается в ее критической точке, то есть в точке, в которой выполняется соотношение
R¢(x) = p = C¢(x). | (7) |
Решим уравнение (7) геометрически. Изобразим в рассматриваемой системе координат кривую предельных издержек y = C¢(x) и прямую y = p.
Рис. 10
Заметим, что при 1,75 < p £ 4 прямая y = p пересекает кривую предельных издержек в двух точках. Однако легко показать, что на промежутке убывания предельных издержек (C¢¢(x) < 0) функция прибыли фирмы выпукла:
p¢¢(x) = – C¢¢(x) > 0,
и не может достигать максимума.
Таким образом, при цене p прибыль фирмы будет максимальна в точке x=s(p), которая является абсциссой точки пересечения прямой y = p и возрастающей ветви кривой предельных издержек y = C¢(x). Полученная нами точка (s(p), p) графика функции предложения лежит на кривой предельных издержек. В связи с этим принято говорить, что при p > AVCmin кривая предложения фирмы совпадает с возрастающей ветвью кривой предельных издержек.
В. Нахождение цены безубыточности.
Определим цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.
Обозначим наименьшее значение функции средних общих издержек на промежутке [0, x p] через ATCmin. Предположим, что оно достигается в точке x0. Как показано ранее (Рис.), x0=3, ATCmin =13.
Предположим, что рыночная цена p = ATCmin=13. Изобразим в одной системе координат кривые средних общих и предельных издержек, а также прямую p =13.
Рис. 11 Графики функций средних общих и предельных издержек
AC(x) = x2 – 3x + 4 + 27/x, С¢(x) = 3x2 – 6x +4, p = 13.
Поскольку прямая p = 13 пересекает восходящую ветвь кривой предельных издержек при x = x0 = 3, при сложившейся рыночной цене для получения максимальной прибыли предложение фирмы должно составить 3 единицы.
При этом доход, издержки и прибыль фирмы составят, соответственно,
R (x0) = p x0 = ATCmin x0= 39, C (x0) = AC(x0) x0= ATCmin x0= 39,
p (x0) = R (x0) – C (x0) = 0.
Таким образом, при цене p = 13 фирма в точности может покрыть свои издержки, выставив на продажу 3 единицы товара. При других объемах предложения она будет терпеть убытки.
„ Планирование продаж при монопольной структуре рынка
Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент должен быть способен
· построить кривую рыночного спроса;
· вычислить ценовую эластичность спроса, интерпретировать полученный результат и идентифицировать тип спроса;
· определить объем предложения товара и цену его продажи, при которых прибыль монопольного продавца будет наибольшей;
· геометрически иллюстрировать решение задачи нахождения оптимального плана монополиста;
· изображать в одной системе координат графики функций дохода и общих издержек, находить точки безубыточности.
j „ Рассмотрим фирму, монопольно выпускающую и продающую товар, спрос на который задан обратной функцией рыночного спроса: p(x)=50 – 0,1x. Общие издержки монополиста заданы формулой
C(x)=0,02x2+14x+800.
1. Построим кривую рыночного спроса.
Рис. 12 Соотношение спроса и предложения при планировании монополиста
График функции спроса показывает, что:
при цене p=50 и более товар перестает покупаться кем бы то ни было,
более 500 единиц товара на рассматриваемом рынке невозможно реализовать даже бесплатно.
2. Выясним, каким образом тип спроса связан с ценой товара. Тип спроса определяется значением ценовой эластичности спроса, которая вычисляется по формуле
,
где x (p) – прямая функция спроса.
Преобразовав обратную функцию спроса в прямую (x = 500 – 10 p), вычислим его ценовую эластичность:
| (1) |
Легко видеть, что ep(x) = –1 при p = 25, и спрос может быть идентифицирован следующим образом:
Цена товара | 0 £ p < 25 | p = 25 | 25 < p £ 50 |
Ценовая эластичность спроса | –1< ep(x) £ 0 | ep(x) = –1 | ep(x) < –1 |
Тип спроса | Не эластичный | Нейтральный | Эластичный |
3. Предположим, что фирма намерена произвести x единиц товара и продать их по цене p. Назовем вектор (x, p) планом монополиста. Будем считать, что продавец в процессе планирования рассматривает любые сочетания объема выпуска товара и цены его продажи. Такое планирование называется долговременным.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
