Математическая экономика. Учебно-методический комплекс по специальности: 080– Прикладная информатика в экономике (стр. 1 )

ИВЭСЭП

Санкт-Петербургский институт внешнеэкономических связей, экономики и права

Математическая экономика

Учебно-методический комплекс

по специальности: 080– Прикладная информатика в экономике

Санкт-Петербург

2011

ББК 22.1

М-34

1.  М-34 Математическая экономика: Учебно-методический комплекс. /Авт.-сост.: А. Ю.  Вальков, , СПб.: СПбИВЭСЭП, 20с.

Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, протокол от 01.01.2001 г.

Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом, протокол от 01.01.2001 г.

Авторы-составители:

доктор физ.-мат. наук, проф. ,

кандидат физ.-мат. наук, доц. ,

доктор физ.-мат. наук, проф. ,

Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры государственного и

муниципального управления факультета менеджмента Санкт-Петербургского государственного университета .

Ответственная за выпуск

, А. Н. Протопопов, , 2011

СПбИВЭСЭП, 2011.

Пояснительная записка

Настоящий учебно-методический комплекс по курсу «Математическая экономика» соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ по направлению подготовки дипломированных специалистов по специальности 080– Прикладная информатика в экономике, основанным на государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования.

Современный уровень требований, предъявляемых к математической подготовке экономиста-информатика, связан со степенью развития экономической теории и информационных технологий. В настоящее время для понимания результатов большинства экономических исследований и успешного внедрения их в информационных системах, требуется хорошее знание экономико-математических моделей, в частности, математической экономики и финансовой математики (в особенности — финансовых вычислений). Основы финансовой математики излагаются студентам данной специальности в отдельном курсе финансовой математики. Поэтому данный

Методическое обеспечение данного может быть осуществлено с помощью курсов высшей математики, линейной алгебры и математической экономики, а также задачников и справочников приведенных в разделе УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ(1). Аудиторные часы, отведенные на изучение линейной алгебры, делятся между лекционными и практическими занятиями в отношении 2:1. Практические занятия предусматривают самостоятельное решение задач студентами под контролем и при поддержке преподавателя на семинарах, а также выполнение домашних заданий. В целях проверки степени усвоения материала проводятся самостоятельные работы и одна контрольная работа.

Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью определения качества усвоения учебного материала. Наиболее эффективным является его проведение в виде тестов и самостоятельных работ.

Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен

Выписка из государственного образовательного стандарта

Функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые «доход-потребление»; кривые «цены-потребление»; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.

Цели и задачи дисциплины

Целью изучения студентами учебной дисциплины «Математическая экономика» является овладение знаниями, представлениями, умениями и навыками, необходимыми для ма­тематического моделирования и после­ду­ющего анализа предпочтений потребителей, функций индивидуального и ры­ночного спроса.

Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины

Изучив учебную дисциплину «Математи­ческая экономика», студенты должны:

·  свободно владеть понятиями:

коэффициенты эластичности; бюджетное множество, отношение предпоч­тения, кривая безразличия, карта безразличия, нейтральный товар, предельная норма замещения товаров, пол­ностью замещаемые и полностью дополняемые товары, функция полезности, предельная полезность товара, точка равновесия (угловая и касательная), функция индивидуального спроса, нормальный (normal) и некаче­ст­вен­ный (in­ferior) товары, обычный (ordinary) товар и товар Гиффена, функция рыночного спроса;

·  уметь:

-  вычислять коэффициенты эластичности;

-  строить бюджетное множество;

-  моделировать с помощью карты безразличия предпочтения потребителя при наличии нейтра­льного для него товара, полностью замещаемых и допол­ня­емых товаров, точки блаженства, а также предпочтения лексикографического типа;

-  опираясь на тип предпочтения потребителя идентифицировать его отношение к товару (пло­хой, хороший, нейтральный);

-  для потребителей с вышеупомянутыми типами предпочтений геометрически и аналитически находить точку равновесия;

-  при известной функции полезности потребителя сравнивать привлекатель­ность для него раз­личных наборов товаров, строить карту безразличия, ре­шать задачу выбора потребителя, по­ставленную как задача математического программирования;

-  по известной функции полезности строить функцию индивидуального спроса;

-  опираясь на функцию индивидуального спроса потребителя идентифици­ро­вать его отношение к товару (нормальный, некачественный, предмет роскоши, обычный, Гиффена);

-  по известной функции индивидуального спроса строить кривые “доход-по­требление” и “цена-потребление”, кривую Энгеля и кривую спроса;

-  использовать индексы Пааше и Ласпейраса для сравнения положения потре­бителя в текущем и базовом годах;

·  иметь представление о

-  проблемах, рассматриваемых теорией потребления;

-  гипотезах, принятых при математическом моделировании поведения рацио­нального потреби­теля, потребителя “хорошего поведения”;

-  порядковом и количественном подходе к понятию полезности набора товаров;

-  парадоксах теории потребления;

-  законе спроса;

-  проблеме перехода от функции индивидуального спроса к функции рыночного спроса;

-  теории выявленных предпочтений.

УМК содержит основные математические сведения, которые подлежат изучению всеми студентами.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№	Тема	Лекции (час)	Практические занятия (час)
1.	Альтернативы потребителя	6	4
2.	Математическое моделирование предпочтений потребителя	10	6
3.	Выбор потребителя	8	4
4.	Исследование индивидуального спроса	8	4
5.	Теория выявленных предпочтений	4	–
	Всего	36	18

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Содержание лекционных занятий.

Раздел 1. Альтернативы потребителя

Тема 1. Бюджетное множество потребителя Бюджетное множество и его построение. Изменение бюд­жетного множества при изме­не­нии экзогенных перемен­ных. Методы стимулирования и ограничения потребления.

Раздел 2. Математическое моделирование предпочтений потребителя

Тема 2. Математическое моделирование предпочтений потребителя при конечном числе альтернатив. Аксиомы теории потребления. Число рациональных потребителей.

Тема 3. Математическое моделирование предпочтений потребителя при бесконечном числе альтернатив. Отношение потребителя к товару. Моделирование предпочтений потребителя при наличии нейтра­льного для него товара, полностью замещаемых и допол­ня­емых товаров, точки блаженства. Моделирование предпочтений ненасыщаемого потребителя. Непрерывность ОПП. Лексикографическое от­ношение пред­почтения. Гипотеза гладкости. Понятие MRS. Полностью замещаемые товары. Гипотеза выпуклости и поведение MRS. Полно­стью допол­няемые товары.

Тема 4. Математическое моделирование предпочтений потребителя с помощью функции полезности. Функция полезности. Теорема Дебре. Пост­рое­ние карты безразличия. Кардинальный подход к понятию полезности. Предельная полезность. Нелинейность и вогнутость функ­ции полезности. Парадокс бриллиантов и воды. Парадокс мил­лионера и нищего.

Раздел 3. Выбор потребителя

Тема 5. Геометри­ческий поиск равновесия при наличии нейтра­льных, полностью допол­няемых и заме­щаемых товаров. Точка блаженства. Равно­весие потре­бителя «хорошего поведения». Модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.

Тема 6. Необходимое условие равновесия потребителя. Математическая модель задачи выбора потребителя. Не­об­ходимое условие касательного равновесия. Относительная предельная полезность. Условия равновесия в терминах MRS. Задача выбора ненасыщаемого потребителя как клас­сическая задача математического программирования.

Раздел 4. Исследование индивидуального спроса

Тема 7. Функция индивидуального спроса. Определение и основные свойства функции индивидуаль­ного спроса. Ее построение по изве­стной функции полез­но­сти. Спрос на полностью замещаемые товары.

Тема 8 Реакция потребителя на изменение дохода и цен. Нормальный и некачественный товары. Пред­меты роскоши. Кривая «доход-потребление». Кривая Энгеля. Обычный товар и товар Гиффена. Кривая “це­на-потребле­ние”. Кривая индивидуального спроса. Реальный доход по Хиксу и Слуцкому. Компен­сированное изменение цены. Уравнение Слуц­кого. Закон спроса.

Раздел 5. Теория выявленных предпочтений

Тема 9. Теория выявленных предпо­чтений и экономические индексы. Слабая аксиома выявленных предпочтений. Связь обычных и выявленных предпочтений. Ал­горитм проверки гипотезы максимизи­рую­ще­го поведения потребителя. Индексы Пааше и Ласпейраса. Использование индексов для оценки положения потребителя. Проблема индексации до­ходов. Общие модели развития экономики; модель Солоу.

Содержание практических занятий.

Тема 1. Бюджетное множество и его построение.

Тема 2. Аксиомы теории потребления..

Тема 3. Отношение потребителя к товару. Лексикографическое от­ношение пред­почтения. Гипотеза гладкости. Полно­стью допол­няемые товары.

Тема 4. Пост­рое­ние карты безразличия. Кардинальный подход к понятию полезности. Предельная полезность.

Тема 5. Геометри­ческий поиск равновесия при наличии нейтра­льных, полностью допол­няемых и заме­щаемых товаров. Нахождение точка блаженства. Модель Эрроу-Гурвица.

Тема 6. Необходимое условие равновесия потребителя. Условия равновесия в терминах MRS. Задача выбора ненасыщаемого потребителя.

Тема 7. Функция индивидуального спроса. Построение функции индивидуаль­ного спроса по изве­стной функции полез­но­сти.

Тема 8 Построение кривых: «доход-потребление», Энгеля, «це­на-потребле­ние», индивидуального спроса. Уравнение Слуц­кого.

Тема 9. Ал­горитм проверки гипотезы максимизи­рую­ще­го поведения потребителя. Индексы Пааше и Ласпейраса. Использование индексов для оценки положения потребителя. Модель Солоу

.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ и задачи К ЭКЗАМЕНу

Примерные вопросы к экзамену

1.  Определение бюджетного множества и его построение.

2.  Изменение бюд­жетного множества при изме­не­нии экзогенных перемен­ных.

3.  Методы стимулирования и ограничения потребления.

4.  Аксиомы теории потребления.

5.  Число рациональных потребителей.

6.  Математическое моделирование предпочтений потребителя при бесконечном числе альтернатив. Отношение потребителя к товару.

7.  Моделирование предпочтений потребителя при наличии нейтра­льного для него товара, полностью замещаемых и допол­ня­емых товаров, точки блаженства.

8.  Моделирование предпочтений ненасыщаемого потребителя.

9.  Непрерывность ОПП.

10.  Лексикографическое от­ношение пред­почтения.

11.  Гипотеза гладкости. Понятие MRS.

12.  Полностью замещаемые товары.

13.  Гипотеза выпуклости и поведение MRS.

14.  Полно­стью допол­няемые товары.

15.  Функция полезности.

16.  Теорема Дебре.

17.  Пост­рое­ние карты безразличия.

18.  Кардинальный подход к понятию полезности. Предельная полезность.

19.  Нелинейность и вогнутость функ­ции полезности.

20.  Парадокс бриллиантов и воды.

21.  Парадокс мил­лионера и нищего.

22.  Геометри­ческий метод поиска равновесия при наличии нейтра­льных, полностью допол­няемых и заме­щаемых товаров.

23.  Модели общего экономического равновесия.

24.  Модель Эрроу-Гурвица.

25.  Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.

26.  Точка блаженства. Равно­весие потре­бителя “хорошего поведения”.

27.  Необходимое условие равновесия потребителя.

28.  Математическая модель задачи выбора потребителя.

29.  Не­об­ходимое условие касательного равновесия.

30.  Относительная предельная полезность. Условия равновесия в терминах MRS.

31.  Задача выбора ненасыщаемого потребителя как клас­сическая задача математического программирования.

32.  Определение и основные свойства функции индивидуаль­ного спроса.

33.  Построение функции индивидуаль­ного спроса по изве­стной функции полез­но­сти.

34.  Спрос на полностью замещаемые товары.

35.  Нормальный и некачественный товары. Пред­меты роскоши.

36.  Кривая «доход-потребление».

37.  Кривая Энгеля.

38.  Обычный товар и товар Гиффена. Кривая “це­на-потребле­ние”.

39.  Кривая индивидуального спроса.

40.  Реальный доход по Хиксу и Слуцкому. Компен­сированное изменение цены.

41.  Уравнение Слуц­кого. Закон спроса.

42.  Слабая аксиома выявленных предпочтений.

43.  Связь обычных и выявленных предпочтений.

44.  Ал­горитм проверки гипотезы максимизи­рую­ще­го поведения потребителя.

45.  Индексы Пааше и Ласпейраса.

46.  Использование индексов для оценки положения потребителя. Проблема индексации до­ходов.

47.  Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса;

48.  Общие модели развития экономики; модель Солоу.

Примерные задачи к экзамену

1.  Моделирование процесса выпуска продукции (оказания услуг) с помощью Производственных функций (ПФ)

Процесс производства некоторого изделия описывается с помо­щью ПФ

q = f(x1, x2) = 4x11/2x21/4,

(1)

где x1, x2 – количества затраченных в процессе производства пере­менных ресур­сов, q – объем выпуска про­дукции.

  Изобразите в пространстве ресурсов все планы производства, позволяющие выпустить та­кое же количество продукции, что и план x* = (64, 81).

  Постройте множества постоянного выпуска (Изокванты) ПФ

  Найдите вектор предельного продукта ПФ (1).

  Выясните, выполняется ли для ПФ (1) закон убывающей отдачи ресурса.

  Постройте Экономическую область ПФ

  определите, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса

  выясните, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью Эффекта от расширения мас­штаба производства.

  Предположим, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответст­венно, w1=3 и w2=12 денежных единиц. Постройте семейство Изокост ПФ.

  Постройте функцию его пере­менных издержек. Дайте геомет­ричес­кую иллюстрации решения этой задачи

  Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска плана, обеспечивающего вы­пуск заданного ко­личества продукции с минимальными издержками..

2.  Построение функции индивидуального спроса по известной Функции полезности потребителя

Рассмотрим Потребителя, располагающего m=4 денеж­ными едини­цами (доход потребителя), ко­торые он хочет потратить (полностью или частично) на при­обре­тение некоторого набора из двух това­ров (услуг). Цены това­ров известны и равны, соответственно, p1=1, p2=2, Предпочтения Потребителя описываются с помощью Функции полезности

U(x)=x1 2/3x2 1/3.

(2)

Аналитически решать задачу выбора потребителя (ЗВП);

2.1.  Постройте множество наборов товаров, доступных потребителю (его бюджетное множество).

2.2.  Постройте кривые и карту без­различия.

2.3.  Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска оптимального для потребителя набора товаров;

2.4.  Найти и интерпретировать предельные полезности товаров;

2.5.  Построите функцию индиви­ду­ального спроса;

2.6.  Изобразите зависимость между доходом и выбором потребителя с помощью кривых Энгеля;

2.7.  Изобразите зависимость между ценой товара и спросом потребителя на этот товар с помощью кривых (индивидуального) спроса.

3.  Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции.

Рассмотрим фирму (продавца), общие издержки которой C(x) зависят от объема x проданной партии товара следующим образом:

C(x) = x3 – 3x2 + 4x + 27.

  Постройте в в одной системе координат графики функций общих и переменных издержек.

  Постройте в в одной системе координат графики функций средних общих и средних переменных издержек

  Находите функцию предельных издер­жек и интерпретируйте ее значения;

  Изобразите в одной системе координат графики функций средних общих, сред­них переменных и предельных издержек;

  Постройте функцию предложения фирмы в условиях совершенной конкуренции;

  Находите минимальную цену товара, при которой продажа товара имеет эко­но­мический смысл;

  Находите цену товара, при которой доход продавца в точности совпадает с его издержками.

4.  Планирование продаж при монопольной структуре рынка

Рассмотрим фирму, монопольно выпускающую и продающую товар, спрос на кото­рый задан обратной функцией рыночного спроса: p(x)=50 – 0,1x. Общие из­держки монополиста заданы формулой

C(x)=0,02x2+14x+800.

  Постройте кривую рыночного спроса.

  вычислите ценовую эластичность спроса. Интерпретируйте полученный резу­льтат и идентифицируйте тип спроса.

  определите объем предложения товара и цену его продажи, при которых при­быль монопольного продавца будет наибольшей.

  геометрически проиллюстрируйте иллюстрировать решение задачи нахождения оптимального пла­на монополиста.

  изобразите в одной системе координат графики функций дохода и общих из­дер­жек. Найдите точки безубыточности.

Методические указания

 Моделирование процесса выпуска продукции (оказания услуг) с помощью Производственных функций (ПФ)

Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент дол­жен быть способен

·  по заданной ПФ определять выпуск продукции при известных затратах ресур­сов;

·  строить множества постоянного выпуска (Изокванты) ПФ;

·  находить и интерпретировать вектор Предельного продукта;

·  строить Экономическую область ПФ;

·  определять, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса;

·  выяснять, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью Эффекта от расширения мас­штаба производства;

·  по заданным ценам ресурсов строить семейство Изокост;

·  геометрически иллюстрировать процесс поиска плана, обеспечивающего вы­пуск заданного ко­личества продукции с минимальными издержками.

 Процесс производства некоторого изделия описывается с помо­щью ПФ

q = f(x1, x2) = 4x11/2x21/4,

(1)

где x1, x2 – количества затраченных в процессе производства пере­менных ресур­сов, q – объем выпуска про­дукции.

1. Изобразим в пространстве ресурсов все планы производства, позволяющие выпустить та­кое же количество продукции, что и план x* = (64, 81).

План x* позволяет выпустить q=4(64)1/2(81)1/4=96 единиц продукции. Пред­положим, что план (x1, x2) позволяет выпустить такое же количество про­дукции:

4x11/2x21/4=96.

Отсюда следует, что затраты первого и второго ресурсов для всех планов произ­водства, обе­с­печивающих выпуск 96 единиц продукции, связаны следующим об­разом:

x2 = 244 ´ x1–2 = 331776 ´ x1–2.

Графиком полученной функции в пространстве ресурсов является изокванта, соответству­ющая выпуску 96 единиц продукции:

x1

 

Рис. 1 Изокванта производственной функции f(x1, x2) = 4x11/2x21/4

2. Найдем вектор предельного продукта ПФ (1):

(2)

Вычислим первый и второй предельный продукты для плана x*=(64, 81):

Полученный результат означает, что при увеличении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго выпуск продукции увеличится примерно на 3/4 (аналогично ин­терпретируется второй предельный продукт).

Из формулы (2) следует, что оба преде­льных продукта ПФ (1) положительны для всех планов с отличными от нуля затратами ресур­сов. Таким образом, эконо­мическая область ПФ (1) совпадает со всем пространством ресурсов (без коорди­натных осей).

3. Выясним, выполняется ли для ПФ (1) закон убывающей отдачи ресурса.

Вычислим вторые производные ПФ (1) (за исключением смешанных):

Рассмотрим вторую производную ПФ по переменной x1. Зафиксируем затраты второго ре­сурса. Поскольку при любых затратах первого ресурса производная от­рицательна, первый пре­дельный продукт является убывающей функцией перемен­ной x1.

Это означает, что при фиксированных затратах второго ресурса последователь­ное увеличе­ние затрат первого ресурса на единицу будет приводить к последова­тельному уменьшению приращения выпуска продукции.

4. Рассмотрим вопрос о наличии и характере эффекта от расширения масштаба производ­ства для ПФ (1).

Рассмотрим произвольный план x=(x1, x2). Увеличим затраты всех ресурсов в k раз (k > 1). Для плана kx=(kx1, kx2) выпуск продукции составит

Таким образом, при увеличении затрат ресурсов в k раз выпуск продукции всег­да увеличи­ва­ется менее, чем в k раз. ПФ (1) характеризуется убывающим эффек­том от расширения масшта­ба производства.

5. Предположим, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответст­венно, w1=3 и w2=12 денежных единиц. Задача о построении функции его пере­менных издержек подробно рассмотрена в [3, 25]. Остано­вимся на геомет­ричес­кой иллюстрации решения этой задачи.

Условно изобразим изокванту, соответствующую выпуску q единиц продукции. Ее уравнение x2=q4/(256 x12) легко получить из формулы (1). На Рис.1 она по­ст­роена при q=96. Геометрически найдем тот план производства, который обеспе­чивает выпуск q единиц про­дукции с минимальными (переменными) издержками.

Предположим, что (x10, x20) – план производства по затратам ресурсов. Он обой­дется Производителю в 3x10+12x20 денежных единиц. Обозначим стоимость плана (иными словами, переменные издержки Произво­ди­теля) через c. В этом случае множество всех планов стоимости c (изокоста) задается уравнением

3x1+12x2 = c.

(3)

Легко видеть, что при различных c уравнение (3) описывает в пространстве ре­сурсов семейство отрезков параллельных прямых с нормальным вектором N (3, 12). В связи с этим для построения картины семейства изокост достаточно постро­ить одну изокос­ту, а затем символически изобразить в пространстве ресурсов ос­тальные изокосты как несколько отрезков параллельных прямых.

Построим изокосту, соответствующую, например, издержкам в 12 денежных еди­ниц. Её урав­нение имеет вид

3x1+12x2 = 12.

(4)

Поделив обе части уравнения (4) на 12, получим уравнение прямой в отрезках:

x1 / 4 + x2 / 1 = 1.

(5)

Для построения прямой (5) достаточно соединить точки (4, 0) и (0, 1). Естест­венно, изокос­той является та часть этой прямой, которая лежит в первой четверти.

Изокоста позволяет сравнить между собой стоимость различных планов выпу­ска. Предположим, что некоторый план x0 принадлежит построенной изоко­сте. В этом случае стоимость затраченных ресурсов составит 12 денежных еди­ниц. Лю­бой другой план, лежащий на изокосте также обойдется Производителю в 12 де­нежных единиц, выше (ниже) изокосты – больше (меньше), чем в 12 денежных единиц.

На Рис. 2 изображена символическая картина семейства изокост. Отметим, что нормальный вектор N (3, 12) указы­вает направление, в котором от изокосты к изо­косте издержки Произво­дителя возрастают.

 

Рис. 2 Нахождение вектора затрат ресурсов, обеспечивающего выпуск заданного количества продукции с наименьшими переменными издержками

Таким образом, в поисках плана производства, обеспечивающего выпуск q еди­ниц продук­ции с минимальными издержками, следует "перемещать" изокосту в направлении, указанном вектором N (3, 12), до тех пор, пока она не коснется изо­кванты, соответствующей выпуску q единиц продукции (план x* на Рис. 2). Стои­мость плана x* показывает, какое минимальное ко­личество денежных сред­ств не­обходимо для выпуска q единиц продукции (без учета посто­ян­ных издержек).

‚ Построение функции индивидуального спроса по известной Функции полезности потребителя

Для получения зачета по настоящему разделу контрольной работы студент дол­жен быть способен

·  аналитически решать задачу выбора потребителя (ЗВП);

·  по данным ЗВП строить множество наборов товаров, доступных потребителю (его бюджетное множество);

·  по известной функции полезности потребителя строить его кривые и карту без­различия;

·  геометрически иллюстрировать процесс поиска оптимального для потребителя набора товаров;

·  находить и интерпретировать предельные полезности товаров;

·  по известной функции полезности потребителя строить его функцию индиви­ду­ального спроса;

·  изображать зависимость между доходом и выбором потребителя с помощью кривых Энгеля;