Основы макроскопической электродинамики (стр. 2 )

При x < 0 имеется однородное распределение положительно заряженных ионов с концентрацией n. Уравнение для потенциала имеет вид

Граничные условия при имеют вид

Здесь величина А называется работой выхода (она равна энергии Ферми), pF – импульс Ферми для электрона вдали от поверхности. Соответственно замкнутое уравнение для электростатического потенциала внутри поверхности приобретает вид

(2)

Систему уравнений (1), (2) удобно обезразмерить, введя безразмерный потенциал и координату:

.

Тогда в новых переменных получим

(3)

Умножая эти уравнения на и интегрируя с учетом указанных граничных условий, получим дифференциальные уравнения первого порядка:

(4)

Константа интегрирования соответствует граничным условиям на –¥, приведенным в уравнении (3). Приравнивая первое из уравнений (4) второму при u = 0, получим Интегрируя первое из уравнений (4), получим распределение потенциала вне проводника

(5)

Здесь b – константа интегрирования. Она находится из приведенного выше условия Получаем b = 2(125/3)1/4. Тогда согласно (4) находим

Обратимся теперь к области u < 0. Интегрируя второе из уравнений (4), получим

(6)

Интеграл может быть вычислен лишь численно. Впрочем, можно моделировать решение по граничным условиям при u = 0 и u = –¥ простой экспонентой

(7)

Константа a находится из приведенного выше условия для Она равна a = (243/125)1/4. Из рис. 1 видно, что выражения (6) и (7) практически совпадают.

На рис. 2 показан потенциал двойного электрического слоя в безразмерных координатах (u, F), основанный на решении (5) для u > 0 и решении (7) для u < 0. Концентрация электронов связана с потенциалом соотношением

Она ведет себя подобным образом, что и потенциал, показанный на рис. 2 (но более круто).

F

u

Рис. 1. Функция Ромбы соответствуют численному решению уравнения (6). Сплошная линия – аналитическая зависимость (7)

Степень применимости приближения Томаса–Ферми можно пояснить на примере одновалентного металла золота. Концентрация электронов в нем составляет n = 5.90 ∙ 1022 см–3. Для теоретического значения работы выхода получим значение 5.5 эВ. Экспериментальное значение работы выхода для золота составляет 5.3 ± 0.1 эВ (оно зависит от ориентации грани кристалла).

В заключение этого раздела можно провести некоторую аналогию между длиной Томаса–Ферми и радиусом Дебая. Первая величина является квантовой, а вторая – классической. Длину Томаса–Ферми можно получить из радиуса Дебая, если вместо электронной температуры подставить энергию Ферми. Эти величины определяют пространственное распределение поверхностного заряда не только в случае постоянного электрического поля, но и низкочастотного переменного электрического поля, имеющего компоненту, перпендикулярную поверхности проводника или плазменного образования.

F

u

Рис. 2. Потенциал двойного электрического слоя в безразмерных координатах

(u, F)

1.4. Метод изображений

Метод изображений основан на замене проводника одним или несколькими точечными зарядами, так чтобы выполнялись надлежащие граничные условия в том месте, где находится поверхность проводника.

Пример. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса а (рис. 3). Центр сферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы, на расстоянии b > a от плоскости находится точечный заряд q. Определить заряд Q, индуцируемый на выступе проводника.

Согласно условию задачи проводник поддерживается при потенциале j = 0. Поместим вместо полусферы фиктивный точечный заряд –q1 на расстоянии l от центра полусферы внутри выступа, на оси, соединяющей центр полусферы с исходным зарядом q. Поместим также заряд –q внутри проводника на расстоянии b от поверхности вместо плоской части поверхности. Наконец, следует еще поместить изображение +q1 на расстоянии l от центра полусферы вне выступа симметрично заряду –q1 (как показано на рис. 3). Это обеспечивает суммарный заряд –q внутри проводника. Первая задача состоит в вычислении величин q1 и l.

Потенциал в произвольной точке r, создаваемый двумя зарядами q и –q1 , согласно закону Кулона имеет вид

Потенциал в точке a на поверхности выступа имеет соответственно следующий вид:

Перепишем его в эквивалентной форме, умножая числитель и знаменатель второго слагаемого на b / a:

Легко проверить, что знаменатели обоих слагаемых в правой части этого выражения совпадают, если выбрать

Следовательно, необходимое условие на поверхности проводника достигается при выборе фиктивного заряда

Теперь вычислим нормальную проекцию вектора напряженности электрического поля на поверхности проводника вне выступа (x – расстояние от точки наблюдения до центра полусферы).

Рис. 3. Схема проводника и изображений зарядов

Имеем:

Соответствующий индуцированный заряд равен

В отсутствие выступа он равен –q, как и должно быть.

Обратимся теперь к заряду на выступе. Его проще всего вычислить, исходя из того, что суммарный заряд на проводнике равен –q. Окончательно получаем

Если b = a, т. е. точечный заряд находится вблизи проводника, то весь заряд –q находится на выступе.

Результаты легко переносятся на случай, когда вместо выступа в плоской поверхности проводника имеется углубление в виде полусферы. Эта задача предлагается студенту решить самостоятельно.

1.5. Разложение в ряды Фурье

Эффективным методом решения электростатических задач для проводников является разложение в ряды Фурье, соответствующее геометрии данного проводника.

Пример. Вычислить распределение потенциала внутри прямоугольного проводящего желоба бесконечной длины со стенками бесконечной высоты. Дно желоба поддерживается при потенциале U, а обе боковые стенки – при нулевом потенциале. Ширина желоба равна а.

Направим ось желоба вдоль декартовой оси Z; потенциал не зависит от координаты z. Ось координат вдоль ширины желоба обозначим X, так что 0 < x < a. Решение двухмерного уравнения Лапласа:

,

ищем в виде ряда Фурье по координате x:

При этом автоматически потенциал обращается в нуль на боковых стенках желоба, т. е. при x = 0 и x = a. Он также обращается в нуль при y ® ¥ в соответствии с условием задачи.

При y = 0 имеем по условию задачи j = U. Следовательно,

Итак,

Просуммируем этот бесконечный ряд, переписав потенциал в виде

Здесь введена комплексная величина

.

Вспомним разложение логарифма в ряд Тейлора

Вычитая второе их этих разложений из первого, находим

Итак, потенциал записывается в виде

Вычисляя мнимую часть от логарифма комплексной величины (алгебраические выкладки предоставляется сделать студенту), окончательно находим

При каждом значении y потенциал как функция x, имеет вид колокола с максимумом при x = a/2. Он удовлетворяет также требуемому граничному условию j(x, 0) = U.

Конечно, в большинстве задач суммирование ряда Фурье может быть произведено только численно.

1.6. Метод конформного отображения

Метод конформного отображения применяется, когда в задаче есть зависимость только от двух декартовых координат, например, x, y. Тогда вводят комплексную независимую переменную z = x + iy. Комплексная функция F = y + ij, где j – электростатический потенциал, является аналитической функцией комплексной переменной z. Из соотношений Коши–Римана для этой функции следует, что

т. е. удовлетворяется уравнение Лапласа, как и должно быть. Такое же уравнение Лапласа справедливо и для функции y, а, следовательно, и для всей аналитической функции F.

От комплексной переменной z переходят к новой комплексной переменной w = u+iv посредством некоторого преобразования, z = z(w), специфичного для каждой конкретной задачи, так чтобы функция F(w) была найдена более просто, чем F(z). Выражая обратно w через z и находя ее мнимую часть, мы и получим искомый потенциал j(x, y).

Пример. Проводящая заземленная плоскость имеет щель шириной 2а. Определить, как проникает сквозь эту щель постоянное электрическое поле, имеющее напряженность Е вдали от плоскости, которая направлена вертикально к плоскости.

Пусть ось x направлена параллельно проводящей плоскости, а ось y – перпендикулярно к ней. Рассмотрим следующее конформное преобразование комплексной координаты z = x + iy к комплексной координате w = u + iv:

Обратное преобразование имеет вид

Края щели x = ±a переходят соответственно в точки u = ±a.

Верхняя часть проводящей плоскости x > a переходит в часть верхней проводящей плоскости u > a. При переходе к нижней части проводящей плоскости x > a мы должны сделать преобразование поворота

.

При таком преобразовании

.

Следовательно, нижняя часть проводящей плоскости x > a переходит в область a > u > 0.

Аналогичные рассуждения можно сделать для верхней и нижней частей проводящей плоскости x < –a. Итак, проводящая плоскость со щелью в переменных z переходит в проводящую плоскость без щели в переменных w, а все пространство (x, y) переходит при конформном преобразовании в полупространство над проводящей плоскостью без щели (u, v > 0). Преобразование является взаимно однозначным (см. рис. 4).

Однозначный вид комплексного потенциала в переменных w – это Действительно, при v = 0, т. е. на проводящей плоскости имеем как и должно быть, если считать константу вещественной. При переходе к переменной z получим

Значение константы находим из условия, чтобы при потенциал плоскости приобретал вид j = –Ey, соответствующий перпендикулярному к проводящей плоскости электрическому полю с напряженностью Е. Итак, окончательно

При этом поле на бесконечности в нижней полуплоскости –обращается в нуль. Для потенциала получим

В частности, в самой щели потенциал равен

Рис. 4. Конформное преобразование потенциала

Простой вид имеет и напряженность электрического поля на оси, перпендикулярной проводящей плоскости и проходящей через центр щели:

При отрицательных значениях y, много больших ширины щели а, это выражение упрощается:

ЗАДАЧИ

Задача 1. Точечный заряд е находится на расстоянии l от центра проводящей заземленной сферы радиуса R. Вычислить плотность поверхностных зарядов на сфере, а также силу притяжения заряда к сфере.

Задача 2. Точечный заряд е находится на расстоянии l от центра проводящей изолированной сферы радиуса R, несущей заряд Q. Рассчитать распределение электростатического потенциала в пространстве, а также силу взаимодействия заряда со сферой.

Задача 3. Проводящая сфера радиуса R помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Найти электростатический потенциал в пространстве и поверхностную плотность зарядов на сфере.

Задача 4. Написать уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов е и –е, находящихся на расстоянии а друг от друга.

Задача 5. Заряд е равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R. Найти величину силы, разрывающей сферу на две равные половины.

Задача 6. Электрический диполь находится в вакууме на некотором расстоянии от плоской границы заземленного бесконечного протяженного проводника. Какое положение диполя устойчиво относительно его поворота?

Задача 7. Методом изображений найти силу притяжения произвольно ориентированного электрического диполя с моментом р к заземленной проводящей сфере радиуса R. Расстояние диполя от центра сферы равно l > R. Усреднить выражение для силы по ориентации диполя, считая ее произвольной.

Задача 8. Определить силу взаимодействия двух молекул с дипольными моментами р1 и р2, находящихся на большом расстоянии R друг от друга и произвольно ориентированных друг относительно друга. Усреднить эту силу по взаимной ориентации молекул, используя для вероятности взаимной ориентации распределение Больцмана при температуре Т.

Г л а в а 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ

2.1.  Основные уравнения

В электростатическом случае постоянное электрическое поле с напряженностью диэлектрической поляризацией P (т. е. дипольным моментом единицы объема диэлектрика) и электрической индукцией удовлетворяет уравнениям Максвелла

где r – плотность сторонних зарядов. Диэлектрическая проницаемость e и диэлектрическая восприимчивость c изотропных диэлектриков определяются соотношениями:

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков вытекают из приведенных выше уравнений (их вывод предоставляется студенту) и имеют вид

они соответствуют непрерывности нормальной к поверхности раздела проекции индукции и тангенциальной проекции напряженности поля. Второе условие можно переписать также через электростатический потенциал поля j. Получим, что электростатический потенциал непрерывен на границе раздела диэлектриков.

В электростатике можно формально рассматривать также и незаряженный проводник, как тело с бесконечной диэлектрической проницаемостью.

На границе диэлектрика и вакуума возникают связанные заряды с поверхностной плотностью, равной нормальной проекции вектора поляризации:

Вывод этого соотношения элементарен, если рассмотреть малый объем, захватывающий малый элемент поверхности диэлектрика, и применить к нему написанное выше уравнение Максвелла для электрической индукции в интегральной форме.

Электростатическая энергия диэлектрика получается из общей формулы (см. пред. гл.)

путем элементарных преобразований, основанных на приведенном выше уравнении Максвелла для электрической индукции:

2.2.  Разложение в ряд по полиномам Лежандра

Разложение в ряд Фурье по синусам и косинусам, использованное в разделе 1.5, удобно, когда геометрия проводника или диэлектрика определяется декартовыми координатами. В случае сферической симметрии объекта удобнее разложение по полиномам Лежандра, так как они являются решениями угловой части уравнения Лапласа для электростатического потенциала .

Пример. Диэлектрический шар радиуса а с проницаемостью e помещен в однородное электрическое поле, напряженность которого вдали от шара равна Е. Вычислить электрическую поляризуемость шара a.

Задача сводится к решению уравнения Лапласа внутри и вне шара с надлежащими граничными условиями. В случае сферической симметрии с аксиальной геометрией вдоль направления внешнего поля (это направление обозначим через ось Z) решения угловой части уравнения Лапласа представляют собой полиномы Лежандра где q – угол между направлением из центра шара на данную точку пространства и направлением внешнего электрического поля. А два решения радиальной части уравнения Лапласа есть Общее решение в виде

удовлетворяет уравнению Лапласа в сферических координатах:

Действительно, из этих двух уравнений получим

и указанные выше радиальные степенные функции удовлетворяют этому уравнению.

В рассматриваемой задаче из граничных условий на бесконечности получим вне шара решение в виде, включающем лишь первый полином Лежандра:

Тогда напряженность поля на бесконечности равна Е, как и должно быть.

А из граничных условий конечности в начале координат и условия возможности сшивки с внешним решением получим решение внутри диэлектрического шара:

Сшивка потенциалов на поверхности шара радиуса а дает условие:

Сшивка нормальных проекций электрической индукции дает второе условие:

Умножая первое из этих двух уравнений на 2 и складывая со вторым, получим Итак, напряженность электрического поля внутри шара однородна и равна

Это позволяет вычислить поляризацию шара (дипольный момент единицы его объема) P, весь его дипольный момент р и поляризуемость a (определяемую как коэффициент пропорциональности между индуцированным дипольным моментом и напряженностью внешнего поля):

2.3.  Диэлектрическая проницаемость смеси

В этом разделе мы вычислим диэлектрическую проницаемость смеси двух веществ с различными диэлектрическими проницаемостями. В целях простоты рассмотрим основное вещество с диэлектрической проницаемостью e0, в котором имеются маленькие шарики другого вещества с диэлектрической проницаемостью e1. Концентрация шариков с (число шариков в единице объема) предполагается достаточно малой, чтобы они не влияли бы друг на друга своими индуцированными диполями при наложении внешнего электрического поля. Соответствующее математическое условие имеет вид са3 << 1, где а – радиус шарика. Тогда изменение диэлектрической проницаемости будет малым по сравнению с e0. Задача и состоит в нахождении этого изменения.

Поле внутри основного диэлектрика характеризуется постоянной напряженностью Е. Обобщая результат предыдущего раздела (это предоставляется сделать студенту самостоятельно), находим, что каждый маленький шарик приобретает в этом поле дипольный момент

В отсутствие примеси индуцированный дипольный момент такого же шарика, но состоящего из основного диэлектрического вещества, получается из этой формулы путем замены :

Изменение дипольного момента шарика при переходе от однородного вещества к смеси равно

Соответствующее изменение поляризации (дипольного момента единицы объема) равно

Сравнивая это выражение с предыдущим, окончательно находим малое изменение диэлектрической проницаемости из-за наличия примеси:

В частности, для воздушных шариков примеси (с диэлектрической проницаемостью, равной единице) отсюда получаем простое выражение

2.4.  Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью атомов в диэлектрике

Выразим макроскопическую характеристику диэлектрика – диэлектрическую проницаемость – через его микроскопическую характеристику – поляризуемость атома или молекулы, или иона в узле кристаллической решетки, из которых состоит данный диэлектрик. Выделим какой-либо атом и проведем вокруг него мысленную сферу, вне которой имеется диэлектрик с однородной поляризацией Р (модель Лоренца). Вычислим напряженность электрического поля в центре сферической полости (там, где находится рассматриваемый атом) радиуса а. Обозначим через q полярный угол, отсчитываемый от направления поляризации как оси. Поверхностная плотность заряда в окрестности точки на поверхности сферы, задаваемой радиусом-вектором под углом q, равна Р cosq. Элементарный заряд от тонкого кольца равен (см. рис. 5)

dq =

По закону Кулона напряженность поля (т. н. поля Лоренца) в центре сферы равна

т. е.

Локальное поле в данной точке, где находится рассматриваемый атом, равно сумме макроскопического поля и поля Лоренца обусловленного поляризацией всех других атомов образца. Индуцированный дипольный момент атома определяется этим локальным полем, т. е. где a – поляризуемость атома.

Рис. 5. Модель Лоренца для локального поля в диэлектрике

Дипольный момент единицы объема среды (поляризация) равен Р = Np, где N – число атомов в единице объема. Приравнивая

находим поляризацию и связываем диэлектрическую проницаемость среды с поляризуемостью атома:

Отсюда окончательно получаем так называемую формулу Клаузиуса–Моссотти:

Для жидкостей, состоящих из неполярных молекул, она выполняется с высокой степенью точности, так как поляризация неполярной молекулы происходит за счет относительного перемещения составляющих ее частиц, и другие молекулы не влияют на процесс поляризации.

Далее рассмотрим обобщение этой формулы на случай полярных молекул. В отсутствие электрического поля дипольные молекулы полярного диэлектрика ориентированы хаотически. В электрическом поле происходит ориентация молекул вдоль поля, чему препятствует тепловое движение. Электрический дипольный момент единицы объема (поляризация) равен где р – дипольный момент полярной молекулы, а q – угол, который он образует с направлением поля. Усреднение выполняется с помощью нормированной функции распределения Больцмана по углам, которая упрощается в случае слабого электрического поля путем разложения экспоненты в ряд Тейлора:

Здесь температура измеряется в энергетических единицах.

Получаем для ориентационной поляризации:

.

Сравнивая с вкладом от поляризуемости упругого смещения электронов, находим, что формула Клаузиуса–Моссотти модифицируется следующим образом (она носит название формулы Ланжевена–Дебая):

Эта формула применяется для газов и паров из полярных молекул при низких давлениях, а также для разбавленных растворов полярных жидкостей в неполярных растворителях. Из экспериментального графика зависимости диэлектрической проницаемости от температуры и приведенной формулы можно определять дипольные моменты молекул.

Отметим, что полученные соотношения справедливы не только для постоянного электрического поля, но и для полей видимого и ультрафиолетового диапазонов частот. При этом ориентационная часть поляризуемости быстро падает с ростом частоты. Этот вопрос будет предметом рассмотрения в следующем разделе.

2.5.  Зависимость ориентационной поляризуемости

полярных молекул от частоты электрического поля

Теперь обратимся к случаю переменного монохроматического поля , включающего в себя также и поле Лоренца. Функцию распределения Больцмана для молекул по углам обозначим посредством . Будем искать ее в виде, аналогичном случаю постоянного поля:

.

Здесь введена неизвестная пока функция частоты, характеризующая релаксацию вращательного движения молекул под влиянием температуры; очевидно, что . Чтобы найти значения во всем диапазоне частот, требуется вывести уравнение для функции распределения .

Представим молекулы модельными шариками с эффективным радиусом a, взвешенными в собственной жидкости с коэффициентом динамической вязкости h. Под влиянием электрического поля полярная молекула начинает поворачивается. При этом на нее действует момент сил вязкого трения L, пропорциональный угловой скорости поворота Определим его.

Скорость жидкости v в каждой точке направлена по касательной к окружности с центром на оси вращения в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Уравнение Навье–Стокса для скорости

упрощается, так как в силу аксиальной симметрии относительно оси вращения давление р не может иметь градиента в этом направлении. Таким образом, уравнение для скорости является уравнением Лапласа: Его решения суть 1/r, и т. д. Так как скорость v должна быть перпендикулярна вектору частоты вращения w и пропорциональна этой частоте, то годится лишь второе из указанных решений. Итак,

Коэффициент пропорциональности в этом соотношении определяется из условия, чтобы на поверхности шарика скорость жидкости равнялась бы скорости шарика .

В сферических координатах с полярной осью вдоль вектора частоты вращения шарика остается лишь одна компонента скорости

Эта компонента скорости создает действующую на единицу площади поверхности шарика силу трения

(в декартовых координатах сила трения по определению коэффициента динамической вязкости равнялась бы ; указанное выражение для силы трения получается при переходе от декартовых к сферическим координатам).

Указанная сила трения создает полный момент сил трения, равный интегралу по поверхности шарика

(1)

Теперь рассмотрим “диффузию” вращательного движения шарика в собственной вязкой жидкости, пренебрегая его моментом инерции. Подвижность шарика относительно вращения вводится следующим образом: под действием некоторой внешней силы G, направленной по касательной к его поверхности на экваторе шарика, шарик приобретет тангенциальную скорость, равную на экваторе . Полагая , находим связь угловой скорости с приложенным моментом силы: . Сравнивая данную формулу с (1), мы приходим к выражению для вращательной подвижности шарика: