Характеристика ЕГЭ-2013 (стр. 22 )

Для того чтобы окружность касалась прямой ВС, расстояние между точками

и должно равняться радиусу окружности:

Отсюда радиус равен 1 или 7.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

19. (Высокий)	Уметь решать уравнения и неравенства
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
4	-	30 мин.

Пример 1. Найдите все значения а, при каж­дом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение. I способ. Запишем уравне­ние в виде

Функция непрерывна и:

а) возрастает на луче , так как при для любого раскрытия модулей имеем:

где

б) убывает на луче , так как при для любого раскрытия модулей имеем:

f(x) = -9х + 9-4х±Зх±х±а = = kx + m, где .

Следовательно, наименьшее значение функция принимает при х = 1, и урав­нение будет иметь корень тогда и только тогда, когда

Решим это неравенство

II способ. Запишем уравнение в виде

Пусть и тогда

Угловые коэффициенты прямых, со­держащих отрезки графика функции у = g(x), меньше по модулю, чем угловые коэффициенты прямых, содержащих от­резки графика функции у = f{x) (рис. 12). Следовательно, для того чтобы данное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы выпол­нялось условие

Ответ:

Пример 2.

Ответ: система имеет решения при

Пример 3.

Пример 4.

Ответ: при решений нет,

при

Пример 5.

Во втором случае радиус окружности заключён между числами 3 и 9.

Ответ:

Ответ: 12 и 8; 23 и 9.

Пример 6.

Ответ:

20. (Высокий)	Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
4	-	30 мин.

Пример 1. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (т. е. чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) а и b, что если к десятичной записи числа а приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного

Решение. I способ. Пусть десятичная запись числа b состоит из п цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

Поскольку числа а и b - натуральные, то тоже натуральное число, причем

По условию задачи при делении несо­кратимой дроби на а получается конеч­ная деся-тичная дробь, значит, где р и q — целые неотрицательные чис­ла, одновременно не равные нулю. Рас­смотрим три случая.

I случай. Тогда будет не меньше b. Противоречие.

II случай. Тогда значит, А — делитель числа . По­скольку а и b взаимно простые, то

С другой стороны,

поэтому В — делитель числа

Поскольку а и b взаимно простые, то В=1.

Получаем уравнение По­скольку для любого натурального, числа п справедливо это уравнение не имеет решений.

III случай, Аналогично второму случаю: А = 1, В = 1. Получаем уравнение или Решением этого уравнения является п = 1, откуда a = 2, b = 5. Других решений уравнение иметь не может, поскольку его левая и правая части разномонотонны.

Ответ: а= 2, b = 5.

II способ. Пусть десятичная запись чис­ла b состоит из п цифр. Тогда по усло­вию задачи можно записать равенство

Из условия следует, что b > а. Так как числа а и b взаимно простые, чис­ла b — а2 и аb тоже взаимно простые. (Действительно, пусть р - общий простой делитель этих чисел. Тогда если р дели­тель а, то р будет делителем b. Если же р - делитель b, то р будет делителем а2, значит, р — делитель а. Это противо­речит условию задачи.)

Поэтому b - а2 = 1 и следовательно Последнее равенство при вза­имно простых а и b возможно только в двух случаях:

а) , но в этом случае не выполняется равенство b - а2 = 1;

б) В этом случае равенство b - а2 =1 принимает вид

Функция возрастает, а функция убывает. Поэтому уравнение f(n) = g(n) имеет не более одного корня. Его единственным решени­ем является п = 1, откуда а = 2, b = 5.

Пример 2.

Ответ: 1,2,6.

Пример 3.

Ответ: 12 и 8; 23 и 9.

Пример 4.

Таким образом, искомое b – простой делитель числа 80, то есть 2 или 5. Осталось проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать . Если нечётное, то числитель и знаменатель данной дроби чётные числа, поэтому дробь сократима на 2. Если кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5.

Ответ:2,5.

Пример 5.

Ответ: 3.

Вариант 2010-3.

Задание B1. Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 рублей после понижения цены на 20%?

Задание B2. На диаграмме показано количество запросов со словом СНЕГ, сделанных на поисковом сайте ***** во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество запросов за данный месяц. Определите по диаграмме, сколько было таких месяцев, когда было сделано более запросов со словом СНЕГ.

Задание B3. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Задание B4. В треугольнике ABC угол C равен , CH  — высота, , . Найдите BH.

Задание B5. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
1. Автобусом	От дома до автобусной станции — 15 мин	Автобус в пути: 1 ч 30 мин.	От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин.
2. Электричка	От дома до станции железной дороги — 20 мин.	Электричка в пути: 1 ч 20 мин.	От станции до дачи пешком 5 мин.
3. Маршрутное такси	От дома до остановки маршрутного такси — 10 мин.	Маршрутное такси в дороге 1 ч 15 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком 30 минут

Задание B6

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке.

Задание B7. Найдите значение выражения   при .

Задание B8. На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите .

Задание B9. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Задание B10. Груз маccой 0,2 кг колеблетcя на пружине cо cкороcтью, меняющейcя по закону , где t — время в cекундах. Кинетичеcкая энергия груза вычиcляетcя по формуле , где m — маccа груза (в кг), v — cкороcть груза (в м/c). Определите, какую долю времени из первой cекунды поcле начала движения кинетичеcкая энергия груза будет не менее  Дж. Ответ выразите деcятичной дробью, еcли нужно, округлите до cотых.

Задание B11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Задание B12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 3 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

С1.

С2.

В прямоугольном параллелепипеде

С3.

Решить неравенство

С4.

Найдите длину отрезка общей касательной к

С5.

Найдите все такие значения параметра , при