Конспект лекций по дисциплине «Устойчивость и управляемость транспортных воздушных судов» (специальность 13.01.09). Объем 16 лекций (стр. 6 )

С помощью этих выражений можно построить (рис.32.б) амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), при изменении ω от о до ∞ (строить зависимость при -∞<ω<+∞ нет необходимости, т. к. кривые симметричные относительно оси абсцисс).

АФЧХ также как передаточная функция W(p) и дифференциальное уравнение системы определяет ее динамические свойства, но обладает тем преимуществом, что может быть построена экспериментально.

5. Динамика продольного возмущенного движения ВС

В разделе 4 получены формулы (4,5), описывающие продольное возмущенное движение. Принимается β=γa=0, m(t)=const, изменение аэродинамических сил по высоте мало,

, , ;

пренебрегается изменением по высоте ρ(H), p(H), a(H), полагая момент тангажа сбалансированным в опорном движении . Для упрощений уравнений возмущенного движения целесообразно перейти от производных сил к производным перегрузок, учитывая что

nya=(P sin(α+φp)+Ya); nxa=(P cos(α+φp)-Xa);

при (γa=0, β=0): nya=nyk; nxa=nxk; M= ; .

Проделаем преобразования на примере первого уравнения и уравнения для описания опорного движения. Уравнение в отклонениях от опорного (возмущенного ) запишем в виде (принимая во внимание: )

Проделав аналогичные преобразования можно уравнения (4.5) представить в матричной форме.

, (5.1)

где

; ; ; ; ; (5.2)

a11 = g nxkV = nxkM M; a21 = (nykM M – nyk + cos θ); a12 = g(nxkθ – cos θ)=g(-nxkα – cos θ);

a22 = (nykθ + sin θ) = (-nykα + sin θ); a14 = = g nxkα; a24 = = nykα;

Dz= ; a31 = (2mz + 2mpz1 + mzM M + mpz1MM); a32 = Dz mzθ; a33 = Dz mzωz;

a34 = Dz ; a51 = sin θ; a52 = V cos θ; a61 = cos θ; a62 = - V sin θ; b11 = g ;

b21 = ; b31 = Dz ; b22 = nykδв; b32 = Dz mzδв.

В системе (5.1) параметры ΔH и ΔL не входят в правые части четырех первых уравнений и нe влияют на изменение соответствующих фазовых переменных, поэтому могут рассматриваться независимо от двух последних.

5.1. Собственное продольное возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

В опорном режиме полета управление u˚(t) = (P˚(t), δb˚(t)) задано и изменение Рассмотрим уравнения продольного собственного возмущенного движения (см. (5.1), без включения строк и столбцов, соответствующих ΔH и ΔL).

(5.3)

Характеристический многочлен

|A - λE| = |λE - A| = 0, (5.4)

или

.

Раскрывая определитель по последней строке, получаем:

λ4 + a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0, (5.5)

где: a3 = - a11 – a22 – a33; a2 = a11 a22 + a22 a33 + a11 a33 – a21 a12 + a34;

a1 = - a11 a34 – a22 a34 + a31 a14 + a32 a24;

a0 = a11 a22 a34 + a21 a32 a14 + a31 a12 a24 – a31 a14 a22 – a21 a12 a34 – a11 a32 a24.

Для асимптотической устойчивости в соответствии с условиями Рауса – Гурвица должно соблюдаться:

a0>0; a1>0; a2>0; a3>0; R = a1 a2 a3 – a12 – a0 a32>0.

Возмущенное движение в целом по всему вектору Δy = (ΔV, Δθ, Δωz, Δ, ΔH, ΔL) можно проанализировать по уравнениям для ΔH и ΔL, т. е. пусть = V Δθ; = ΔV. Интегрированием этих уравнений получаем:

ΔH(t) = V; (ΔH0≠0)

ΔL(t) =; (ΔL0≠0)

Откуда видно, что если ВС асимптотически устойчиво по Δθ(t) и ΔV(t), т. е. при t→∞ Δθ(t)→0, ΔV(t)→0, то при этих условиях ΔH(t)→ΔH0 и ΔL(t)→ΔL0 и движение не будет асимтотически устойчивым, но может быть просто устойчивым по Ляпунову при малых ΔH0 и ΔL0.

5.2 Выделение быстрой и медленной составляющих продольного возмущенного движения

Исследования решений уравнения (5.5) показывают, что для большинства ВС имеются два больших λ12 = ξ1±iη1 и два маленьких λ12 = ξ1±iη2. Причем одна пара корней |λ1,2|>>|λ3,4| и отличается в десятки раз. Движение с большими |λ1,2| будет быстро затухающим (чаще всего колебательным) и называется короткопериодическим, а с малыми |λ3,4| - длиннопериодическим или медленным. Быстро изменяются: Δα(t), Δωz(t), Δ(t). Медленно изменяются: ΔV(t), Δθ(t). При исследовании быстроизменяющихся параметров можно принять ΔV≈0, т. е. изменение скорости не успевает произойти V = V˚ = const, а при изучении ΔV(t), Δθ(t) можно считать, что быстрое изменение Δα(t), Δωz(t) и Δ(t) закончилось и принять α, ωz и равными балансировочным значениям:

α = αбал, ωz = 0, = αбал + θ = const. (β = γa = 0).

5.2.1. Собственное продольное короткопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения.

Рассмотрим часть уравнений (5.1) для Δθ, Δωz и Δ , полагая, что за время быстрого вращательного движения скорость не успевает измениться существенно, т. е. ΔV = 0

= a22 Δθ + a24 Δ ;

= a32 Δθ + a33Δωz + a34 Δ ; (5.6)

Δْ = Δωz;

Δθ = Δ – Δα;

= Δωz -;

Δωz = +.

Из первого:

= (-+ sinθ) (Δ – Δα) + Δ = (sin θ Δθ + Δα).

Примем за исходный опорный режим полета – горизонтальный и sin θ = 0. В результате получаем:

= α; (5.7)

= Δωz –Δα. (5.8)

Второе уравнение в системе (5.6) удобнее представить в другой форме (не в форме Коши; см. 3. системы (4.5)).

,

или

, (5.9)

где

; ; ; .

Дифференцируя (5.8), после подстановки (5.9) и приведения подобных членов, получаем:

+ 2 hk + ωk2= 0, (5.10)

где

; (5.11)

= -( + ) = -Dz (+ (1+)) = -Dz ; (5.12)

nyk = (Сp (α+φp) + Сya); = (Сp +) = (1 +); .

τ = (масштаб времени); μ = (относительная плотность ВС), ;

Нетрудно проверить, что характеристическое уравнение для (5.10) имеет вид:

λ2 + 2hkλ + = 0. (5.13)

Условия устойчивости (здесь: a0 = , a1 = 2hk) c помощью матрицы Гурвица

: a0 = >0 и a1 = 2hk>0. Условие >0 эквивалентно (см. (5.12)) (при Dz>0, >0), σn = + (1 +)<0 и является критерием асимптотической апериодической устойчивости. Условие 2hk>0 эквивалентно <0; <0; >0; Сp>0 и является критерием колебательной асимптотической устойчивости.

Апериодическая неустойчивость возможна при: σn>0, ωk2<0. Колебательная неустойчивость возможна при: >0, 2hk<0. Соответственно = 0 и 2hk = 0 являются условиями граничных значений апериодической и колебательной асимптотической устойчивости по углу атаки в опорном режиме горизонтального полета. При этом асимптотической устойчивости по и θ не будет, т. к. с учетом (5.7), (5.6):

Δθ(t) = ;

Δ(t) = Δα(t) + ;

при Δα(t)→0; Δθ(t)→Δθ0; Δυ(t)→Δθ0, но устойчивость неасимптотическая (по Ляпунову) возможна.

Корни характеристического уравнения:

λ1,2 = -hk± (5.14)

при >hk2 и >0 ,будут комплексными сопряженными, а собственное возмущенное движение – колебательное

λ1,2 = -hk± i. (5.15)

Решение (5.10) имеет вид

Δα = Ae sin (+ ψ), (5.16)

где hk – коэффициент демпфирования (декремент затухания);

= – круговая частота собственных колебаний (демпфированных колебаний), иногда обозначается ω; ωk – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;

ψ – фазовый угол сдвига. Постоянные А и ψ определяются по заданным начальным условиям: например, при t = t0=0; Δα=Δα0 и =

Если ≥ >0, то корни (5.14) будут действительными и собственное возмущенное движение будет апериодическим

Δα=c1 eλ1t + c2 eλ2t,

а при = >0; λ1 = λ2 = λ

Δα(t) = (c1 + c2) eλt.

Постоянные c1 и c2 находятся из начальных условий. Определим теперь Δωz(t). Для этой цели из (5.6) и (5.7) с учетом (5.16), получим

Δωz = = Δα + = A [ ( – hk) sin ( + ψ) + cos ( + ψ)].

5.2.2 Собственное продольное длиннопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

Будем считать, что в конце короткопериодического движения наступает равновесие моментов, mRz ≈ 0 и Δωz и Δْα становятся малыми настолько, что ими можно пренебречь (см. (4.5))

;

; (5.17)

; (Δْωz = 0).

(В горизонтальном опорном движении принимаем: Сp = Сxa, nxk ≈ nxa, γa = β = 0, cos θ = 1, = =, M ≈ 0);

;

= = = g ;

= = g( – cos θ) ≈ - g cos θ ≈ - g;

= ≈ (1 + ) = ( M – nyk + cos θ);

= = (Сp +) = =;

= = Dz = Dz (+ );

= = Dz .

Исключая из первого и второго уравнений (5.17) с помощью третьего Δα, получим

= -2 hд ΔV – g Δθ;

, (5.18)

где

; (5.19)

д2 = ( –) = . (5.20)

Здесь: |nya = 1 =–

Характеристическое уравнение системы (5.18)

= λ2 + 2 hд λ + ωд2 = 0. (5.21)

Условиями асимптотической устойчивости опорного движения (горизонтального полета с постоянной скоростью) является: 2hд>0 и ωд2>0. Первое условие (см. (5.20)) зависит от знака величин = (); (-) и . При этом , определяются при постоянном значении αбал горизонтального полета, а CpM – для постоянного режима работы двигателя (положения рычага управления двигателем (РУД)). Второе условие ωд2>0 при <0 выполняется при σV<0. Корни уравнения (5.21): λ1,2 = -hд ±.

Если ωд2> hд2 и ωд2>0, то корни будут комплексными сопряженными λ1,2 = -hд ± i, а собственное длиннопериодическое движение называют колебательным или фугоидным и решения (5.18) равны

;

,

где hд – коэффициент демпфирования; -круговая частота собственных колебаний; ωд – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;φV, φθ – фазовые углы сдвига.

При корни характеристического уравнения будут действительными, а собственное движение – апериодическим. Решение при этом будет

;

,

а при , ; ; .

Постоянные AV, Aθ, A1V, A2V, A1θ, A2θ – определяются из начальных условий при t = t0.

Если σV>0, ωд2<0 один из корней λ1 или λ2 положительный и опорное движение апериодически неустойчивое. Если hд<0, a ωд2>0 возможны два вида неустойчивости: при hд2>ωд2 – будут два действительных положительных корня и неустойчивость будет апериодической, а при ωд2>hд2 – колебательная (фугоидная) неустойчивость.

5.3 Реакция ВС в продольном движении на отклонение органов управления

При изучении переходных процессов удобно пользоваться передаточными функциями, которые чаще всего рассматривают раздельно для короткопериодического и длиннопериодического возмущенных движений.

5.3.1 Передаточные функции ВС в короткопериодическом возмущенном движении

Уравнения движения от рассмотренных ранее в разделе 5.2.1 отличаются наличием управляющих воздействий (см.(5.1), (5.2), (4.5))

;

; (5.22)

,

где Δ=Δθ + Δα, Δθ = Δ – Δα, .

(Иногда обозначается ωz вместо Δωz, т. к. в опорном режиме полета = 0);

; ; ; .

Представим систему уравнений (5.22) в операторной форме с помощью таблицы 2 (раздел 4.1.2) при нулевых начальных условиях (индекс «Δ» опускаем)

;

; (5.23)

.

Решая эту систему уравнений, найдем передаточные функции (с точностью до )

;

(5.24)

.

Обычно передаточные функции приводят к каноническому виду, в которых параметры канонической формы должны быть положительными. Передаточные коэффициенты

;;;

постоянные времени:;;

Относительный коэффициент демпфирования;

В канонической форме

;

; (5.25)

.

Знаки (±) свободного члена в знаменателе принимаются соответственно для ВС с про-

дольной статической устойчивостью по перегрузке (+) и неустойчивостью по перегрузке (-).

Аналогично вводятся передаточные функции и другие.

Приведем здесь перечень некоторых из решаемых задач динамики полета с помощью передаточных функций.

I.  Используя знаменатель передаточной функции можно исследовать динамическую устойчивость (по Ляпунову) по первому приближению, т. к. знаменатель по форме совпадает с характеристическим уравнением с той лишь разницей, что вместо «λ» стоит параметр «p». (сравним (5.13) и первое уравнение (5.24)).

II.  Если в качестве входного воздействия принять в (5.24), то изображение по Лапласу и Wα/δв(p) = p α(p) можно использовать для определения установившегося значения переходной функции y(t) на основе теоремы

2) (4.21) (в общем случае X(p) = , Wyx(p) = = p Y(p)).

.

III.  При построении систем автоматического управления (САУ) изучаются

передаточные функции «замкнутых» систем, являющихся функциями исходных W(p) и проблема сводится к выбору параметров САУ такими, чтобы характеристики устойчивости и управляемости ВС были оптимальными, удовлетворяющими нормативным документам (АП – 25 и др.).

IV.  Для устойчивых систем от W(p) нетрудно перейти к частотным характеристикам, положив p = iω и исследовать показатели («запасы») устойчивости и управляемости по АФЧХ.

V.  Некоторые из показателей статической управляемости можно вычислить непосредственно по WYX(p).

VI.  С помощью перехода от изображений к оригиналам можно проводить исследования во временной области.

В заключении заметим, что обычно для ВС составляются перечни (таблицы, «библиотека») передаточных функций, которые широко используются при решении различных задач динамики полета.