Математическая экономика. Учебно-методический комплекс по специальности: 080– Прикладная информатика в экономике (стр. 3 )

Рассмотрим план А (x*, p*) (Рис. 12), лежащий выше кривой спроса. Для этого плана предложение (x*) превышает спрос (x(p*)). Для плана B (x', p'), лежащего ниже кривой спроса, спрос (x(p’)) превышает предложение (x'). Наконец, для плана C(x(p’), p’), лежащего на кривой спроса, предложение (x(p’)) и спрос (x(p’)) совпадают.

Будем предполагать, что продавец выбирает план (x, p) таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль.

Можно показать, что при долговременном планировании любой план (x, p), не принадлежащий кривой спроса, не может принести монополисту наибольшую прибыль. Таким образом, ему следует рассматривать только такие планы, при ко­торых спрос совпадает с предложением.

Предположим, что продавец решил закупить x единиц товара (x £ 500). Весь то­вар будет реализован, если на него назначить цену p = p(x) = 50 – 0,1x. При этом выручка (доход) продавца составит R(x) = xp(x) = x(50 – 0,1x) денежных единиц, а при­быль, соответственно, p(x) = R(x) – C(x) = x(50­ – 0,1x) – (0,02x2+14x+800).

Таким образом, задача нахождения плана деятельности монопольного продав-ца, желающего получить в долговременном плане наибольшую прибыль, может быть формализована как следующая задача математического программирования:

p(x)=R(x) – C(x)= xp(x) – C(x) ® max, xÎ[0, a],

(2)

где a – объем спроса на товар при p=0. В рассматриваемом случае задача (2) имеет следующий вид:

p(x)= x(50­–0,1x) – (0,02x2+14x+800) ® max, xÎ[0, 500].

(3)

Решение задачи (3) заведомо существует (в силу теоремы Вейерштрасса) и искать его следует либо среди критических точек функции прибыли, либо на границе допустимого множества задачи: при x=0 или при x=500.

Заметим, что решение задачи типа (2) не может совпадать с правой границей допустимого множества, поскольку такое количество товара можно реализовать только бесплатно, и будет справедливо следующее неравенство:

p(a) = – C(a) < – C(0) = p(0).

Таким образом, для решения задачи (2) достаточно найти критические точки функции прибыли, вычислить значение прибыли продавца в этих точках и сравнить полученные результаты с его постоянными издержками.

Найдем критические точки функции p(x) из уравнения:

p¢(x)=50–0,2 x–0,04 x–14=36–6x/25=0.

Легко видеть, что функция p(x) имеет единственную критическую точку, принадлежащую допустимому множеству: х=150. Вычислим соответствующее значение прибыли продавца: p(150) = 1900 > – 800.

Таким образом, продажа товара в объеме 150 единиц принесет продавцу наибольшую прибыль, которая составит 1900 денежных единиц:

argmax p(x)=150, pmax=1900.

При этом в соответствии с обратной функцией спроса цена товара составит

p(150) = 50 ­– 15 = 35.

4. Найдем ценовую эластичность спроса при цене p = 35. Воспользовавшись формулой (1) будем иметь ep(x)= – 7/3. Полученный результат означает, что при цене p = 35 увеличение ее на один процент приведет к падению спроса примерно на 7/3 процента.

Таким образом, при цене, назначенной в условиях монополии, спрос на товар является эластичным.

5. Если есть основания считать, что в долговременном плане продавцу не имеет смысла покидать рассматриваемый рынок, решение поставленной задачи можно получить графическим способом. Сделанное предположение означает, что реше-ние задачи (2) отлично от x=0, и достигается в некоторой критической точке x* функции прибыли:

p¢(x*)=R ¢(x*)–C¢(x*)=0.

Таким образом, продавец получит наибольшую прибыль при таком объеме предложения товара, при котором его предельный доход совпадет с предельными издержками. Найдем функции предельного дохода и предельных издержек:

R ¢(x)=[x(50 ­– 0,1x)] ¢=50 – 0,2x; C¢(x)=[0,02x2+14x+800] ¢= 0,04x+14.

Изобразим графики полученных функций вместе с графиком функции спроса в одной системе координат:

 

Рис. 13 Геометрическое решение задачи нахождения оптимального плана монополиста

При сделанных предположениях абсцисса точки пересечения кривой предель-ного дохода с кривой предельных издержек является точкой максимума прибыли. Найдя эту точку, можно, используя кривую спроса, определить цену товара, при которой спрос совпадет с предложением.

6. Поскольку в реальной экономической ситуации принцип максимизации при­были редко реализуется в чистом виде, полезно знать, при каком объеме предло­жения доход продавца превышает его издержки и наоборот.

Построим в одной системе координат графики функций дохода и общих издер­жек: R(x)= x(50­ – 0,1x), C(x)=0,02x2+14x+800.

 

Рис. 14 Анализ прибыльности с помощью точек безубыточности

Точки x1 и x2 (объем предложения, при котором доход продавца в точности ра­вен его общим издержкам) называются точками безубыточности. Для их аналити­ческого нахождения достаточно решить следующее уравнение:

R(x) = x(50­ – 0,1x) = 0,02x2+14x+800 = C(x).

Будем иметь

Таким образом, предложение товара в размере от 26 до 276 единиц товара поз­во­лит получить фирме положительную прибыль, иное предложение приведет к убыткам.

Контрольные задания

Контрольная работа по дисциплине «Математическая экономика» состоит из четырех задач, номера которых связаны с последней цифрой номера зачетной книжки выполняющего ее студента следую­щим образом:

Последняя цифра но­мера зачетной книжки	Содержание варианта	Последняя цифра но­мера зачетной книжки	Содержание варианта
0	10, 20, 30, 40	5	5, 15, 25, 35
1	1, 11, 21, 31	6	6, 16, 26, 36
2	2, 12, 22, 32	7	7, 17, 27, 37
3	3, 13, 23, 33	8	8, 18, 28, 38
4	4, 14, 24, 34	9	9, 19, 29, 39

?  Моделирование процесса выпуска продукции (оказания услуг) с помощью

Производственных функций (ПФ)

1 – 5. Процесс производства некоторого товара описывается с помощью ПФ

q = a x1bx2g.

1.  В одной системе координат изобразите изокванты, которым принадлежат планы (a, b) и (c, d). Какой план даст большее количество продукции?

2.  Для плана (a, b) найдите оба предельных продукта. Интерпретируйте полу­чен­ные результаты. Принадлежит ли план (a, b) экономической области?

3.  Характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью эффекта масшта­ба?

4.  Выясните, выполняется ли для ПФ закон убывающей отдачи ресурса.

5.  Предполагая, что Производитель приобретает ресурсы по ценам, соответст­вен­но, w1 и w2 денежных единиц, постройте функцию его пе­ременных из­держек. При­ведите геометрическую иллюстрацию решения задачи.

Задачи	a	b	g	a	b	c	d	w1	w2
1	2	1/3	1/3	1	8	9	3	1	3
2	3	1/2	1/2	8	2	3	12	1	3
3	2	1/2	1/2	4	9	8	2	10	2
4	2	2/3	1/3	16	2	3	9	3	12
5	5	1/2	1/2	16	9	4	16	3	12

6 – 10. Процесс выращивания пшеницы в некотором хозяйстве описывается ПФ

q = 2(a x1x2 - b x12 - g x22),

где: x1 – число сотен отработанных человеко-часов, x2 – число обработанных ак­ров земли [акр(acre) – единица площади в английской системе мер; 1 акр прибли­зительно равен 0.4 га], q – количество собранных бушелей пшеницы [бушель (bushel) – единица объема сыпучих веще­ств и жидкостей в странах с английской системой мер; в Великобритании бушель равен 36.37 л].

1.  Найдите оба предельных продукта для плана (a, b). Интерпретируйте полу­ченные результаты. Принадлежит ли план (a, b) экономической области?

2.  Постройте экономическую область ПФ.

3.  Характеризуется ли данная ПФ той или иной разновидностью эффекта от расширения масшта­ба производ­ства?

4.  Выясните, выполняется ли для ПФ Закон убывающей отдачи ресурса.

5.  При каком количестве затраченных человеко-часов урожай, собранный с участ­ка земли пло­щадью c акров, будет максимальным?

Задачи	a	b	g	a	b	c
6	5	2	3	5	6	10
7	5	3	2	10	11	12
8	6	1	4	24	10	20
9	6	4	1	12	20	15
10	8	5	2	16	24	20

? ‚ Построение функции индивидуального спроса по известной Функции полезности потребителя

11 – 20. Потребитель располагает m денеж­ными едини­цами, которые он хочет ис­тратить (полностью или частично) на при­обре­тение некоторого набора из двух то­ва­ров (услуг). Цены това­ров и доход потребителя известны и равны, соответ­ствен­но, p1, p2, m, а его предпочтения описываются с помощью функции полез­ности U(x).

1.  Постройте бюджетное множество потребителя.

2.  Изобразите карту без­различия потребителя.

3.  Геометрически проиллюстрируйте процесс поиска оптимального для потре­би­теля набора товаров.

4.  Аналитически решите задачу выбора потребителя.

5.  Предполагая, что доход потребителя и цены товаров изменяются в достаточно малых окрестностях чисел m, p1, p2, постройте функцию индиви­дуального спроса потребителя.

6.  Предполагая, что цены товаров равны p1 и p2 и не изменяются, изобразите зави­симость между доходом и выбором потребителя с помощью кривых Энгеля.

7.  Предполагая, что цена второго товара и доход потребителя равны p2 и m и не из­меняются, изобразите зависимость между ценой первого товара и спросом потребителя на этот товар с помощью кривой индивидуального спроса.

Задачи	m	p1	p2	U(x)
11	12	4	1	x1 1/2x2 1/2
12	72	4	6	x1 1/6x2 5/6
13	80	6	8	x1 1/2x2 1/3
14	90	5	6	x1 1/4x2 1/2
15	60	2	4	x1 1/3x2 2/3
16	84	4	12	x1 1/7x2 6/7
17	81	9	5	x1 2/5x2 1/2
18	99	8	3	x1 2/3x2 1/4
19	56	2	7	5x1 + 7x2
20	72	4	9	2x1 + 9x2

? ƒ Планирование продаж в условиях совершенной конкуренции