Дисперсионный анализ (стр. 4 )

Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния факторов А и В на длительность физического волевого усилия (сек/10) - вариант II

Код имени испытуемого	B1 – правая рука	B2 – левая рука	Индивидуальные суммы всех 4-х значений
A1	A2	Индивидуальные суммы по B1 (A1+A2)	A1	A2	Индивидуальные суммы по B2 (A1+A2)
1. Л-в 2. С-с 3. С-в 4. К-в	11 13 12 9	15 14 8 7	26 27 20 16	10 11 8 10	10 10 5 8	20 21 13 18	46 48 33 34
Суммы по ячейкам	45	44		39	33
	Суммы по града­- циям At и А?	89		72
Общая сумма											161

Мы видим, что в Табл. 8.7 фактически только две ячейки ком­плекса поменялись местами: A1B2 и A2B1. Это позволяет нам с боль­шей легкостью подсчитать суммы по градациям B1 и В2. Если бы 'мы пользовались только Табл. 8.6, то нам пришлось бы подсчитывать их "через столбец" и, кроме того, трудно было бы их куда-то подходящим образом записать. В дальнейшем при расчетах мы всякий раз будем указывать, к какой таблице лучше обратиться для извлечения нужных сумм, первой (I) или второй (II).

Установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчёта критериев F.

Таблица 8.8

Величины, необходимые для расчета критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок

Теперь при расчетах будем лишь подставлять уже подсчитанные значения тех или иных величин. В случае, если какой-то из шагов в алгоритме расчетов будет не вполне ясен, можно вернуться к Табл. 8.8 и восстановить процедуры расчетов, или к Табл. 8.6 и Табл. 8.7, для того, чтобы вспомнить, почему мы подставляем в формулу ту или иную конкретную величину.

_____________

На самом деле в эксперименте участвовало 20 человек. В дисперсионный ком­плекс случайным образом отобраны 4 из них в целях упрощения расчетов. Резуль­таты дисперсионного анализа по такой "усеченной" выборке совпадают с данными обработки всей выборки с помощью критерия χ2r.

Таблица 8.9

Последовательность операций в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок

Мы видим, что влияние факторов А и В, как каждого в отдель­ности, так и в их взаимодействии, незначимо. В то же время фактор индивидуальных различий между испытуемыми (Fи) оказался значимым (р<0,05). Мы видим из формы приведенного алгоритма, что этот ин­дивидуальный источник вариативности с самого начала учитывается практически как третий фактор вариативности признака. Критерий F для факторов А и В вычисляется как отношение вариативности между града­циями факторов к вариативности между испытуемыми в этих градациях.

На Рис. 8.3 индивидуальные изменения величин длительности физического волевого усилия представлены графически.

Рис. 8.3. Индивидуальные изменения длительности физического волевого усилия по четырем испытуемым

Как видно из Рис. 8.3, у одного испытуемого выше показатели по левой руке, у трех других - по правой. При измерении вне группы индивидуальные кривые ближе друг к другу, при измерениях в группе они расходятся. Можно было бы говорить об увеличении разброса инди­видуальных значений при измерении длительности физического волевого усилия в группе, в атмосфере соревнования. Однако, несмотря на название, дисперсионный анализ выявляет влияние фактора не на рассеивание инди­видуальных значений, а на среднюю их величину. Влияние же фактора на рассеивание признака можно уловить с помощью других критериев, в том числе непараметрических (, 1972, с.341).

И все же представим полученный результат в принятой форме изменения средних значений по градациям факторов (Рис. 8.4).

Рис. 8.4. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от индивидуальных замеров к групповым (правая рука - сплошная линия, левая рука - пунктирная линия)

Если исследователя интересует в большей степени второй вопрос данной задачи, связанный с проверкой предположения о том, что правая рука более "социальна", то он может представить данные в иной груп­пировке (Рис. 8.5).

Рис. 8.5. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от правой руки к левой (сплошная линия - измерения вне группы, пунктирная линия - измерения в группе)

Мы видим, что во втором, групповом, замере снижаются показа­тели и по правой, и по левой руке, но все же правая рука "держится" почти на уровне первого замера, в то время как левая рука в большей степени "сдается" под влиянием усталости в группе, чем вне группы. Можно было бы подтвердить предположение о большей "социальности правой руки, большая стабильность которой, возможно, отражает стремление поддержать "лицо" в ситуации соревнования в группе, но выявленные тенденции, как мы убедились, незначимы.

Ограничения двухфакторного дисперсионного анализа для связанных выборок

Все ограничения такие же, как и в модели для несвязанных вы­борок, с одним уточнением. Все испытуемые должны пройти все сочета­ния градаций двух факторов. Этим достигается равномерность комплекса.

Итак, мы убедились, что двухфакторный дисперсионный анализ действительно позволяет нам оценить влияние двух факторов в их взаимодействии. Мы показали, что влияние одного фактора может ока­заться различным при разных уровнях другого фактора, иногда различ­ным вплоть до противоположности. Так, в примере о влиянии скорости предъявления слов и их длины на объем воспроизведения мы убедились в том, что фактор скорости при предъявлении коротких слов повышает результаты, а при предъявлении длинных слов - снижает результаты испытуемых.

Дисперсионный анализ позволяет также доказать, что влияние индивидуальных различий может оказаться сильнее экспериментальных или иных факторов, как это было продемонстрировано в последнем из примеров.

Более сложные схемы дисперсионного анализа позволяют ана­лизировать совокупное действие трех, четырех и более факторов и по­лучить еще более глубокие результаты.

ГЛАВА 9 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С КОММЕНТАРИЯМИ

9.1. Рекомендации по решению задач

Лучше сначала попробовать решить задачу самостоятельно, вы­брав критерий по алгоритму, приведенному в соответствующей главе.

Проверить правильность своего решения можно по ответам в на­стоящей главе.

Независимо от того, совпадает ли ваш ответ с приведенным в на­стоящей главе или нет, рекомендуется внимательно прочитать предла­гаемое решение задачи. Дело в том, что в процессе анализа реальных исследовательских задач становится возможным проникнуть в те тонко­сти и дополнительные варианты использования статистических методов, которые в общем описании остаются "за кадром" рассмотрения.

Кроме того, способы интерпретации задач и тем более, интерпре­тации результатов также полнее раскрываются в описании решений, чем в формализованных изложениях процедур обработки.

9.2. Решения задач Главы 2

Решение задачи 1

Сопоставляются 2 выборки испытуемых. Следовательно, мы вы­бираем один из двух критериев: Q Роэенбаума или U Манна-Уитни.

Поскольку n1, n2<11, критерий Q не может быть использован (см. Алгоритм 7). Будем использовать критерий U Манна-Уитни. Ес­ли же он окажется бессильным выявить достоверные различия между группами, обратимся к угловому преобразованию фишера - φ*.

Гипотезы лучше сформулировать после подсчета ранговых сумм. Предполагается, что в группе протагонистов показатели сокращения дистанции с оппонентами должны быть выше, чем в группе суфлеров, которые действовали лишь рационально, не вживаясь в роль оппонента. Однако лучше вначале определить, в какой из групп показатели не тео­ретически, а реально выше.

Будем действовать по алгоритму. Проранжируем все значения так, как если бы они принадлежали к одной общей выборке, а затем построим таблицу, в которой будут представлены индивидуальные зна­чения и их ранги отдельно по двум группам (Табл. 9.1).

Таблица 9.1

Подсчет ранговых сумм по показателю сокращения психологической дистанции в группах протагонистов и суфлеров

Группа 1: протагонисты (n1=7)	Группа 2: суфлеры (n2=7)
Показатель	Ранг	Показатель	Ранг
75	14
50	13
30	11	30	11
30 -	11
25	8,5	25	8,5
20	6,5	20	6,5
		15	5
10	3	10	3
		10	3
		5	1
Суммы	240	67	115	38
Средние	34,29		16,43

Мы видим, что теоретические ожидания подтверждаются: в груп­пе суфлеров ранговая сумма меньше.

Проверим, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной величиной:

∑ Ri = 67+38=105

Суммы совпадают. Мы можем перейти к формулированию гипотез.

H0: Группа протагонистов (реальных исполнителей роли петербуржцев) не превосходит группы суфлеров по показателю сокращения психо­логической дистанции с оппонентами.

H1: Группа протагонистов превосходит группу суфлеров по показатели сокращения психологической дистанции с оппонентами.

Определяем эмпирическое значение U:

Поскольку в данном случае п1=п2, нам нет необходимости на всякий случай подсчитывать значение U для второй ранговой суммы. Определим I критические значение U по Табл. II Приложения 1 для п1=7, п2=7:

Критерий U - один из трех критериев, в которых меньшее значение свидетельствует о больших различиях. Для того, чтобы понять, достовер­ный ли мы получили результат, целесообразно начертить "ось значимости".

Это значение уже не попадает в "зону незначимости", но еще не попадает в "зону значимости". Но мы помним, что нас может удовлетво­рить и результат, соответствующий низшему порогу значимости: р≤0,05.

Uэмп<Uкр (р<0,05)

Ответ: H0 отклоняется. Группа протагонистов превосходит группу суфлеров по показателю сокращения психологической дистанции с оппонентами (р<0,05).

Эти данные могли бы использоваться как еще одно подтвержде­ние идеи Дж. Л. Морено о том, что принятие на себя роли оппонента способствует сближению с ним, если бы мы были уверены, что, во-первых, на роль протагонистов не вызвались участники изначально бо­лее расположенные к сближению с оппонентами, и что, во-вторых, ис­пытуемые имели в виду одну и ту же дистанцию, когда определяли у себя процент ее сокращения. Впрочем, второе из этих ограничений рас­пространяется и на большинство других шкал самооценки: мы не можем быть полностью уверены, что испытуемые оценивают у себя одно и то же качество или признак, как бы тщательно мы его ни определяли.

Данная задача является также примером сопоставления сдвигов в двух независимых выборках (см. параграф 3.1, Табл. 3.1).

Решение задачи 2

Поскольку в обеих выборках n1, n2>11 и диапазоны разброса зна­чений в двух выборках не совпадают между собой, мы можем восполь­зоваться самым простым критерием для сопоставления двух выборок - критерием Q Розенбаума. Объемы выборок различаются менее чем на 10 человек, так что ограничение о примерном равенстве выборок также не препятствует нам.

Данные в Табл. 2.10 уже упорядочены по возрастанию признака. Первым, более высоким, рядом является ряд значений в мужской выборке.

Средняя величина тоже выше в выборке мужчин.

Сформулируем гипотезы.

H0: При обращении в службу знакомств мужчинам приходится преодоле­вать не более интенсивное внутреннее сопротивление, чем женщинам.

H1: При обращении в службу знакомств мужчинам приходится преодоле­вать более интенсивное внутреннее сопротивление, чем женщинам.

Сопоставим ряды значений для определения S1 и S2.

В Табл. 9.2 отмечены два интересующих нас значения: максималь­ное значение 2-го ряда (max 2) и минимальное значение 1-го ряда (min 1).

Определим S1, как количество значений 1-го ряда, которые пре­вышают максимальное значение 2-го ряда: S1=5.

Определяем S2, как количество значений 2-го ряда, которые меньше минимального значения 1-го ряда: S2=5.

Вычисляем эмпирическое значение Q как суммы S1 и S2:

Q=S1+S2=5+5=10

По Табл. I Приложения 1 определяем критические значения Q при n1=17, n2=23:

Таблица 9.2 Расчет критерия Q при сопоставлении мужской (n1=17) и женской (n2=23) выборок по показателю интенсивности внутреннего сопротивления при обращении в службу знакомств

Группа 1 – мужчины (n1=17)	Группа 2 - женщины (n2=23)
81
80
S1 73
72
72
	max 2 70
69
69
	66
	66
65
65
	63
	63
62	61
60	60
54	54
54
	47
43	43
	41
	40
	39
	38
	38
	35
30	30
	27
26
26 min 1
	25
	23
	17 S2
	10
	9
Суммы 1001	965
Средние 58,89	41,96