Структурный синтез замкнутых кинематических цепей (Цепей Грюблера). Часть 1 (стр. 1 )

УДК 621.01

Э. Е. ПЕЙСАХ

СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ ЗАМКНУТЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (ЦЕПЕЙ ГРЮБЛЕРА). Часть 1

Введение

Наряду с принци­пом Ассура образования механизмов широко распространен и другой подход, предложенный Грюблером [1], который основывается на использовании замкнутых кинемати­ческих цепей. Для того чтобы получить плоский шарнирный механизм с одной степенью свободы () из плоской замкнутой кинематической цепи с вращательными парами, нужно одно звено цепи закрепить, т. е. сделать стойкой, а еще одно звено принять в качестве входного. Отсюда следует, что рассматриваемая цепь должна иметь . Из формулы видно, что между числом n звеньев и числом p шарниров цепи должно выполняться соотношение: , которое дает такие сочетания n и p: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , и т. д.

Целью синтеза замкнутых кинематических цепей (или цепей Грюблера) является создание «банка» таких топологически не повторяющихся цепей с различными числами звеньев.

Обратим внимание на одну важную особенность задачи структурного синтеза цепей Грюблера и других структурных объектов (групп Ассура, ферм Баранова, шарнирных механизмов). Существует один, и только один, правильный результат решения такой задачи при заданном числе звеньев объекта. Установлено, например, что существует только одна четырехзвенная плоская замкнутая шарнирная цепь, две шестизвенные цепи 6ЦГ1 и 6ЦГ2 и шестнадцать восьмизвенных цепей, причём каждая такая цепь имеет определённую конфигурацию (в топологическом отношении). Результат решения задачи структурного синтеза, если он правильный, есть объективная реальность, достоверный факт. Он не зависит от используемых методов и алгоритмов, от разных точек зрения у разных специалистов. Разумеется, среди различных методов и алгоритмов могут быть более или менее рациональные по различным признакам, например, с точки зрения возможности их компьютерной реализации. Можно сказать, что структурный синтез – это обнаружение (раскрытие) данных, объективно существующих, но ранее не известных специалистам (что, кстати говоря, отличает структурный синтез от кинематического синтеза механизмов).

Краткий обзор

Структурным синтезом плоских замкнутых кинематических цепей занимались в разные годы Грюблер, Франке, Альт, Хайн, Ву и другие исследователи.

Четырёхзвенная и шестизвенные цепи были известны ещё в XIX веке. Манолеску в статье [4] сообщает об истории открытия восьмизвенных цепей Грюблера. Первые двенадцать цепей были обнаружены самим Грюблером [1] в 1917 г. Ещё три цепи были найдены Франке [7] в 1948 г. Последняя, шестнадцатая цепь была открыта Альтом и Хайном и представлена в статье [8] в 1955 г.

Рядом авторов независимо друг от друга было установлено, что число десятизвенных кинематических цепей равно 230. Первое сообщение о 230 неизоморфных десятизвенных цепях относится к 1967 г. и принадлежит Ву [9]. Манолеску и Темпеа получили такой же результат в 1970 году [10]. О 230 десятизвенных кинематических цепях сообщают Кипер и Шиан в 1975 году [11]. Мрутиуньая [12] в 1984 году нашёл с помощью разработанной им компьютерной программы 229 десятизвенных цепей, то есть его программа не смогла обнаружить одну десятизвенную цепь. Позднее число 230 было подтверждено в ряде публикаций, в том числе в работе [13], выполненной в 1998 году в Германии коллективом авторов (, Х. Дресиг, Ю. Шонхер и С. Герлах).

По сообщению Манолеску [4], первое упоминание о числе двенадцатизвенных цепей содержалось в докторской диссертации Вайнхольда [14] (1973 г.): им обнаружено 6855 таких цепей. Этот же результат был подтверждён в 1975 г. авторами Кипер и Шиан [11]. В 1988 г. Тутл, Петерсон и Титус в двух статьях [15, 16] представили алгоритм, основанный на теории групп, с помощью которого они нашли 6856 двенадцатизвенных кинематических цепей, т. е. на одну больше по сравнению с ранее полученным результатом. Несколько иной результат, а именно 6862 цепи, был получен авторами В. Хванг и И. Хванг в 1992 году [17]. Сринат и Кришнамурти [18] в 1995 году нашли 6856 кинематических цепей с 12 звеньями, что совпадает с одним из полученных ранее результатов. Разница в полученных разными авторами результатах (6855, 6856 и 6862), хотя и небольшая, потребовала ещё ряда независимых экспертиз. Программа, представленная в уже упомянутой выше работе [13], выполненной в 1998 году коллективом авторов, синтезировала 6856 неизоморфных двенадцатизвенных кинематических цепей. Точно такой же результат был получен в 2005 году авторами Бутхер и Хартман [19]. Таким образом, есть основания полагать, что найденное значение 6856 является правильным.

Что касается синтеза 14-звенных цепей Грюблера, то на сегодняшний день имеются только две посвящённые им публикации. Впервые их общее число, оказавшееся равным было получено в 1998 году и представлено в упомянутой выше работе [13]. Точно такое же значение числа 14-звенных цепей было найдено в 2005 году в статье [19]. Авторы этой статьи Бутхер и Хартман утверждают, что они первыми решили данную задачу. Скорее всего, они получили свой результат независимо (видимо, им было не известно, что задача была решена за семь лет до выхода их статьи). Удивительное совпадение полного числа 14-звенных кинематических цепей, найденное двумя независимыми группами исследователей при помощи разных алгоритмов и программ, с большой степенью вероятности свидетельствует о правильности результата.

Полученные к настоящему времени данные о числе цепей Грюблера с числом звеньев от 4 до 14 приведены в нижеследующей таблице:

Число звеньев	4	6	8	10	12	14
Число цепей Грюблера	1	2	16	230	6856	318162

Исследования в области структурного синтеза замкнутых кинематических цепей нуждаются в дальнейшей разработке. Во многих публикациях даётся только краткое и неполное описание предлагаемых методов, не раскрыты все этапы синтеза (вследствие чего не представляется возможным воспроизведение описываемых в них подходов и результатов), не обсуждаются вычислительные проблемы, возникающие при компьютерной реализации алгоритмов, часто исследования ориентированы на синтез кинематических цепей только с определённым числом звеньев, отсутствует какая-либо систематизация найденных цепей.

В данной статье предлагается новая методика структурного синтеза цепей Грюблера. Она применима к синтезу кинематических цепей с различными числами звеньев.

Четырёх-, шести - и восьмизвенные цепи

Четырехзвенная плоская замкнутая шарнирная цепь и две шестизвенные цепи 6ЦГ1 и 6ЦГ2 приведены на рисунке 1, а и 1, б, в.

Из четырехзвенной цепи путем обращения любых двух смежных звеньев в стойку и входное звено образуется шарнирный четырехзвенник.

По предложению Бурместера [2], за шестизвенными цепями закрепились такие наименования: цепь Уатта (рис. 1, б) и цепь Стефенсона (рис. 1, в). Воз­можны четыре различных варианта выбора стойки и входного звена в цепи Уатта, которые дают четыре шестизвенных механизма Уатта (см. рис. 1 в статье [5], механизмы 6М1, 6М3, 6М5, 6М6). В цепи Стефенсона возможны пять раз­личных вариантов выбора входного звена и стойки, что даёт пять шестизвенных механизмов Стефенсона (см. рис. 1 в статье [5], механизмы 6М2, 6М4, 6М7, 6М8, 6М9).

а	б 6ЦГ1	в 6ЦГ2
Рис. 1. Четырёх - и шестизвенные кинематические цепи Грюблера

Все шестнадцать восьмизвенных цепей Грюблера показаны на рис. 2. По сравнению с известными графическими изображениями таких цепей (см., например, [3], [4]) здесь внесены некоторые изменения. Во-первых, все цепи расположены в другой последовательности (она увязана с предлагаемой классификацией цепей Грюблера – см. ниже). Во-вторых, каждой цепи присвоен свой буквенно-цифровой индекс (от 8ЦГ1 до 8ЦГ16), вследствие чего любую из восьмизвенных цепей можно идентифицировать по её индексу. Восьми звеньям каждой из цепей присвоены порядковые номера от 1 до 8, что даёт возможность при переходе от цепи Грюблера к соответствующим восьмизвенным шарнирным механизмам указать только такие варианты выбора стойки и входного звена, которые порождают структурно неизоморфные механизмы.

Из шестнадцати восьмизвенных цепей можно получить 153 восьмизвенных шарнирных механизма с одной степенью свободы (структурные схемы всех указанных механизмов приведены в статье автора [6]).

Классификация цепей Грюблера

В предлагаемой системе классификации замкнутых кинематических цепей фигурируют два основных структурных признака – число звеньев и разряд. Кроме того, имеются ещё два дополнительных структурных признака – число кинематических пар (шарниров) и число взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров. Если известны число звеньев и разряд цепи Грюблера, то оба дополнительных структурных признака определяются однозначно, то есть они являются зависимыми от двух основных признаков.

Введём следующие обозначения:

n – число звеньев кинематической цепи;

p – число кинематических пар (шарниров) цепи;

m – число взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров, образуемых звеньями цепи;

R - разряд цепи;

k – наибольшее число кинематических пар, образуемых каким-либо звеном n‑звенной цепи с другими её звеньями;

n2, n3, …, – число двухпарных, трёхпарных, …, k‑парных звеньев в цепи;

N - число цепей с заданным числом звеньев;

- число цепей с заданным числом звеньев и заданного разряда.

8ЦГ1	8ЦГ2	8ЦГ3	8ЦГ4
8ЦГ5	8ЦГ6	8ЦГ7	8ЦГ8
8ЦГ9	8ЦГ10	8ЦГ11	8ЦГ12
8ЦГ13	8ЦГ14	8ЦГ15	8ЦГ16
Рис. 2. Восьмизвенные кинематические цепи Грюблера

Из соотношения следует, что число n звеньев в цепи всегда чётное и может быть равно 4, 6, 8, 10, … Можно показать, что упомянутое выше число k равно: .

Все цепи Грюблера с заданным числом n звеньев будем распределять по разрядам. Один разряд включает в свой состав все цепи, у которых совпадают числа двухпарных, трёхпарных, …, k-парных звеньев. Разряд R цепи записывается при помощи однострочной матрицы, имеющей размерность . Первый, второй, …, -й элементы матрицы R – это числа n2, n3, …, двухпарных, трёхпарных, …, k-парных звеньев соответственно, то есть .

Две шестизвенных цепи (см. рис. 1, б, в) имеют один и тот же разряд R=(4 2). Шестнадцать восьмизвенных цепей (см. рис. 2) распределяются по следующим трём разрядам: 1) R=(4 4 0); 2) R=(5 2 1); 3) R=(6 0 2).

Число p кинематических пар и число m взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров определяются по формулам:

, .

(1)

Применим предлагаемую систему классификации к восьмизвенным цепям Грюблера (см. рис. 2). Соответствующие данные представлены в таблице 1. В этой таблице приведены также сведения о числе восьмизвенных шарнирных механизмов, которые могут быть получены из цепей Грюблера первого, второго и третьего разрядов.

Таблица 1

Классификация восьмизвенных цепей Грюблера

Разряды	N	Индексы цепей	Число восьмизвенных механизмов
4 4 0	9	8ЦГ1 – 8ЦГ9	76
5 2 1	5	8ЦГ10 – 8ЦГ14	68
6 0 2	2	8ЦГ15 – 8ЦГ16	9
Всего цепей	16	Всего механизмов	153

Определение понятия "кинематическая цепь Грюблера"

Для решения задачи структурного синтеза цепей Грюблера с заданным числом звеньев необходимо сначала сформулировать все условия, которым должны удовлетворять такие структуры. Эти условия формулируются на основе точного и полного определения понятия "цепь Грюблера". Дадим такое определение:

Цепь Грюблера – это плоская замкнутая кинематическая цепь, имеющая чётное число звеньев (не менее 4-х) и четыре степени свободы (по отношению к неподвижной плоскости), любое из звеньев которой обладает относительной подвижностью по отношению к любому другому её звену.

Условия структурного синтеза цепей Грюблера

С учётом приведённого выше определения, сформулируем пять условий, которым должна удовлетворять цепь Грюблера:

1) число n звеньев цепи является чётным (не менее 4-х);

2) число p кинематических пар (шарниров), образуемых звеньями цепи друг с другом, должно быть равно: ;

3) цепь является замкнутой;

4) любой из замкнутых контуров, образуемых звеньями цепи, должен состоять из четырёх или более звеньев;

5) любое из звеньев цепи имеет относительную подвижность по отношению к любому другому её звену.

Условие 5 следует из того факта, что любая совокупность связанных друг с другом звеньев, входящих в рассматриваемую n‑звенную структуру, которая удовлетворяет четырём первым условиям, должна быть системой твёрдых тел, обладающих относительной подвижностью. В противном случае указанная совокупность звеньев будет представлять собою фактически одно твёрдое тело (то есть одно звено), вследствие чего n‑звенная структура не может быть n‑звенной цепью Грюблера. На рис. 3 показана десятизвенная структура, которая, хотя формально и удовлетворяет четырём первым из указанных выше условий, но не удовлетворяет условию 5 и потому не является десятизвенной цепью Грюблера. Дело в том, что совокупность связанных друг с другом звеньев 1, 5, 6, 7 и 8, входящих в рассматриваемую структуру, является пятизвенной фермой Баранова [20], т. е. фактически представляет собою одно звено. Значит, в данном случае мы имеем дело с шестизвенной цепью Грюблера (звенья 2, 3, 4, 9, 10 и указанное одно звено), а не с десятизвенной.

Рис. 3. Десятизвенная структура с и , не являющаяся десятизвенной цепью Грюблера

Три этапа структурного синтеза цепей Грюблера

Предлагаемая методика структурного синтеза цепей Грюблера включает в себя три этапа. На первом этапе определяются все потенциально возможные разряды R цепей Грюблера с заданным числом n звеньев. Все цепи, входящие в один и тот же разряд, имеют одинаковый набор звеньев, то есть одинаковые значения n2, n3, …, .

На втором этапе для каждого разряда R генерируются n-звенные цепи, которые можно сформировать из соответствующего набора звеньев, соединяя их при помощи шарниров. При формировании n-звенных цепей следует учитывать пять условий синтеза, о которых было сказано выше.

На третьем этапе среди множества полученных цепей производится отбор неповторяющихся, то есть структурно неизоморфных, цепей. Из найденных неизоморфных структур формируется база данных (электронный каталог) всех цепей Грюблера с заданным числом звеньев.

При разработке алгоритмов для второго и третьего этапов структурного синтеза возникает необходимость в адекватном символьном представлении синтезируемых кинематических цепей, а также в создании идентификационного структурного кода для каждой из цепей Грюблера.

Синтез всех возможных разрядов для n-звенных цепей Грюблера

На первом этапе структурного синтеза цепей Грюблера определяются все целочисленные значения величин , , …, , удовлетворяющие следующим условиям:

; ; (i = 3, 4, …, k).

(2)

Здесь: ; n – чётное число ().

Система уравнений и неравенств (2) получена на основании трёх первых из пяти сформулированных выше условий структурного синтеза n‑звенных цепей Грюблера. Каждому из целочисленных решений системы (2) соответствует определённый разряд R n‑звенных цепей, поскольку . Таким образом, в результате реализации первого этапа определяются все разряды цепей Грюблера с заданным числом звеньев.

В случае из системы (2) получаем:

, .

(3)

В случае из системы (2) получаем:

, , .

(4)

В случае из системы (2) находим:

, , , .

(5)

Из формул (3), (4) и (5) следует, что при , 6 и 8 цепи Грюблера имеют соответственно 1, 1 и 3 разряда.