Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Согласно соотношению Эйнштейна, коэффициент вращательной диффузии равен

Из всех этих рассуждений можно сделать вывод, что в рамках рассматриваемой модели уравнение для функции распределения , учитывающей диссипацию вращательного движения шарика под действием вязких сил (посредством множителя ), есть обычное уравнение диффузии:

. (2)

Оператор Лапласа в нем, очевидно, содержит только угловую часть, отвечающую за повороты молекулы:

а величина

есть функция распределения без учета диффузии. В статическом пределе (w = 0) функция совпадает с , и обе части уравнения (2) равны нулю, как и должно быть.

Подставляя явные выражения для функций распределения и в уравнение (2) и производя необходимые сокращения, получим

Отсюда находим окончательно, что

Здесь определено характерное время диффузионной релаксации для вращения молекулы

Усреднение направлений дипольных моментов с функцией распределения проводится аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе для статического случая, и дает значение дипольной поляризации

Это соотношение впервые получено Дебаем.

Таким образом, формула Ланжевена–Дебая обобщается для случая переменного электрического поля (она называется формулой Лоренц–Лоренца):

Диэлектрическая проницаемость становится комплексной в переменном электрическом поле. Ее мнимая часть определяет затухание электромагнитной волны в веществе, создаваемое вязкостью среды.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Вычислить силу притяжения электрического диполя р, находящегося в вакууме на расстоянии R от плоской границы бесконечно протяженного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e, усредненную по произвольной ориентации диполя.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задача 2. Полярная молекула газа имеет дипольный момент р. Найти силу взаимодействия двух таких молекул, находящихся на расстоянии R друг от друга, усредненную по распределению Больцмана.

Задача 3. Полярная молекула газа с дипольным моментом р взаимодействует с неполярной молекулой, имеющей поляризуемость a. Найти силу притяжения этих молекул друг к другу, усредненную по ориентации полярной молекулы.

Задача 4. Вычислить электрическую поляризацию Р идеального газа полярных молекул в электрическом поле с произвольным значением напряженности Е при температуре Т путем усреднения по распределению Больцмана. Дипольный момент одной молекулы равен р. Концентрация газа равна N. Найти пределы для слабого и очень сильного электрического поля.

Г л а в а 3. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

3.1. Основные уравнения

Уравнения Максвелла в случае постоянного (но необязательно однородного) магнитного поля с напряженностью имеют вид

Здесь – плотность объемного электрического тока. Все последующие выражения могут быть выведены из этих уравнений Максвелла. Первое из этих уравнений можно записать в интегральной форме, полезной, если распределение токов имеет аксиальную симметрию:

где интеграл берется по произвольному замкнутому контуру, а J – полный электрический ток, протекающий через любую поверхность, опирающуюся на данный контур.

Элемент тока согласно закону Био и Савара создает магнитное поле, напряженность которого можно получить из уравнений Максвелла:

В тех областях пространства, где плотность тока равна нулю, можно ввести магнитный потенциал аналогично потенциалу в электростатике Это упрощает решение задач в магнитостатике, делая их аналогичными задачам электростатики. При этом уравнение удовлетворяется автоматически.

Магнитная индукция определяется через напряженность магнитного поля в диа - и парамагнетиках соотношением Здесь m – магнитная проницаемость среды. Векторный потенциал в статическом случае определяется условиями

Последнее соотношение не является обязательным, но оно удобно с математической точки зрения.

Из уравнений Максвелла получим уравнение для векторного потенциала:

Его решение получается математически подобно соответствующему решению уравнения Пуассона для электростатического потенциала, созданного распределенным зарядом (последнее основано на законе Кулона):

Отсюда легко найти решение и для линейного тока, а не только объемного.

Если r >> r’, то разложение последнего выражения в ряд Тейлора (эта достаточно громоздкая операция делается подробно в главе 4) дает упрощенное выражение для векторного потенциала:

Последняя величина называется магнитным дипольным моментом (или просто магнитным моментом). Магнитный момент системы зарядов получается из последней формулы в виде суммы вкладов от отдельных движущихся зарядов

Здесь сумма идет по всем рассматриваемым зарядам qi системы. Индукция магнитного поля, создаваемая магнитным моментом, получается из приведенного выше выражения для векторного потенциала А:

Соответствующий магнитный потенциал имеет простой вид

Потенциальная энергия магнитного момента, помещенного в магнитное поле, равна Это можно получить из общих уравнений Максвелла для переменных полей (см. главу 4), в которых работу электромагнитного поля (непосредственно само магнитное поле работы не совершает) следует предварительно определить через напряженность электрического поля, а затем выразить электрическое поле через магнитное. Вращательный момент, действующий на магнитный момент, помещенный в магнитное поле, равен

Сила, действующая на элемент тока, определяется законом Ампера:

Это выражение может быть получено из силы, действующей на элементарный заряд q, помещенный в магнитное поле (сила Лоренца):

где v – скорость заряда. Оба последних выражения являются также следствиями уравнений Максвелла.

Энергия магнитного поля в веществе вычисляется аналогично расчету энергии электростатического поля в предыдущей главе:

Вектор намагниченности (магнитный момент единицы объема вещества) М связан с напряженностью магнитного поля и магнитной индукцией соотношением, аналогичным соответствующему соотношению в электростатическом случае для поляризации:

Внутри проводника плотность электрического тока удовлетворяет уравнению и может быть связана с напряженностью постоянного электрического поля в проводнике эмпирическим законом Ома ; величина s называется удельной проводимостью (или просто проводимостью) данного проводника.

Граничные условия на границе раздела двух веществ с различной магнитной проницаемостью состоят в том, что непрерывными величинами являются нормальная к поверхности раздела проекция вектора магнитной индукции и тангенциальная проекция напряженности магнитного поля (последнее справедливо в отсутствие поверхностных токов на границе раздела). Непрерывной величиной является и магнитный потенциал. Выводы этих условий аналогичны тем, что делаются в электростатике.

3.2. Магнитная экранировка

Тонкие пластинки с большой магнитной проницаемостью сильно экранируют внешнее постоянное магнитное поле, не пропуская его. Решим типичную задачу об экранировке магнитным полем, заодно рассмотрев на данном примере метод магнитного потенциала.

Пример. Сферическая оболочка с внутренним радиусом а и внешним радиусом b, сделанная из вещества с магнитной проницаемостью m, помещена во внешнее магнитное поле с напряженностью Н. Найти напряженность магнитного поля внутри сферической оболочки.

Магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, его величину можно найти, фактически полностью повторяя рассмотренное выше решение задачи о диэлектрическом шаре, помещенном во внешнее электрическое поле, разлагая потенциал по полиномам Лежандра. Решение в трех областях имеет вид, удовлетворяющий условию конечности потенциала в начале координат, и условию, чтобы магнитное поле на бесконечности равнялось бы внешнему магнитному полю H:

На границах сред должна быть непрерывна нормальная составляющая вектора магнитной индукции и тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля. На внешней границе сферической оболочки имеем из условий непрерывности два уравнения:

Умножая второе уравнение на 2 и складывая с первым, исключаем константу D:

(1)

На внутренней границе имеем из условий непрерывности также два уравнения:

Из этих уравнений выражаем константы B и C через А:

Подставляя их в (1), вычисляем константу А:

Из этого соотношения находится константа А и напряженность магнитного поля внутри оболочки (это поле однородно) :

Можно проверить, что если толщина оболочки стремится к нулю, то магнитное поле внутри ее равно полю снаружи, как и должно быть.

В случае вещества с большой магнитной проницаемостью

m >> 1 из последней формулы мы получим, что напряженность поля внутри оболочки значительно меньше, чем снаружи:

Это и означает магнитную экранировку внешнего поля оболочкой (даже если оболочка – умеренно тонкая).

3.3. Дрейф частиц в слабо неоднородном магнитном поле

Проблема дрейфа заряженных частиц в слабо неоднородном магнитном поле актуальна в задачах астрофизики и термоядерных применениях. Слова слабо неоднородное означают, что характерная длина, на которой изменяется магнитное поле, велика по сравнению с радиусом круговой орбиты, по которой вращается заряженная частица вокруг магнитной силовой линии.

Мы рассмотрим два примера дрейфа заряженных частиц в слабо неоднородном постоянном магнитном поле, связанных с магнитным полем Земли.

Пример. Определить зависимость периода дрейфа захваченных магнитным полем Земли протонов солнечного ветра вдоль магнитных силовых линий от фитч-угла (угла между вектором скорости протона и вектором магнитного поля Земли).

Пусть фитч-угол протона на экваторе, т. е. угол между направлением скорости протона на экваторе и направлением магнитного поля (перпендикулярного плоскости экватора), равен a. Полную скорость протона обозначим через – она сохраняется и в неоднородном магнитном поле. Протон вращается вокруг силовой линии магнитного поля с ларморовой частотой и при этом дрейфует вдоль силовой линии, т. е. вдоль земного меридиана.

Если – проекция скорости протона на направление, перпендикулярное магнитному полю (плоскость вращения), то в ходе движения остается неизменной величина (адиабатический инвариант). Эту задачу предлагается решить самостоятельно. По мере движения протона к полюсу возрастает индукция поля В, что сопровождается ростом поперечной компоненты скорости и, следовательно, уменьшением продольной компоненты скорости . В точке поворота обращается в нуль, и .

Определим компоненты магнитного поля Земли на широте (угол отсчитывается от экватора). Вводя магнитный потенциал посредством соотношения, запишем для него выражение (см. п. 3.1)

;

здесь – магнитный момент Земли, а – расстояние от центра Земли до рассматриваемой точки пространства. Индукция магнитного поля равна (магнитную проницаемость атмосферы полагаем равной единице):

Для проекций индукции магнитного поля в полярной системе координат с осью , направленной вдоль магнитного момента, получим

. (1)

Полное магнитное поле на широте равно

Нам нужно узнать, как магнитное поле изменяется вдоль силовых линий. Поскольку на силовой линии по определению (знак «минус» связан с отсчетом угла от экватора, а не от магнитного полюса):

с учетом (1) имеет место уравнение

решение которого есть

Здесь – расстояние до рассматриваемой силовой линии от центра Земли в плоскости экватора. Соответственно, магнитное поле на силовой линии зависит от широты следующим образом:

. (2)

Мы видим, что оно монотонно возрастает при движении от экватора к полюсам.

Условие поворота дрейфующего протона на некоторой широте можно представить в виде

Подставляя сюда из (2), получим неявное выражение для угла поворота :

. (3)

По мере увеличения фитч-угла предельный угол монотонно убывает до нуля (когда ).

Период дрейфа протона вдоль магнитной силовой линии представим в форме интеграла вдоль силовой линии магнитного поля:

;

здесь – элемент дуги силовой линии. Так как , то

Следовательно,

Продольную скорость можно выразить через известную поперечную скорость :

;

с учетом (2) имеем:

После этого выражение для периода дрейфа сводится к интегралу по широте :

Подставляя в него полученные выражения для и , найдем

(4)

Период дрейфа является монотонно убывающей функцией фитч-угла , в чем нетрудно убедиться непосредственно из (4). Ниже мы покажем, что функция близка к во всем диапазоне значений a. Для силовой линии, проходящей на расстоянии км в плоскости экватора ( – радиус Земли), и типичной скорости протона солнечного вектора см/с получается оценка мин.

Интеграл (4) легко вычисляется в двух предельных случаях. Если , т. е. протон на экваторе движется вдоль силовых линий магнитного поля (перпендикулярно экваториальной плоскости), то

Напротив, если , т. е. протон на экваторе почти не имеет скорости вдоль силовой линии, то после замены переменной получим

Из (3) несложно найти, что в случае

и подынтегральное выражение можно разложить в ряд Тейлора по степеням :

Вычисляя этот элементарный интеграл, мы придем к следующему результату:

Конечно, здесь нужно иметь в виду, что если угол строго равен , то никаких колебаний нет, и протон постоянно находится в экваториальной плоскости (). Однако даже бесконечно малого возмущения к значению оказывается достаточным для вывода протона из экваториальной плоскости.

Мы приходим к заключению, что во всем интервале изменения фитч-угла период колебаний меняется менее чем в два раза. Относительно дрейфа протонов следует сделать важное замечание: если фитч-угол близок к нулю, то протоны могут достигать атмосферы Земли. В самом деле, на основании формулы (3) при имеем

Подставляя это значение в уравнение силовых линий, получим:

Каким бы большим ни было начальное расстояние до силовой линии, при малых она достигает поверхности Земли (и атмосферы). Попадая в атмосферу, протоны испытывают рассеяние на ее атомах и не возвращаются обратно вдоль силовой линии магнитного поля. Именно из-за рассеяния быстрых протонов космического излучения в районе полюсов возникают хорошо известные полярные сияния.

Полагая в последней формуле ввиду малости толщины атмосферы по сравнению с радиусом Земли, получим оценку для критического значения фитч-угла, при котором начинается захват протонов атмосферой:

Все протоны с меньшими фитч-углами (на заданном начальном расстоянии от центра Земли) поглотятся в атмосфере.

3.4. Дрейф протонов солнечного ветра

в экваториальной плоскости Земли

Помимо дрейфа протонов солнечного ветра вдоль магнитных силовых линий Земли (меридианов), они дрейфуют также и в поперечном направлении вдоль широт. Чтобы не перепутать оба движения, обратимся к случаю, когда протоны не имеют составляющей скорости вдоль меридиана.

Пример. Найти период дрейфа протона солнечного ветра в экваториальной плоскости Земли, перпендикулярной силовым линиям ее магнитного поля. Энергия протона равна Е, а радиус орбиты дрейфа составляет .

Если вектор скорости протона, входящего в магнитосферу в районе экваториальной плоскости Земли, строго параллелен ей, то при дальнейшем движении он будет оставаться в этой плоскости. Ввиду слабой неоднородности магнитного поля Земли в радиальном направлении (в плоскости экватора), протон начнет совершать медленное дрейфовое движение по круговой орбите, одновременно вращаясь вокруг силовых линий магнитного поля.

Уравнение движения имеет вид

где – масса протона, – его заряд. Индукция магнитного поля Земли в экваториальной плоскости получается из выражений (1) предыдущего раздела при :

; (5)

здесь – магнитный момент Земли, а – единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости экватора в сторону северного полюса. Введем также единичный вектор в направлении касательной к орбите дрейфа с востока на запад.

Протон вращается со скоростью вокруг силовых линий магнитного поля по окружности радиуса , и при этом движется по орбите со скоростью ; очевидно, что Так как , то индукцию магнитного поля можно разложить в ряд Тейлора; в дальнейшем мы ограничимся только линейным членом, пропорциональным смещению протона в радиальном направлении относительно орбиты:

С учетом выражения (5) для индукции имеем

Подставляя данные разложения в уравнение движения и отбрасывая малые квадратичные члены, найдем

В главном приближении получается уравнение

, (5)

которое описывает быстрое вращение протона вокруг силовых линий магнитного поля с ларморовой частотой Влиянием гравитации на это движение мы пренебрегли, поскольку отношение гравитационной силы к магнитной характеризуется малым параметром:

;

здесь км/с – первая космическая скорость. Она на несколько порядков меньше характерной скорости протона в солнечном ветре. Определяя смещения и протона относительно дрейфующего центра (в направлении векторов и ), представим решение уравнения (5) в виде

Скорость быстрого вращения есть

где – угловая скорость дрейфа; она существенно меньше ларморовой частоты .

Следующее приближение дает уравнение для дрейфового движения:

(6)

Решение для модуля скорости дрейфа , очевидно, испытывает колебания с частотой , так как правая часть уравнения (6) содержит быстроосциллирующие функции и y. Однако на временах порядка периода дрейфа подобного рода колебания несущественны, и нужно ввести скорость, усредненную по периоду быстрого вращения :

Представляя производную от скорости дрейфа в виде

применим к (6) указанную операцию усреднения:

Здесь мы учли, что Усреднение билинейных слагаемых дает

В результате для средней скорости дрейфа получается уравнение

которое сводится к

(7)

. В главном приближении имеем

где – кинетическая энергия протона. Угловая скорость дрейфа

Мы видим, что слагаемые с в уравнении (7) пропорциональны то есть они заметно меньше отброшенных нами ранее квадратичных по членов, связанных с магнитным полем. Для нахождения поправки к скорости дрейфа, таким образом, нужно удерживать в исходном уравнении члены порядка .