Дисперсионный анализ (стр. 3 )

Последовательность расчетов приведена в Табл. 7.7.

ГЛАВА 8 ДИСПЕРСИОННЫЙ ДВУХФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

8.1. Обоснование задачи по оценке взаимодействия двух факторов

Двухфакторный дисперсионный анализ позволяет нам оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодей­ствие. Может оказаться, что одна переменная значимо действует на исследуемый признак только при малых (или, напротив, больших) зна­чениях другой переменной. Например, повышение вознаграждения мо­жет повышать скорость решения задач у высокоинтеллектуальных ис­пытуемых и понижать ее у низкоинтеллектуальных. Усиление наказания может снижать количество агрессивных реакций у девочек и повышать его у мальчиков. Или, скажем, внушение может влиять на младших школьников, но не влиять на подростков. Один фактор может "заморозить" или, напротив, "катализировать" действие другого.

В исследовании К. А. Harris и К. В. Morrow изучалась такая лич­ностная черта, как доминантность взрослых мужчин и женщин: Авторы предполагали, что доминантность должна быть выше у людей, которые были первенцами в своих семьях, и ниже у средних и тем более млад­ших детей. Оказалось, что влияние каждого из двух исследуемых фак­торов - пола и порядка рождения - незначимо, а взаимодействие фак­торов значимо (см. Рис. 8.1). У мужчин доминантность, как и предпо­лагалось, с увеличением порядка рождения снижается, а у женщин, на­против, повышается. Авторы объясняют это двояко: тем, что младшие девочки в семьях могут пользоваться особым предпочтением остальных членов семьи или тем, что повышенной доминантностью они отвечают на свое подчиненное положение в детстве (Harris K. A., Morrow K. B.,g 1992).

Рис. 3.1. Изменения показателей Доминантности (шкала Калифорнийского личностного опросника) в зависимости от порядка рождения у мужчин (сплошная линия) и женщин (пунктирная линия) (по: Harris А. К., Morrow К. В., 1992, р. 115)

Если нами установлено значимое взаимодействие факторов, то это зачастую важнее, чем действие каждого из факторов в отдельности. Некоторые исследователи предлагают вообще игнорировать в таких случаях "основные эффекты" каждого из взаимодействующих факторов и рассматривать только взаимодействие (McCall R., 1970, р. 250).

Специалист по возрастной и дифференциальной психологии знает, что "основных эффектов", или общих закономерностей, в действитель­ности достаточно мало. Почти всегда требуется поправка на возраст испытуемых, их пол, профессиональную принадлежность, способ вос­приятия, тип энергетической мобилизации и т. п. К счастью, петербургская-ленинградская школа психологии благодаря, в первую очередь, Б. Г., Ананьеву, никогда не была "бесполой" или "вневозрастной" (см., например, , 1968). Именно поэтому дисперсионный ана­лиз в большей степени отвечает ленинградскому дифференциально-психологическому подходу в экспериментальных исследованиях. Он по­могает нам выявлять все более и более частные и точные закономерно­сти и приближает нас к установлению закономерностей индивидуаль­ных стилей.

Двухфакторный дисперсионный анализ предъявляет особые тре­бования к формированию комплексов. Комплекс должен представлять собой симметричную систему: каждой градации фактора А должно со­ответствовать одинаковое количество градаций фактора В. Например, для исследования А. К. Harris, К. В. Morrow (см. Рис. 8.1) это означа­ет, что и среди мужчин должны были быть старшие, средние и млад­шие дети, и среди женщин должны быть старшие, средние и младшие дети, причем для равномерного комплекса необходимо, чтобы в каждой ячейке комплекса было одинаковое количество испытуемых. Понятно, конечно же, что это значительно усложняет исследование и требует тщательного предварительного планирования его.

Подробности работы лучше рассматривать на примерах, поэтому перейдем к моделям двухфакторного дисперсионного анализа: а) для несвязанных выборок; б) для связанных выборок.

8.2. Двухфакторный дисперсионный анализ для несвязан­ных выборок

Назначение метода

Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа приме­няется в тех случаях, когда исследуется одновременное действие двух факторов на разные выборки испытуемых, т. е. когда разные выборки, испытуемых оказываются под воздействием разных сочетаний двух факторов. Количество выборок определяется количеством ячеек диспер­сионного комплекса.

Описание метода

Суть метода остается прежней, но в двухфакторном дисперсион­ном анализе мы можем проверить большее количество гипотез. Расчеты гораздо сложнее, чем в однофакторных комплексах.

Используемый в данном руководстве алгоритм расчетов предна­значен только для равномерных комплексов. Если комплекс получился неравномерным, необходимо случайным образом отсеять несколько ис­пытуемых.

Работу начинаем с построения специальной таблицы, отражаю­щей весь дисперсионный комплекс. Подробности лучше сразу рассмат­ривать на примере.

Пример

Рассмотрим пример из руководства J. Greene, M. D.'Olivera (1989).

Четырем группам испытуемых предъявлялись списки из 10 слов:

группе 1 - короткие слова с большой скоростью;

группе 2 - короткие слова с медленной скоростью;

группе 3 - длинные слова с большой скоростью;

группе 4 - длинные слова с медленной скоростью.

В каждой группе было по 4 испытуемых, всего N=16. Предска­зывалось, что между факторами длины слов и скоростью их предъявле­ния будет наблюдаться значимое взаимодействие: при большой скоро­сти предъявления лучше будут запоминаться короткие слова, а при медленной скорости - длинные слова. Результаты экспериментов пред­ставлены в Табл. 8.1.

Таблица 8.1

Количество воспроизведенных слов при разной длине слов и разной скорости их предъявления (по J. Greene, M. D'Olivera, 1989)

Переменная (фактор) В скорость предъявления слов	Переменная (фактор) А - длина слов	Суммы по пере­менной В (ТB)
	A1 - короткие слова	A2 - длинные слова
В1 (большая скорость)	9867	30	5334	15	45
B2 (малая скорость)	4335	15	7567	25	40
Суммы по переменной А (ТA)		45		40	85

Заметим, что в отечественных руководствах чаще предлагается другая, более привычная для нас, форма таблиц для двухфакторных дисперсионных комплексов (Табл. 8.2). При такой форме легче "увидеть" комплекс в целом.

Таблица 8.2

Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния фактора А (длина слов) и фактора В (скорость предъявления слов) на количество воспроизведенных слов

Градации фактора А	А1 - короткие слова	A2 – длинные слова
Градации фактора В	B1	B2	B1	B2
	9 8 6 7	4 3 3 5	5 3 3 4	7 5 6 7
Суммы по ячейкам	30	15	15	25
Суммы по градациям фактора А	ТA1=45	ТA2=40.
Суммы по градациям фактора В	ТB1==30+15=45	ТB2==15+25=40

Как видим, при такой форме таблицы легче подсчитать суммы по ячейкам (в столбик), но труднее разобраться с суммами по градациям каждого из факторов. В данном случае оказалось, что они совпали:

ТA1= ТB1; ТA2= ТB2.

В дальнейшем при использовании алгоритма расчетов будем опи­раться на Табл. 8.1.

Сформулируем гипотезы. Это будут гипотезы, касающиеся влия­ния фактора А отдельно от фактора В (как бы при "усредненных" его значениях), гипотезы о влиянии фактора В отдельно от фактора А и гипотезы о влиянии взаимодействия градаций факторов А и В.

1 комплект гипотез

H0: Различия в объеме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора А, являются не более выраженными, чем случайные раз­личия между показателями.

H1: Различия в объеме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора А, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.

2 комплект гипотез

H0: Различия в объеме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются не более выраженными, чем случайные раз­личия между показателями.

H1: Различия в объеме воспроизведения слов, обусловленные действием фактора В, являются более выраженными, чем случайные различия между показателями.

3 комплект гипотез

H0: Влияние фактора А на объем воспроизведения слов одинаково при разных градациях фактора В, и наоборот.

H1: Влияние фактора А на объем воспроизведения слов различно при разных градациях фактора В, и наоборот.

Используя экспериментальные значения, представленные в Табл. 8.1, установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчета критериев F.

Таблица 8.3

Величины, необходимые для расчета критериев F в двухфакторном дис­персионном анализе для несвязанных выборок

Напомним, что при подсчете ∑ x i2 все индивидуальные значения сначала возводятся в квадрат, а потом суммируются, а при подсчете (∑ x i)2 все индивидуальные значения сначала суммируются, а затем их общая сумма возводится в квадрат.

Последовательность расчетов представлена в Табл. 8.4.

Таблица 8.4

Последовательность операций в двухфакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок

Вывод: Но принимается в комплектах гипотез 1 и 2. Различия в объеме воспроизведения слов, обусловленные в отдель­ности факторами А и В, не являются более выраженными, чем слу­чайные различия между показателями. H0 отвергается для взаимо­действия факторов (3 комплект). Принимается H1. Влияние фактора А на объем воспроизведения слов различно при разных градациях фактора В, и наоборот (р≤0,01).

Итак, оказывается, что факторы длины слов и скорости их предъявления в отдельности не оказывают значимого действия на объем воспроизведения. Значимым оказывается именно взаимодействие фак­торов: короткие слова лучше запоминаются при быстрой скорости предъявления, а длинные - при медленной скорости предъявления (см. Рис. 8.2). Таким образом, предположение, высказанное авторами, на­шло статистически значимое подтверждение (р≤0,001).

Рис. 8.2. Кривые изменения объема воспроизведения при повышении скорости предъ­явления коротких (сплошная линия) и длинных слов (пунктирная линия)

Ограничения двухфакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок

1. У каждого фактора должно быть не менее двух градаций.

2. В каждой ячейке комплекса должно быть не менее двух наблюдае­мых значений для выявления взаимодействия градаций.

3. Количества значений во всех ячейках комплекса должны быть равны для обеспечения равенства дисперсий в ячейках комплекса и для ис­пользования приведенного выше алгоритма расчетов; для неравно­мерных комплексов можно использовать алгоритмы (1970).

4. Комплекс должен представлять собой симметричную систему: каж­дой градации фактора А должно соответствовать одинаковое количе­ство градаций фактора В.

5. Результативный признак должен быть нормально распределен в ис­следуемой выборке, в противном случае значимые различия будет выявить гораздо труднее и применение метода будет не вполне кор­ректным.

6. Факторы должны быть независимыми. В рассмотренном примере скорость предъявления слов и их длина - внешне независимые фак­торы. В других случаях независимость факторов может быть под­тверждена отсутствием корреляционной связи между переменными, выступающими в качестве факторов.

8.3. Двухфакторный дисперсионный анализ для связанных выборок

Назначение метода

Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа приме­няется в тех случаях, когда исследуется действие двух факторов на од-ну и ту же выборку испытуемых.

Описание метода

Допустим, мы измерили одни и те же показатели у одних и тех же испытуемых несколько раз - в разное время, в разных условиях, с помощью параллельных форм методики и т. п., и нам необходимо про­вести множественное сравнение показателей, изменяющихся при пере­ходе от условия к условию. Критерий L Пейджа для анализа тенденций изменения признака и критерий χ2r Фридмана неприменимы, так как необходимо определить тенденцию изменения признака под влиянием двух факторов одновременно. Это позволяет сделать только дисперси­онный анализ.

Фактически в данной модели дисперсионного двухфакторного анализа проверяются 4 гипотезы: о влиянии фактора А, о влиянии фак­тора В, о влиянии взаимодействия факторов А и В и о влиянии факто­ра индивидуальных различий.

В данном варианте дисперсионного анализа нам потребуются две рабочие таблицы, которые позволят рассчитывать сумму по разным комбинациям ячеек комплекса. Рассмотрим это на примере, являющемся продолжением примера из п. 3.3.

Пример

В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет) измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре. В первый день эксперимента у них, наряду с другими показателями, измерялась мышечная сила каждой из рук. На второй день эксперимента им предлагалось выдерживать на динамометре мышечное усилие, равное '/2 максимальной мышечной силы данной руки. На третий день эксперимента испытуемым предлагалось проделать то же самое в парном соревновании на глазах у всей группы. Пары соревную­щихся были подобраны таким образом, чтобы сила обеих рук у них примерно совпадала. Результаты экспериментов представлены в Табл. 8.5. Можно ли считать, что фактор соревнования в группе каким-то обра­зом влияет на продолжительность удержания усилия? Подтверждается ли предположение о том, что правая рука более "социальна"?

Таблица 8.5

Длительность удержания усилия (сек/10) на динамометре правой и левой руками в разных условиях измерения (n=4)

Код имени испытуемого	Наедине с экспериментатором (A1)	В группе сокурсников (A2)
Правая рука	Левая рука	Правая рука	Левая рука
1 Л-в 2 С-с 3 С-в 4 К-в	11	10	15	10
13	11	14	10
12	8	8	5
9	10	7	8

Заметим, что единицы измерения в Табл. 8.5 - это секунды, но в каждом случае количество секунд уменьшено в 10 раз. Это законный способ преобразования индивидуальных значений, направленный на об­легчение расчетов. Для того, чтобы не оперировать трехзначными чис­лами, мы можем разделить их на какую-либо константную величину или уменьшить их на какую-либо константную величину (подробнее см п. 7.2).

Преобразуем таблицу индивидуальных значений в две рабочие таблицы двухфакторного дисперсионного комплекса для связанных вы­борок (Табл. 8.6 и 8.7). Мы видим, что здесь приведены суммы ин­дивидуальных значений отдельно по градациям фактора А (вне группы - в группе) и по градациям фактора В (правая рука - левая рука), по сочетаниям градаций А1В1, А1В2, А2В1, А2В2, а также суммы всех ин­дивидуальных значений каждого испытуемого и общие суммы.

Таблица 8.6 Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния фактора А (вне группы - в группе) и фактора В (правая - левая рука) на дли­тельность удержания физического волевого усилия (сек/10) - вариант I

Код имени испытуемого	A1 - вне группы	А2 - в группе	Индивидуальные суммы всех 4-х значений
B1	B2	Индивидуальные суммы по A1 (В1+В2)	B1	B2	Индивидуальные суммы по А2 (В1+В2)
1. Л-в 2. С-с 3. С-в 4. К-в	11 13 12 9	10 11 8 10	21 24 20 19	15 14 8 7	10 10 5 8	25 24 13 15	46 48 33 34
Суммы по ячейкам	45	39		44	33
	Суммы по града­- циям At и А?	84		77
Общая сумма											161

Таблица 8.7