Основы макроскопической электродинамики (стр. 5 )

Итак, получим

что приводит к третьему макроскопическому уравнению Максвелла для вектора электрической индукции:

Напомним, что фигурирующая здесь плотность заряда относится к каким-то внешним свободным макроскопическим зарядам (но не к зарядам свободных электронов, например, в ионосфере: последние формируют вклад только в диэлектрическую проницаемость среды).

5.2. Магнитный дипольный и электрический

квадрупольный моменты

Теперь мы обратимся к последнему, наиболее сложному микроскопическому уравнению Максвелла:

Последнее слагаемое в правой части этого уравнения, называемое микроскопическим током смещения, вытекает из закона Фарадея для циркуляции электрического поля по контуру, вызванного потоком напряженности магнитного поля сквозь этот контур. Плотность свободных токов относится к каким-то макроскопическим токам и не меняется при процедуре усреднения, а плотность микроскопических токов относится к движению электронов в молекулах (движение ядер в молекулах значительно медленнее из-за их большой массы, и мы им пренебрегаем в дальнейшем). Таким образом, при усреднении имеем

Здесь – скорость соответствующего электрона, и сумма идет только по молекулярным электронам.

Разложение в ряд Тейлора, аналогичное проведенному выше, по малой величине координаты электрона дает

(1)

Рассмотрим по отдельности два члена правой части этого выражения. Первое слагаемое может быть представлено в форме

Оно добавляется к току смещения, приводя к макроскопическому току смещения, равному

Теперь проанализируем второе слагаемое в правой части (1). Перепишем его в эквивалентной форме:

(2)

Первое слагаемое в правой части этого выражения отвечает усреднению градиента производной по времени от тензора квадрупольного момента молекулы, определяемого как

Указанное слагаемое добавляется к дипольной электрической поляризации Р в уравнении Максвелла. Однако эта добавка чрезвычайно мала (см. оценку ниже). Поэтому мы пренебрегаем им в уравнении Максвелла.

Два последних слагаемых в правой части (2) имеют ту же степень малости, но они добавляются в магнитный член уравнения Максвелла, поэтому их сохраняют. Перепишем эти два слагаемых в более компактной форме:

Здесь вектор магнитной поляризации определен как средний магнитный дипольный момент единицы объема, т. е.

,

и магнитный момент молекулы определен как

Вводя теперь вектор макроскопической напряженности магнитного поля с помощью соотношения

получим последнее макроскопическое уравнение Максвелла в виде

Отметим, что в диэлектрике магнитная восприимчивость значительно меньше диэлектрической восприимчивости, так как их отношение имеет оценку v/c, где v – характерная скорость молекулярного (или атомного) электрона. Это видно из определений магнитного и электрического дипольных моментов, приведенных выше. Такую же малость имеет и относительный вклад квадрупольной электрической поляризации, так как слагаемые, связанные с ней, появились вместе с магнитной поляризацией.

5.3. Энергия и поток энергии электромагнитного поля

Для одиночного заряда q работа, производимая полем в единицу времени, равна Магнитное поле работы не производит. Это выражение можно обобщить на случай работы, производимой в единицу времени над током:

Выражая плотность тока из уравнения Максвелла в среде через поля, перепишем это соотношение в виде

Используя векторное дифференциальное соотношение

и учитывая, что по теореме Гаусса левый член приводит к интегралу по поверхности, получим для совершаемой работы выражение

(3)

Первое слагаемое в этом выражении позволяет определить плотность электромагнитной энергии в диэлектрике (в котором диэлектрическая и магнитная проницаемости являются константами):

Второе слагаемое определяет плотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга) (оно имеет такой же вид, как и в вакууме):

Соотношение (3) представляет собой закон сохранения электромагнитной энергии в диэлектрике (без учета диссипации).

Мы видим, что, хотя магнитное поле не совершает работы, ему соответствует определенная магнитная энергия. В неоднородном магнитном поле градиент этой энергии отличен от нуля и определяет в соответствии с уравнениями Максвелла для магнитостатики силу Ампера (или силу Лоренца для отдельного движущегося заряда). Эти силы отличны от нуля и в однородном магнитном поле. При наличии неоднородности к нему добавляется еще слагаемое, величина которого дается в приведенной ниже задаче.

5.4. Преобразования Лоренца для микроскопических

полей

Из уравнений Максвелла следует, что микроскопический векторный потенциал a(r, t) удовлетворяет волновому уравнению в пустоте (в отсутствие зарядов и токов, для простоты рассуждений):

Действительно, если мы используем общие определения для напряженностей микроскопического электрического и магнитного поля через потенциалы

то два уравнения Максвелла

и (4)

удовлетворятся автоматически. Третье уравнение Максвелла из пары уравнений

и (5)

сводится к написанному выше волновому уравнению для векторного потенциала, если наложить дополнительное условие на скалярный и векторный потенциалы (так называемое условие Лоренца ):

С учетом этого условия последнее уравнение Максвелла с учетом условия Лоренца сводится к волновому уравнению для скалярного потенциала:

Несложно проверить, что волновые уравнения для потенциалов неинвариантны по отношению к преобразованию Галилея:

Здесь мы перешли из одной системы координат в другую, движущуюся относительно данной с постоянной скоростью V вдоль оси x (такие системы называются инерциальными).

Конечно, это могло бы означать неэквивалентность различных инерциальных систем координат. Принятая в настоящее время точка зрения состоит в первом постулате Эйнштейна, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны, и все законы природы должны выглядеть в них одинаково (разумеется, после надлежащего преобразования как координат и времени, так и рассматриваемых физических величин).

Так как уравнения Максвелла не переходят в такие же уравнения при преобразовании Галилея (хотя и лишние члены релятивистски малы по параметру V/c <<1), то тогда это означает, что нужно другое преобразование. Такое преобразование было получено впервые Лоренцом (хотя он придерживался точки зрения эфира – выделенной системы координат – и вводил (совместно с Пуанкаре) сокращение длин, чтобы теория согласовывалась с экспериментальным фактом независимости скорости света от системы отсчета).

Конечно, искомое преобразование можно вывести, задав линейные преобразования координат и времени, подставив их в приведенные выше волновые уравнения Максвелла и найдя коэффициенты преобразования из условия инвариантности уравнений. Мы поступим иначе: приведем окончательный результат и покажем, что он приводит к требуемой инвариантности уравнений Максвелла в различных инерциальных системах координат.

Преобразования координат и времени, полученные Лоренцом из уравнений Максвелла, чтобы они сохраняли свой вид при переходе в другую инерциальную систему координат, имеют вид

Здесь предполагается, что новая (со штрихом) система координат движется относительно старой (без штриха) со скоростью V вдоль оси x. В нерелятивистском пределе, разумеется, имеет место переход в преобразование Галилея.

Перейдем к новым переменным в операторах дифференцирования, используя преобразование Лоренца:

Тогда для волнового оператора находим

Таким образом, волновой оператор не изменился при переходе в новую систему координат, причем и скорость света осталась неизменной. Это составляет содержание второго постулата Эйнштейна: скорость света не зависит от движения его источника.

Векторный и скалярный потенциалы преобразуются так же, как радиус-вектор и время при переходе в движущуюся систему отсчета. Что касается проекций то для них таким образом инвариантность волновых уравнений доказана. Что касается третьей проекции векторного потенциала и скалярного потенциала, то для них преобразования Лоренца имеют вид

Отметим, что обратные преобразования могут быть получены из прямых просто изменением знака скорости Получим уравнения в штрихованной системе координат:

Очевидно, из них путем линейной комбинации получаются волновые уравнения отдельно для величин Это завершает доказательство инвариантности волновых уравнений Максвелла к преобразованию Лоренца.

Таким же образом доказывается инвариантность лоренцевой калибровки при переходе в движущуюся систему отсчета:

Теперь рассмотрим, как преобразуются при переходе из одной системы отсчета в другую, инерциальную систему отсчета микроскопические напряженности магнитного и электрического поля. Прежде всего обратимся к проекции напряженности магнитного поля на направление движения одной системы отсчета относительно другой:

Так как указанные компоненты радиус-вектора и векторного потенциала не меняются при преобразовании Лоренца, то легко находим

(6)

Для компоненты получим

Так как

то получаем

(7)

В частности, в нерелятивистском пределе можно использовать это соотношение, положив в нем g = 1.

Точно таким же образом получается закон преобразования для третьей проекции магнитного поля:

(8)

Итак, магнитное поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе отсчета.

Обратимся теперь к аналогичным преобразованиям компонент напряженности электрического поля. Имеем

Координатные производные от векторного потенциала дают проекцию его ротора, т. е. напряженности магнитного поля на ось z:

(9)

Аналогично для третьей проекции напряженности электрического поля получаем

(10)

Наиболее громоздки вычисления для преобразования проекции напряженности электрического поля ex. Однако они приводят к наиболее простому ответу, аналогичному для соответствующей компоненты магнитного поля, полученному выше (эти выкладки предоставляется сделать студенту

(11)

В целом из-за лоренц-фактора g поля движущихся зарядов возрастают по сравнению с полями покоящихся зарядов (кроме проекции поля на направление движения). Поэтому, например, силовые линии кулоновского электрического поля точечного заряда при его движении сжимаются в плоскости, перпендикулярной направлению движения, и становятся более разреженными в направлении движения (и противоположном направлении).

5.5. Преобразования Лоренца для макроскопических полей

в диэлектрической среде

Усредняя соотношения (9–11) при переходе от микроскопических полей к макроскопическим, получим закон преобразования для компонент макроскопического электрического поля Е:

(12)

Аналогичные преобразования для индукции магнитного поля В получаются при усреднении соотношений (6–8) для микроскопических полей:

(13)

Пара макроскопических полей Е и В, для которых были получены преобразования (12–13), удовлетворяет системе уравнений Максвелла, получающихся при усреднении микроскопических уравнений (4):

и . (14)

Вторая пара макроскопических уравнений Максвелла в диэлектрической среде, полученная ранее при усреднении системы (5), имеет вид (в отсутствие зарядов и токов):

и . (15)

Замкнутая система уравнений (15) получается из замкнутой системы уравнений (14) путем замены пары переменных Соответственно такие же замены можно ввести в преобразованиях Лоренца (12) и (13). Заменяя в (12) Е на Н и В на –D, получим закон преобразования

(16)

Аналогично заменяя в (13) Е на Н и В на –D, получим

(17)

Таким образом, мы получили преобразования Лоренца для макроскопических полей в диэлектрике. При этом, если в системе, где диэлектрик покоится, имеют место соотношения

(18)

то в системе, где диэлектрик движется, электрические и магнитные поля будут зацепляться друг за друга.

5.6. Связь между электрическими и магнитными полями в движущемся диэлектрике

Будем считать, что в нештрихованной системе координат диэлектрик покоится, а в штрихованной – движется со скоростью V вдоль оси X. Тогда в нештрихованной системе координат имеют место соотношения (18), а скорость штрихованной системы координат относительно диэлектрика (нештрихованной системы координат) равна –V. Система (17) переписывается в виде (с заменой )

Аналогично система (12) переписывается в виде

Исключая проекции вектора Е из последнего уравнения, находим связь между полями в движущемся диэлектрике:

Эти соотношения (соотношения Минковского) можно переписать в векторной форме, справедливой для любого направления скорости диэлектрика V:

Аналогично переписываем систему (13) в виде

Система (16) переписывается в виде

Исключая проекции вектора Н из двух последних систем уравнений, находим

Эти соотношения Минковского также можно переписать в векторной форме, пригодной для любого направления вектора скорости диэлектрика V:

ЗАДАЧИ

Задача 1. Объяснить, почему в уравнениях Максвелла пренебрегается квадрупольной электрической поляризацией, в то время как магнитная дипольная поляризация сохраняется. Обе поляризации имеют одинаковый порядок величины.

Задача 2. В неоднородном и переменном во времени магнитном поле показать, что сила, действующая на магнитный момент m, равна

.

Задача 3. Получить преобразование Лоренца для зарядов и токов в диэлектрической среде.

Задача 4. Записать преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей в вакууме и диэлектрике в векторной форме, пригодной для любого направления вектора скорости V (а не только вдоль оси X).

Задача 5. Исходя из формул преобразования для электрических и магнитных полей в диэлектрике, получить формулы преобразования для магнитного момента m и электрического дипольного момента р при переходе в систему отсчета, движущуюся со скоростью V:

Г л а в а 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ

6.1. Основные уравнения

Важное свойство уравнений Максвелла для электромагнитного поля состоит в том, что оно допускает существование бегущих волн. Они могут распространяться в диэлектрической среде в отсутствие каких-либо зарядов и токов. Их основная особенность, как мы увидим ниже, заключается в том, что эти волны являются поперечными, т. е. волна распространяется в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой расположены векторы электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла в диэлектрике в отсутствие зарядов и токов для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля имеют следующий вид:

Волна называется плоской, если поля зависят только от одной декартовой координаты, например, x. Рассмотрим решение этой системы уравнений в виде плоской линейно поляризованной волны, распространяющейся вдоль оси x, в которой вектор напряженности электрического поля направлен вдоль оси y, а вектор напряженности магнитного поля – вдоль оси z. Уравнения для дивергенции этих векторов удовлетворяются автоматически. Два других уравнения принимают более простой вид:

Дифференцируя первое из этих уравнений по x и подставляя второе уравнение, получим замкнутое дифференциальное уравнение в частных производных для напряженности электрического поля:

Такое же уравнение справедливо и для напряженности магнитного поля. Его решение может быть записано в форме произвольной функции от комбинации x – vt : Ey = f(x – vt) (или f(x + vt)). Таким образом, величина v представляет собой фазовую скорость волны в диэлектрической среде, а знаки + или – соответствуют двум противоположным направлениям распространения электромагнитной волны вдоль оси x. Все это также относится и к магнитной индукции, вектор которой перпендикулярен вектору напряженности электрического поля.

Частным случаем плоских волн являются монохроматические электромагнитные волны, для которых напряженности полей гармонически зависят от координаты x и времени t:

Частота волны связана с волновым числом k соотношением w = k v. Таким образом, для волнового числа находим

Отметим, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды могут также зависеть от частоты, так что в общем случае зависимость волнового числа от частоты не является линейной (в этом случае говорят, что среда является дисперсной).

Отметим также, что в электромагнитной волне фазы электрического и магнитного полей одинаковы. Истинные напряженности равны, конечно, вещественным частям указанных выражений.

Вектор Пойнтинга, определяющий среднюю по времени плотность потока электромагнитной энергии, имеет вид

где вектор определяет направление распространения волны.

Средняя по времени плотность электромагнитной энергии в волне определяется выражением

6.2. Распространение электромагнитных волн в

магнитосфере Земли

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в ионосфере с учетом магнитного поля Земли. В данной задаче удобно разложить электромагнитную волну произвольной поляризации на суперпозицию двух циркулярно-поляризованных волн: левой и правой (это всегда возможно). В дальнейшем мы будем отдельно рассматривать распространение волн с определенной циркулярной поляризацией вдоль силовых линий магнитного поля Земли (ось ).

Даже при малой концентрации свободных электронов в ионосфере они играют определяющую роль в создании поляризации среды. На нерелятивистское движение электронов в плоскости , перпендикулярной направлению распространения волны (), влияет как электрическое поле волны

,

так и магнитное поле Земли с напряженностью Уравнения движения электрона в этой плоскости имеют вид:

(1)

Представив решение системы (1) в форме

,

получим систему двух алгебраических уравнений для и

.

Следовательно,

здесь введена ларморова частота . Таким образом, дипольный момент, создаваемый отклонением электрона, равен

,

где величина

есть поляризуемость одного электрона в электрическом поле волны. Зная поляризуемость одного электрона, можно найти диэлектрическую проницаемость ионосферы с электронной концентрацией :

(2)

– плазменная частота электронов. При отсутствии магнитного поля () выражение (2) переходит в простое выражение

.

Отметим также, что при изменении направления распространения волны на противоположное (против магнитного поля) меняется знак у В результате значения для правой и левой поляризаций лишь меняются местами, и в дальнейшем мы можем полагать .

Мы видим, что диэлектрическая проницаемость ионосферы различна для левой и правой циркулярных поляризаций волны. Соответственно, разные волны распространяются с различной фазовой скоростью:

.

На основании (2) нетрудно сделать вывод: если частота электромагнитной волны с правой поляризацией (верхний знак) находится в пределах

, (3)

то является мнимой величиной, и такая волна не может распространяться в ионосфере. То же самое относится и к волне, имеющей левую поляризацию, когда ее частота лежит в диапазоне

. (4)

Заметим, что .

Обратимся к интерпретации полученных результатов. Типичная концентрация свободных электронов в нижних слоях ионосферы составляет 1/см3, и 1/с. А так как напряженность магнитного поля Земли в районе экватора равна Гаусс, то и для ларморовой частоты получается 1/с.

С ростом высоты вместе с увеличением концентрации свободных электронов растет их плазменная частота (в то время как остается практически постоянной), а значит увеличиваются и предельные частоты (см. (3) и (4)), определяющие верхнюю границу диапазонов непропускания. Следовательно, может реализоваться ситуация, когда электромагнитная волна с частотой (значение 1/с соответствует нижней границе ионосферы), имеющая первоначально линейную поляризацию, на некоторой критической высоте частично отражается от плазмы, распадаясь при этом на две циркулярно-поляризованные волны. Понятно, что на данной высоте происходит отражение только компоненты с правой циркулярной поляризацией, поскольку предельная частота , будучи больше , раньше достигает значения Компонента с левой поляризацией проходит несколько дальше вплоть до высоты , на которой, в свою очередь, сравнивается с и происходит полное отражение волны.

Возможны также и другие случаи отражения электромагнитных волн от ионосферы, сопровождающиеся изменением поляризации. Здесь мы рассмотрим лишь низкочастотный предел, когда (но ). В силу соотношений (3) и (4) в ионосфере может распространяться низкочастотная волна только с правой циркулярной поляризацией, имеющая фазовую скорость

.

Подобная волна обладает довольно сильной дисперсией; высокие частоты распространяются быстрее, чем низкие. Именно из-за этой особенности при грозовом разряде, когда в атмосфере генерируется широкий спектр радиочастот, в радиоприемнике слышен свист, начинающийся с высоких частот и кончающийся низкими через несколько секунд (если принять расстояние до излучателя порядка 104 км).

Если начальная поляризация волны является линейной и то для произвольного значения z можно разложить ее на суперпозицию циркулярно-поляризованных волн:

Здесь определено и

Следовательно, вводя величины

получим

Этот результат означает вращение плоскости поляризации по мере распространения волны (эффект Фарадея). Угол вращения равен .

Предполагая, что Ларморова частота мала по сравнению с частотой электромагнитной волны, получим

.

При этом вращение плоскости поляризации происходит очень медленно. Напротив, эффект Фарадея становится весьма сильным в окрестности циклотронного резонанса

6.3. Резонансы Шумана

Рассмотрим низкочастотные собственные электромагнитные колебания в атмосфере, создаваемые грозовыми разрядами. Атмосферу Земли можно рассматривать как сферический резонатор; наружная оболочка этого резонатора есть нижняя граница ионосферы (удельная проводимость составляет 1/с, с последующим увеличением до 1/с в верхних слоях), а внутренняя оболочка образована поверхностью мирового океана (1/с). Толщина такого резонатора км мала по сравнению с радиусом Земли км, что существенно упрощает процедуру решения.

Хотя проводимость оболочек резонатора в нашем случае далека от идеальной (особенно во внешней оболочке – ионосфере), для получения качественного решения вполне подходит предел . Как известно, на поверхности идеального проводника не может быть ненулевых тангенциальных компонент напряженности электрического поля. Применимо к сферической геометрии это означает, что угловые компоненты и обращаются в нуль на стенках резонатора. Если бы мы захотели исследовать собственные колебания именно угловых компонент электрического поля в резонансной полости, то вынуждены были бы потребовать наличие у них периодичности по радиальной координате только в таком случае можно получить нетривиальное решение, удовлетворяющее нулевым граничным условиям. Однако характерная частота радиальных колебаний внутри тонкого сферического слоя толщиной по порядку величины равна и в силу оценки существенно превосходит частоту окружных колебаний, которую можно оценить как Следовательно, низкочастотные колебания не должны содержать периодичности по что возможно только для радиальной компоненты напряженности электрического поля . В самом деле, компонента перпендикулярна оболочкам резонатора и не обязана обращаться на них в нуль; по этой причине для нее может существовать нетривиальное решение, не зависящее от Уравнение для функции при имеет вид