Сборник задач по курсу, микроэкономика (стр. 3 )

таблица 3.5

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	общая полезность
MUx	11	10	9	8	7	6	5	4	60
MUy	19	17	15	13	12	10	8	6	100

Определите:

а) как индивидуум использует свой доход в надежде максимизировать валовую полезность;

б) какое суммарное количество полезности он получит в условиях равновесия, если:

1) доход потребителя 8$, а цена товара X и Y по 1$;

2) доход равен 14$, px=1$ и py=1$;

3) доход потребителя 16$, цена товара X равна 1$, а товара Y равна 3$.

Задача 3.4. В табл. 3.6 даны значения предельной полезности товара X и Y. Предположим, что цена товара X и Y равна по 2$, а доход индивидуума равен 20$, весь доход он тратит на товары X и Y.

Определите:

а) условие равновесия потребителя;

б) если “товар” Y - это его сбережения, то как это повлияет на условия равновесия?

в) предположим, что MU четвертой единицы товара Y равна 7, а не 8. Как это повлияет на равновесие потребителя?

г) предположим, что MUx постоянно увеличивается, по мере того, как индивидуум потребляет все больше товара X (MU товара Y остается неизменной, как указано в строке (3) табл. (3.6)). Как потребитель изменит свои расходы, чтобы максимизировать свою валовую полезность?

таблица 3.6

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
MUx	16	14	11	10	9	8	7	6	5	3	1
MUy	15	13	12	8	6	5	4	3	2	1	0

Задача 3.5. Даны точки четырех кривых безразличия потребителя (табл. 3.7).

а) Нарисуйте кривые безразличия I, II, III и IV;

б) Определите MRSxy между всеми последовательными точками на всех четырех кривых безразличия;

в) Какое различие между MRSxy и MUx?

таблица 3.7

I	II	III	IV
Qx	Qy	Qx	Qy	Qx	Qy	Qx	Qy
2	13	3	12	5	12	7	12
3	6	4	8	5.5	9	8	9
4	4.5	5	6.3	6	8.3	9	7
5	3.5	6	5	7	7	10	63
6	3	7	4.4	8	6	11	5.7
7	2.7	8	4	9	5.4	12	5.3

Задача 3.6. Предположим, что цена товара Y равна 1$, а цена товара X равна 2$. Потребитель имеет доход в 16$, который тратит на покупку товаров X и Y.

а) Постройте график бюджетного ограничения данного потребителя.

б) Определите угол наклона линии бюджетного ограничения.

в) Какие факторы могут изменить угол наклона или сдвинуть линию бюджетного ограничения.

Задача 3.7. Используя бюджетное ограничение потребителя из задачи 3.6 и кривые безразличия из задачи 3.5:

а) определить графически точку равновесия потребителя;

б) объяснить, почему это равновесная точка;

в) обьяснить, как изменится точка равновесия потребителя, если при доходе в 16$ цена товара X станет 1$, а товара Y - 2$?

Изменится ли уровень валовой полезности у данного потребителя?

Задача 3.8. Потребитель стремится максимизировать свою функцию полезности U=X0.25Y0.4. Цена товара X равна 2, цена товара Y равна 8. При этом потребитель не может потратить на покупку этих товаров больше 104 денежных единиц.

а) Сколько единиц товара X и Y купит потребитель?

б) Чему равна предельная полезность денег?

Задача 3.9. Максимизируйте функцию полезности U=Х0.5Y0.3 при бюджетном ограничении B=140 и ценах Px=10, Py=3. Определите:

а) количество товара X и Y;

б) на сколько увеличится полезность данного набора, если бюджетное ограничение возрастает на 1 денежную единицу?

Задача 3.10. Максимизируйте функцию полезности потребителя U=X0.6Y0.25, если Px=8, Py=5 и финансовые возможности потребителя равны 680 денежных единиц.

Задача 3.11. Максимизируйте функцию полезности потребителя U=2xy при бюджетных ограничениях: B=90, Px=3, Py=4. Определите:

а) количество товара X и Y;

б) предельную полезность денег.

Задача 3.12. Потребитель желает максимизировать функцию полезности U=X0.8Y0.2 при цене товара X=5, цене товара Y=3 и финансовых возможностях потребителя В=75. Определите количество купленных товаров X и Y.

Задача 3.13. Используя функцию полезности примера 3, определить, какое количество благ q1 и q2 купит потребитель, стремясь максимизировать свою полезность, если финансовые возможности потребителя возросли в 2 раза, цена блага q1 повысилась в 10 раз, а блага q2 понизилась в 2 раза. Рассчитайте при этом предельную полезность денег и валовую полезность набора.

Задача 3.14. Определите количество товаров q1 и q2, которые позволят максимизировать функцию полезности U = Q1 Q2 + Q + 2Q2 при p1 = 2, p2 =5 B=51. Рассчитайте предельную полезность денег.

Задача 3.15. Определите предельную полезность денег и количество товаров X и Y, которые максимизируют полезность U=xy+3x+y при px=8, py=12 и B=212.

Задача 3.16. Каким будет оптимальный набор потребителя, если его функции полезности U=X2/5Y3/5, а бюджетное ограничение потребителя 3x+4y=60.

Задача 3.17. Потребитель максимизирует функцию полезности U=3X1/2Y1/2, выбирая еженедельный набор благ X и Y. Месячный доход потребителя равен 100. Цена благ px=1, py=5. Определить оптимальный набор благ.

Задача 3.18. Каким будет оптимальный набор потребителя, если его функция полезности равна U=X1/3Y2/3, а бюджетное ограничение 2x+3y=18.

Задача 3.19. Предельная полезность товара X равна 200, цена товара X равна 100 денежным единицам. Предельная полезность товара Y равна 50. Определите цену товара Y в состоянии равновесия потребителя.

Задача 3.20. Предельная полезность товара А равна 20, а цена товара А=40. Цена товара Б равна 100. Определите предельную полезность товара Б, если потребитель находится в состоянии равновесия.

Задача 3.21. Предельная полезность масла для потребителя зависит от его количества MUm =qm, где qm - количество масла в пачках. Предельная полезность хлеба MUx=20 - 3qx, где qx - количество хлеба в батонах. Цена пачки масла равна 5 франкам, цена батона хлеба - 1 франку. При недельном доходе в 20 франков какое количество масла и хлеба потребляет покупатель?

Задача 3.22. Потребитель, зайдя в кафе, купил чашку кофе за 2 денежные единицы и три бутерброда по 6 денежных единиц каждый. Предельная полезность кофе (MUk) равна 10, а предельная полезность бутерброда - 20. Рациональный ли набор благ купил потребитель?

Задача 3.23. Известна функция спроса на товар P=45-0.5Q. Определите излишек потребителя CS, когда p0=32.5 и Q0=25.

Задача 3.24. Дана функция предложения P=(Q+3)2. Определите излишек производителя PS при p0=81 и Q0=6.

Задача 3.25. Известна функция спроса Pd=25-q2 и функция предложения Ps=2Q+1. Существует конкурентный рынок. Определить:

а) излишек потребителя CS;

б) излишек производителя PS.

Задача 3.26. Даны функция спроса и предложения конкурентного рынка Pd=113-Q2 и Ps=(Q+1)2. Определите излишек потребителя CS и излишек производителя PS.

Тема 4. Теория производства

Производственная функция Q = F(K, L) показывает, какое максимальное количество продукции может быть произведено при каждом заданном количестве ресурсов, когда используется наилучшая из возможных технологий производства.

Производственная функция Кобба - Дугласа Q = A× Ka × Lb × Mg,

где Q - количество выпущенной продукции;

K - количество использованного капитала;

L - количество использованного труда;

M - количество использованного сырья, материала;

A - уровень технологии ( производственный коэффициент );

a - эластичность производства по капиталу;

b - эластичность производства по труду;

g - эластичность производства по сырью.

a, b, g > 0,

если a + b + g = 1, то производственная функция характеризуется постоянным эффектом масштаба производства.

a + b + g < 1 - убывающий эффект,

a + b + g > 1 - возрастающий эффект.

Рис. 4.1 Рис. 4.2.

В краткосрочном периоде, когда какой - либо фактор производства является фиксированным, результаты производства продукции могут быть представлены через величины валовой продукции (ТР), средний продукт (АР) и предельный продукт (МР) переменного фактора производства.

Если K - const, количество капитала фиксированно, а труд - переменный фактор, тогда TPL = Q - количество продукции, выпущенное при данном количестве труда;

APL = TPL / L = Q / L - средняя производительность труда,

MPL = DTPL/DL = DQ / DL - производительность труда последнего нанятого рабочего. Взаимосвязь этих показателей представлена на рис. 4.1 и 4.2.

В долгосрочном периоде, когда фирма может изменить любой фактор производства, производственная функция характеризуется таким показателем, как предельная норма технологического замещения факторов производства (MRTSLK) (рис. 4.3).

Рис. 4.3

MRTSLK = - DK/DL

MRTSLK = MPL/MPK

Равновесие производителя возникает тогда, когда он максимизирует выпуск продукции при данных общих расходах на факторы производства:

MPL/MPK = PL/PK или MPL/ PL = MPK / PK.

Это значит, что производитель получает в равновесном состоянии такой же MP с последней денежной единицей, затраченной на труд, как и MP с последней денежной единицей, затраченной на капитал.(рис. 4.4)

Если цена одного из факторов производства изменится (упадет), то производитель теряет свое равновесное состояние. Чтобы восстановить равновесие, производителю необходимо заменить в производстве остальные факторы производства подешевевшим ресурсом.

Рис. 4.4

Степень замещения капитала трудом, исключительно зависящая от изменения в ценах взаимосвязанных факторов, называется эластичность технологического замещения и измеряется следующим образом:

.

Пример 1

Известна кривая валового продукта (ТР), зависимого от количества примененного капитала (К): ТР = 90 × К 2 - К 3.

Вывести зависимость между валовым, средним и предельным продуктом капитала и представить ее зависимость графически.

Решение.

Определим критические значения функции TPK:

TP = 180 K - 3 K2 = 0,

3 K (60 - K) = 0;

K1 = 0; K2 = 60 - критические значения.

Проверим значения через вторую производную:

ТР¢¢ = K;

TP¢¢ (0) = 180; 180 > 0 - минимум функции;

TP¢¢ (60) = = -180; -180 < 0 - максимум.

Находим точку перегиба функции:

ТР¢¢ = K=0 Þ K = 30

при K < 30, ТР¢¢>0

при К > 30,ТР¢¢<0

K=30 - точка перегиба.

Находим и максимизируем средний продукт по капиталу АРК :

АРК = ТР/ K = 90 K - K2,

APK¢ =K = 0 => K=45,

APK¢¢ = -2 <0 => максимум.

Находим и максимизируем предельный продукт по капиталу МРК:

МРК = ТР¢ = 180К - 3 K2,

MPK¢ = K = 0 => K = 30;

MPK¢¢ = -6 < 0 => максимум.

Пример 2

Определить объемы производства, при которых фирма, выпуская товары X и Y, сможет минимизировать свои издержки. Функция совокупных издержек фирмы: ТС = 8X2 - XY + 12Y2, Выпуск товар ограничен 42 единицами (X + Y =42).

Представим производственное ограничение как равное нулю и запишем функцию Лагранджа: C = 8X2 - XY + 12Y2 + J( 42 - X - Y )

Возьмем частные производные от новой функции

Сx = 16X - Y - l = 0;

Cy = - X +24Y - l = 0;

Cj = 42 - X - Y = 0;

16X - Y= l; 24Y - X = J => 16X - Y = 24Y - X =>17X = 25Y =>X = (25/17)×Y;

42 = X + Y => 42 = (25/17) ×Y + Y => Y = 17; X =25; l =383.

Фирма будет производить 25 единиц товара X и 17 единиц товара Y. Издержки фирмы при этом составят ТС=(8×25××17) +(12×17×17) =8043.

l=383 означает, что если фирма решит увеличить производственную квоту на одну единицу, то издержки производства возрастут на 383 денежные единицы.

Пример 3

Уравнение производственной функции, которая обеспечивает производство (Q) 2144 единиц, следующее: 16 K 0.25 L 0.75 = 2144.

Определить:

а) наклон изокванты, (MRTS);

б) предельную норму технологического замещения при K = 256 и L = 108

1 вариант решения :

Изокванта - это производственная функция от капитала и труда Q=F(K, L):

F(K, L) = 16 K 0.25 L 0= 0;