Характеристика ЕГЭ-2013 (стр. 21 )

С1. Решите уравнение: В ответ запишите решения, входящие в промежуток .

С1. Решите уравнение: В ответ запишите решения, входящие в промежуток .

С1. Решите уравнение: В ответ запишите решения, входящие в промежуток .

С1. Решите уравнение:

С1. Решите уравнение:

С1. Решите уравнение:

С1. Решите уравнение:

С1. Решите уравнение:

Задание С 2.

16. (Повышенный, С2)	Уметь выполнять действия с геометрическими конструкциями, координатами и векторами
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
2	40 мин.	25 мин.

Для успешного решения задач типа С2 необходимо:

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей) Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы Определять координаты точки; проводить операции над векторами,
вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

Пример 1.

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Решение. Требуется найти угол меж­ду плоскостями ABC и (рис. 8). Проведем АН — высоту треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах наклонная перпенди-кулярна поэтому угол - линейный угол ис­комого двугранного угла. Найдем тангенс угла .

Высота в равностороннем треугольнике со стороной 2 равна . То есть . По условию значит, по теореме Пифагора

Поэтому

Ответ:

Пример 2.

С2. В правильной шестиугольной призме , рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки А до прямой .

Решение.

В квадрате диагональ В прямоугольном треугольнике где находим Из прямоугольного треугольника имеем В треугольнике используя теорему косинусов, получаем где Далее находим и из треугольника высоту

Ответ:

Пример 3.

С2. В единичном кубе найти расстояние от точки до прямой где и середины соответственно рёбер и

Решение.

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А. Найдём координаты точек Тогда

Из треугольника используя формулу находим Далее получаем

Пусть где Тогда

Ответ:

Пример 4.

Ответ:

Пример 5.

Ответ:

С2. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 4, найдите косинус угла между прямыми SB и AD.

С2. Основанием прямой треугольной призмы является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=10, АС=16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р – середина . Найдите тангенс угла между плоскостями и

С2. В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны 2, найти косинус угла между прямыми и .

С2. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины рёбер АВ, АС и АD, если

С2. В пирамиде известны длины рёбер: AB=AC=DB=DC=10, BC=DA=12.. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

С2. В правильном тетраэдре точка E – середина ребра . Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью АВС.

С2. В кубе точки E, F – середины рёбер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

С2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью, проходящей через середину ребра и прямую ВС, если АВ=4,

С2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С равен , угол А равен , АС= Диагональ боковой грани составляет угол с плоскостью Найдите высоту призмы.

С2. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, точка D – середина ребра . Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью .

С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ=, SC=25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и ВС.

С2. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник , у которого угол равен , угол равен , Диагональ боковой грани составляет угол с плоскостью . Найдите высоту призмы.

С2. . В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник , у которого угол равен , угол равен , Диагональ боковой грани составляет угол с плоскостью . Найдите высоту призмы.

С2. В правильной шестиугольной призме , все рёбра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

С2. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны рёбра: , Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер и .

С2. В правильной четырёхугольной пирамиде , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

С2. Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины рёбер и Найдите величину этого угла. С2 В кубе точки , - середины рёбер соответственно и Найдите тангенс угла между плоскостями и .

С2. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой , если середина ребра

С2. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью .

С2. Основание прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник , в котором Найдите тангенс угла между плоскостью грани призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно .

С2. Основание прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник , в котором Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно .

С2. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите угол между плоскостями и .

С2. Основание прямой треугольной призмы является равнобедренный треугольник , в котором Боковое ребро призмы равно 24. Точка середина ребра . Найдите тангенс угла между плоскостями и .

С2. Основание прямой треугольной призмы является треугольник , в котором а один из углов равен . На ребре отмечена точка Р так, что . Найдите тангенс угла между плоскостями и , если расстояние между прямыми и равно .

17. (Высокий)	Уметь решать уравнения и неравенства
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
3	-	30 мин.

Пример 1. . Решите неравенство

Решение. Найдем область определе­ния неравенства:

На области определения неравенства воспользуемся формулами

и

Получаем:

откуда

Из полученных решений только первое лежит в области определения неравен­ства; оно является ответом к задаче.

Ответ: -1.

Пример 2.

Ответ:

Пример 3.

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Пример 4.

Ответ:

Пример 5.

Ответ:

Пример 6.

Ответ: (9,3;10).

С3.

18. (Высокий)	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
3	-	30 мин.

Пример 1. . На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D что AD = 2 и

BD = 1. Найдите радиус окружности, про­ходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.

Решение. I способ. Пусть К - точка касания окружности с прямой ВС. Рас­смотрим два случая: точка К лежит на луче ВС, и точка К лежит на его про­должении.

I случай (рис. 9). По свойству секу­щих , откуда . Используя теоремы синусов и косинусов, из треугольника BDK получаем, что DK=1 ; из треугольника BAK, что . Отсюда ясно, что треугольник ADK – прямоугольный, следовательно, AD – диаметр окружности, а её радиус равен 1.

II случай (рис. 10). По свойству секу­щих , откуда . Используя теоремы синусов и косинусов, из треугольника BDK получаем, что

Пусть точка О - центр заданной окруж­ности, тогда ОК и OD - ее радиусы. Тре­угольник KOD - равнобедренный; пусть точка N - середина его основания KD.

Тогда

Ответ: 1 или 7.

II способ. Решим задачу методом коор­динат.

Поместим угол ABC в декартову си­стему координат так, что вершина угла совпадает с началом координат, сторона ВА совпадает с лучом Ох, а сторона ВС находится в нижней полуплоскости.

В этой системе координат точка D имеет координаты (1; 0), точка А - (3; 0). Точка О - центр окружности - лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, значит, ее абсцисса равна 2, обозна­чим ее ординату z. Радиус окружности равен

Прямая ВС задается уравнением Прямые, перпендикулярные к прямой ВС, имеют вид Найдем среди них ту, которая проходит через точку О:

и значит,

Пусть Q - точка пересечения найден­ной прямой с прямой ВС. Ее координаты являются решением системы: