Основы макроскопической электродинамики (стр. 4 )

Период дрейфа таких протонов в экваториальной плоскости равен с (около часов).

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найти напряженность магнитного поля и магнитную индукцию внутри и вне однородно намагниченного шара с намагниченностью М.

Задача 2. Вычислить среднюю силу, действующую на заряженную частицу, за время обращения ее по круговой орбите в слабо неоднородном магнитном поле H, постоянном по направлению.

Задача 3. Доказать, что в неоднородном магнитном поле отношение квадрата поперечной скорости частицы к индукции магнитного поля есть адиабатический инвариант.

Задача 4. Получить выражение для энергии магнитного момента во внешнем магнитном поле.

Задача 5. Определить силу, действующую на произвольно ориентированный магнитный момент М1, со стороны другого магнитного момента М2. Расстояние между магнитными моментами равно R. Выполняется ли в данном случае третий закон Ньютона?

Задача 6. Вычислить магнитный момент равномерно заряженного по объему шара радиуса R, вращающегося вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью w. Полный заряд шара равен е.

Задача 7. Бесконечно длинный цилиндр с радиусом R заполнен веществом с магнитной проницаемостью m и помещен во внешнее однородное магнитное поле с напряженностью Н, направленное перпендикулярно оси цилиндра. Вычислить напряженность магнитного поля внутри цилиндра.

Задача 8. Вывести законы Ампера и Био и Савара из уравнений Максвелла.

Задача 9. Получить выражение для силы Лоренца из уравнений Максвелла.

Г л а в а 4. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОЛЕ

В ПРОВОДНИКАХ

4.1. Основные уравнения

До сих пор мы рассматривали постоянные электрические и магнитные поля, причем их можно было изучать раздельно. Теперь перейдем к описанию переменных электромагнитных полей, где электрические и магнитные поля зацепляются друг за друга в уравнениях Максвелла. Мы начнем с низкочастотных электромагнитных волн, распространяющихся в проводниках, для которых система уравнений Максвелла существенно упрощается по сравнению с общим случаем.

Прежде всего, будем считать, что при распространении монохроматической электромагнитной волны длина волны велика по сравнению с размерами рассматриваемой системы L. Это приводит к критерию малости частоты волны w << c/L. Тогда можно пренебречь всеми эффектами, связанными с конечностью скорости электромагнитных волн. Вне проводника тогда имеют место обычные уравнения для статических электрического и магнитного полей, приведенные в предыдущих главах.

Система уравнений Максвелла внутри проводника имеет вид

Здесь s – удельная проводимость проводника. Следует иметь в виду, что, как правило, в проводниках магнитная проницаемость m весьма близка к единице, что и было использовано в этих уравнениях и будет предполагаться всюду далее.

Строго говоря, закон Ома, использованный в последнем из этих уравнений, справедлив для постоянного электрического поля. Чтобы использовать указанное статическое выражение для проводимости проводника, нужно, чтобы частота электромагнитного поля w была бы мала по сравнению с частотой столкновений электронов в проводнике (или других носителей заряда, если речь идет не о металле). Предельные допускаемые этим условием частоты лежат в области инфракрасного диапазона. При комнатной температуре Т речь идет о столкновениях электронов с фононами кристаллической решетки металла, и частота таких столкновений оценивается как Таким образом, для справедливости закона Ома энергия фотона электромагнитного поля должна быть много меньше 0.025 эВ.

Поле внутри проводника является, вообще говоря, неоднородным. Мы должны также еще потребовать, чтобы характерный размер этой неоднородности d был бы велик по сравнению с длиной свободного пробега электронов в проводнике l. Тогда можно говорить о макроскопичности поля: в противном случае закон Ома не справедлив в приведенной выше квазистатической форме.

Исключая электрическое поле из приведенных выше уравнений, получим замкнутое дифференциальное уравнение для переменного магнитного поля:

(1)

Оно имеет формально вид уравнения теплопроводности, или уравнения диффузии.

Граничные условия в низкочастотном случае имеют такой же вид, что и граничные условия для постоянного магнитного поля: на границе проводника должна быть непрерывна нормальная компонента магнитной индукции и касательная составляющая напряженности магнитного поля. Ввиду близости магнитной проницаемости к единице можно заключить, что на границе проводника должен быть непрерывен весь вектор напряженности магнитного поля. Что касается электрического поля, то из приведенных выше уравнений Максвелла следует, что внутри проводника Следовательно, на внутренней поверхности проводника равна нулю нормальная проекция к поверхности проводника для напряженности электрического поля.

Из приведенных выше уравнений Максвелла можно получить выражение для электродвижущей силы x, возникающей в замкнутом проводнике, который пересекается силовыми линиями переменного магнитного поля:

Здесь электродвижущая сила определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля по контуру рассматриваемого линейного проводника, а величина F представляет собой поток магнитной индукции, пронизывающий любую поверхность S, опирающуюся на данный контур. Это соотношение называется законом Фарадея. Его можно вывести из приведенных выше уравнений Максвелла, используя векторные дифференциальные соотношения, либо, наоборот, основываясь на этом соотношении как на вытекающем из эксперимента, получить дифференциальные уравнения Максвелла.

Используя теорему Стокса, можно записать уравнение Максвелла в интегральной форме для циркуляции магнитного поля по контуру С:

Здесь величина J представляет собой полный ток, протекающий через рассматриваемый контур.

4.2.  Нормальный скин-эффект

Выберем поверхность полубесконечного проводника в качестве плоскости xy. Пусть вне проводника имеется монохроматическое электромагнитное поле, падающее нормально на поверхность проводника. Направим вдоль оси x напряженность магнитного поля падающей волны, касательную к поверхности. Обозначим ее через В соответствии с граничными условиями на внутренней поверхности проводника магнитное поле равно При этом мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость проводника велика по сравнению с единицей, так что большая часть электромагнитной энергии отражается от поверхности проводника.

Конечно, в действительности мы должны для физических величин в ответе брать вещественную часть от выражений такого типа, но математически проще решать уравнения с комплексными полями. Такой подход всегда верен, если дифференциальные уравнения для полей являются линейными.

Напряженность магнитного поля внутри проводника обозначим через Она зависит от координаты z, нормальной к поверхности проводника (и отсчитываемой от этой поверхности вглубь проводника для определенности).

Из (1) следует, что магнитное поле внутри проводника удовлетворяет уравнению

Решая его с учетом непрерывности магнитного поля на поверхности проводника, получим для вещественной части

Здесь взято то из двух решений, которое, осциллируя, экспоненциально затухает (а не нарастает) вглубь проводника. Вещественная часть полученного решения дает истинное магнитное поле внутри проводника. Именно малым проникновением электромагнитного поля и почти полным его отражением объясняется металлический блеск хороших проводников.

Характерная глубина проникновения поля в проводник равна

Для применимости полученного решения необходимо, чтобы эта величина была бы велика по сравнению с длиной свободного пробега электронов в проводнике l, но мала по сравнению с размерами проводника L (здесь мы его положили бесконечно большим). В таких условиях низкочастотное магнитное поле проникает лишь в тонкий поверхностный слой проводника. Это и называется нормальным скин-эффектом, а величина d – толщиной скин-слоя. Оценивая длину свободного пробега как где vF – скорость электрона на границе Ферми, получим ограничение сверху на частоту нормального скин-эффекта l << d, т. е.

Например, для медного проводника правая часть этого соотношения соответствует энергии фотона около 0.01 эВ. Итак, численно это условие близко к приведенному выше условию применимости закона Ома .

Для медного провода при пропускании сетевого тока в 50 герц величина d = 1.0 см. Поэтому в обычных проводах, используемых в домах для проводки электричества, конечно, никакого скин-слоя нет. С ростом частоты толщина скин-слоя будет убывать обратно пропорционально квадратному корню из частоты.

Напряженность электрического поля в скин-слое определяется из уравнения Максвелла:

или

Получаем

Для меди величина = 350 эВ. Следовательно, при скин-эффекте величина электрического поля ничтожно мала по сравнению с магнитным полем. Даже при = 0.01 эВ отношение напряженностей электрического поля к магнитному полю составляет 10–3 . Напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны друг другу и расположены в плоскости поверхности проводника. Конечно, это утверждение справедливо и при любом выборе декартовых осей. Так как то можно заключить, что фаза электрического поля отличается от фазы магнитного поля на 3p/4.

В векторной форме связь тангенциальных проекций электрического и магнитного поля можно записать в виде (n– единичный вектор нормали к поверхности проводника):

(2)

Величина z называется поверхностным импедансом проводника.

Полученные соотношения (2) позволяют существенно упростить задачу об отражении произвольных электромагнитных волн от поверхности металла. Так как тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей непрерывны на границе проводника, то соотношением (2) можно воспользоваться как граничным условием (так называемое условие Леонтовича) для определения поля вне проводника. Таким образом, внешняя электромагнитная задача может быть решена без рассмотрения поля внутри металла, используя только граничное условие (2).

Если вне проводника имеются другие компоненты низкочастотных электрического и магнитного полей помимо рассмотренных выше, то по их поводу можно сказать следующее. Нормальная к поверхности металла компонента напряженности электрического поля снаружи металла может быть велика, но она вследствие граничных условий не проникает внутрь металла, так как диэлектрическая проницаемость хорошего проводника весьма велика. Нормальная компонента напряженности магнитного поля возникает на основе закона Фарадея из-за малой тангенциальной компоненты электрического поля и также мала, имея ту же оценку.

4.3.  Токи Фуко

Переменное магнитное поле, проникая внутрь проводника, согласно уравнениям Максвелла создает в нем переменное вихревое электрическое поле. Это электрическое поле создает вихревые токи электронов (так называемые токи Фуко), что в свою очередь приводит к выделению джоулева тепла внутри проводника. Вычислим среднюю по времени тепловую энергию, выделяющуюся в единичном объеме проводника в единицу времени (т. е. выделяющуюся мощность), в условия применимости теории нормального скин-эффекта, рассмотренного в предыдущем разделе. Конечно, при вычислении мы должны оперировать с вещественными величинами полей, так как хотим получить квадратичную по ним величину. Получим

Интегрируя ее по координате z, получим среднюю тепловую энергию, выделяющуюся с единицы поверхности проводника:

Это не что иное, как вектор Пойнтинга, определяющий плотность потока электромагнитной энергии извне внутрь проводника. Отметим, что тепловая энергия пропорциональна квадратному корню из частоты поля. Но частота поля w ограничена также и снизу условием, что толщина скин-слоя d мала по сравнению с размером проводника L.

4.4.  Аномальный скин-эффект

Для чистых металлов при низких температурах Т проводимость s становится очень большой, так что толщина скин-слоя d сильно уменьшается. С другой стороны, при понижении температуры длина свободного пробега электронов в проводнике l возрастает. Таким образом, при низких температурах возникает ситуация, когда d << l. В этом случае закон Ома в стандартной дифференциальной форме, приведенной выше, теряет силу, так как он справедлив лишь, когда электрическое поле однородно на длине свободного пробега (условие макроскопичности системы).

При наложении внешнего тангенциального переменного магнитного поля в металле возникает тангенциальное переменное электрическое поле (перпендикулярное магнитному). Под действием этого поля электроны движутся с ускорением параллельно поверхности проводника или под малым углом к ней. Эти электроны (их называют скользящими электронами) отбирают энергию от внешнего электромагнитного поля. Существенны лишь те электроны, которые на протяжении всей длины свободного пробега l движутся в пределах скин-слоя толщиной d. Закон отражения скользящих электронов от поверхности металла близок к зеркальному.

Ввиду большой длины свободного пробега электронов в кинетическом уравнении для функции распределения f можно пренебречь интегралом столкновений Член с пространственными производными в кинетическом уравнении имеет оценку Здесь f – функция распределения, а k – волновое число. Членом с производной по времени можно пренебречь по сравнению с членом с пространственными производными при условии ограничения частоты поля сверху: . Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана в слабом электрическом поле с напряженностью Е принимает простой вид

Здесь f0 – функция распределения Ферми для электронов металла, а р – импульс электрона. Полагая, что и соответственно , получим

,

где e – энергия электрона. Подставляя эти выражения в кинетическое уравнение, находим возмущение функции распределения компонентой Фурье электрического поля:

Вычислим плотность электронного тока jk (точнее, ее компоненту Фурье), возникающую под действием приложенного электрического поля:

Множитель 2 в квазиклассическом числе состояний появляется из-за двух проекций спина электрона. Подставляя сюда предыдущее выражение для возмущения функции распределения, находим

(3)

Правило обхода простого полюса в этом соотношении отвечает замене в разности w – kv, входящей в выражение для поля . При такой замене поле равно нулю, когда (адиабатическое включение поля).

Пренебрегая расплыванием распределения Ферми f0 (температура Т, выраженная в энергетических единицах, мала по сравнению с энергией Ферми), т. е. считая ее ферми-ступенькой, получим

Подставляя эту зависимость в выражение (3) для тока и записывая , упростим указанное выражение с учетом (m* – эффективная масса электрона на поверхности Ферми)

(4)

Здесь остается только интегрирование по телесному углу. Величины pF и vF – импульс и скорость электрона на границе Ферми, соответственно. В качестве полярной оси Z при интегрировании выберем направление k, перпендикулярное поверхности проводника. Поперечное электромагнитное поле Е и плотность тока j направим вдоль оси X. Введем углы q, y сферической системы координат. Тогда можно ввести эффективную удельную проводимость s соотношением jk = skEk, причем согласно (4)

(5)

Здесь выполнено интегрирование по углу y.

Заменяя в (5) переменную интегрирования перепишем проводимость в виде

(6)

Беря полусумму выражений (5) и (6), перепишем еще раз проводимость в виде

Интеграл в смысле главного значения выпадает из этого выражения; остается лишь вычет в полюсе при q = p/2. Окончательно получаем для компоненты Фурье проводимости простое выражение:

Мы подчеркнули здесь положительность проводимости.

Обратимся теперь к уравнению Максвелла для напряженности электрического поля в скин-слое. Формально оно полностью аналогично соответствующему уравнению Максвелла для нормального скин-эффекта:

(7)

Это уравнение записано в координатном представлении. Для перехода к Фурье-компонентам умножаем это уравнение на exp(–ikz) и интегрируем по z. Интегрируя по частям два раза первое слагаемое, находим

(8)

Учтем, что поле на бесконечности равно нулю, а на поверхности проводника его производная терпит разрыв (см. ниже). Следовательно, последнее слагаемое в (8) равно

Определим величину разрыва производных. Согласно уравнению Максвелла

имеем в проекциях

(9)

При зеркальном отражении скользящих электронов от поверхности проводника функция распределения удовлетворяет граничному условию при z = 0:

Следовательно, электрическое поле распределено симметрично по обе стороны поверхности проводника, т. е. Оно непрерывно на поверхности проводника. Соответственно, производная от поля является нечетной функцией z. В соответствии с (9) имеем

Таким образом,

Подставляя полученные результаты в (7), запишем полученное уравнение для компонент Фурье электрического поля:

Отсюда находим компоненту Фурье электрического поля (учитывая связь с ним плотности тока, полученную выше):

.

В координатном представлении напряженность электрического поля получается из приведенного выражения путем обратного преобразования Фурье:

Ввиду четности подынтегрального выражения имеем

(10)

Глубина проникновения поля в проводник в соответствии с этим выражением определяется характерными значениями 1/k, т. е., величиной

С ростом частоты глубина проникновения уменьшается, но медленнее, чем при нормальном скин-эффекте (там имела место зависимость w–1/2).

Из условия d << l можно найти условие на частоту поля, при которой возможно наблюдать аномальный скин-эффект:

При низких температурах, когда длина свободного пробега электронов в металле l максимальна и порядка 0.01 мм (это уже область остаточного сопротивления металлов, обязанного примесям), получим оценку w >> 107 1/с. Итак, аномальный скин-эффект наблюдается в чистых металлах при низкой температуре в СВЧ-диапазоне. При комнатной температуре его область применимости соответствует гораздо большим частотам и невелика.

Отметим, что закон затухания электрического поля внутри проводника при аномальном скин-эффекте не экспоненциален, в отличие от нормального скин-эффекта. Из (10) следует, что при

z >> d напряженность электрического поля убывает как 1/z2. Действительно, при однократном интегрировании (10) по частям получим

При втором интегрировании по частям получим

Так как величина b пропорциональна частоте поля w, то можно сделать вывод, что амплитуда электрического поля в скин-слое не зависит от частоты.

4.5.  Скин-эффект в инфракрасной области

При дальнейшем увеличении частоты поля наименьшей длиной становится величина vF/w << d << l, так как в соответствии с результатами предыдущего раздела при аномальном скин-эффекте dw ~ w2/3. В металлах эти условия при комнатной температуре реализуются в инфракрасной области спектра. В частности для меди скорость на границе Ферми vF = 1.57 ∙ 108 см/с и для фотона с энергией = 1 эВ получим, что vF/w = 10 Å. Конечно, предполагается, что энергия фотона чтобы ограничиваться областью энергий электрона вблизи границы Ферми.

В отличие от условий предыдущего раздела, в кинетическом уравнении член с производной по времени велик по сравнению с членом с пространственной производной. Он также велик и по сравнению с интегралом столкновений в силу условия , т. е., когда частота поля велика по сравнению с частотой столкновений электрона.

В указанных условиях кинетическое уравнение для функции распределения принимает простой вид:

Вместо пространственной дисперсии, характерной для аномального скин-эффекта, здесь имеет место временная дисперсия. Полагая , получим

.

Компонента Фурье плотности тока записывается аналогично тому, как это делалось в предыдущем разделе:

Подставляя снова невозмущенную функцию распределения в виде ферми-ступеньки (как и в предыдущем разделе), получим

(m* – эффективная масса электрона). Полагая jk = sEk, где s – удельная проводимость, и вычисляя интеграл по углам, получим

Проводимость может быть выражена через концентрацию N электронов проводимости в металле. В соответствии с моделью Ферми при температуре, малой по сравнению с энергией Ферми, находим

.

Следовательно, проводимость равна

Напряженность электрического поля удовлетворяет такому же уравнению (1), что и напряженность магнитного поля:

Направляя нормаль к поверхности проводника вглубь его вдоль оси Z и напряженность электрического поля вдоль оси X, а также подставляя полученное значение для проводимости, перепишем это уравнение в виде

Можно ввести так называемую плазменную частоту электронов металла:

Тогда уравнение для напряженности электрического поля принимает простой вид:

Его решение соответствует полю, убывающему по экспоненциальному закону (но без осцилляций, как в случае нормального скин-эффекта):

Величина d представляет собой глубину скин-слоя в инфракрасной области спектра. Она не зависит от частоты поля w.

Чисто мнимое значение проводимости соответствует тому, что поле полностью отражается от поверхности металла – без какой-либо диссипации. Это отражает тот факт, что не учитывались столкновения электронов, являющиеся причиной диссипации.

В условиях хорошего металла проводимость (по модулю) должна быть велика по сравнению с частотой поля. Так как , то это означает, что должно выполняться неравенство, ограничивающее частоту поля сверху:

ЗАДАЧИ

Задача 1. Показать, что для провода кругового сечения, вдоль которого течет переменный ток частоты w, плотность тока распределена по радиальной переменной согласно закону:

где d – толщина скин-слоя, определенная в п. 4.2, J0 – функция Бесселя.

Задача 2. Для аномального скин-эффекта вычислить поверхностный импеданс. Показать, что его оценка дается соотношением

Задача 3. В случае скин-эффекта в инфракрасной области показать, что когда частота электромагнитного поля w не слишком мала по сравнению с плазменной частотой wр, глубина проникновения поля в проводник дается соотношением

Г л а в а 5. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

В ДИЭЛЕКТРИКЕ

5.1. Основные уравнения

В этом разделе мы выведем уравнения Максвелла для макроскопических электрического и магнитного полей в диэлектрической среде, стартуя с уравнений Максвелла в вакууме для микроскопических полей и набора большого числа молекул (или атомов), а также каких-то заданных внешних зарядов и внешних токов. Методика вывода основана на усреднении путем размазывания любого микроскопического заряда (электрона или атомного ядра в молекуле или атоме) по объему, радиус которого, с одной стороны, велик по сравнению с расстоянием между соседними молекулами, так что в усредняемый объем попадает большое число молекул, а с другой стороны, мал по сравнению с макроскопической неоднородностью рассматриваемой системы (например, с размером диэлектрика).

Обозначим усредняющую функцию, с помощью которой любой точечный заряд или ток размазываются по некоторому объему, через Мы не будем конкретизировать ее явный вид, так как получаемые усредненные уравнения Максвелла для макроскопических полей в диэлектрике, конечно, не должны зависеть от механизма усреднения. Нужно только иметь в виду, что характерный размер этой функции удовлетворяет указанным выше ограничениям сверху и снизу. Усредняющая функция предполагается нормированной, так что

Наиболее просто обстоит дело с первой парой уравнений Максвелла, не содержащей зарядов и токов:

Здесь строчные буквы обозначают микроскопические напряженности электрического и магнитного полей. Усреднение по рецепту

приводит к таким же уравнениям Максвелла для макроскопических полей (обратим внимание, что среднее значение напряженности микроскопического магнитного поля определено как макроскопическая магнитная индукция):

Теперь обратимся к микроскопическому уравнению Максвелла:

Здесь плотность свободных зарядов определяется какими-то внешними зарядами, и ее усреднение проводится формально так же, как и для напряженностей полей. Оно приводит к макроскопической плотности свободных зарядов, которую мы обозначим как r. Сложнее обстоит дело с плотностью связанных зарядов, под которыми понимаются заряды электронов в молекулах (или атомах), а также заряды атомных ядер в этих молекулах. Обозначим далее через n – номер молекулы, а через i – номер электрона, или атомного ядра в молекуле; пусть qin – заряд этого электрона (или ядра) в данной молекуле. Координату молекулы обозначим , а координату электрона (или ядра) в данной молекуле обозначим через . Последняя координата отсчитывается, например, от центра масс данной молекулы, так что она является в макроскопических масштабах весьма малой величиной.

Таким образом, для усредненного значения плотности связанных зарядов имеем

В дальнейшем мы опускаем зависимость от времени всех величин, подразумевая ее. Разлагая в ряд Тейлора это выражение по малой величине с точностью до членов первого порядка и учитывая, что нулевой член обращается в нуль при суммировании по i из-за электронейтральности молекулы (если мы имеем дело с ионом или свободным электроном, то нулевой член разложения исчезает после усреднения ввиду нейтральности всей рассматриваемой диэлектрической среды), получим

Сумма по i определяет индуцированный дипольный момент одной молекулы:

Суммирование по n определяет дипольный момент единицы объема диэлектрической среды, т. е. по определению вектор диэлектрической поляризации P. Если молекула имеет собственный дипольный момент (полярная молекула), то вследствие теплового движения он ориентирован хаотически в пространстве и при усреднении обращается в нуль. Выстраивание этого момента вдоль внешнего электрического поля определяется функцией распределения Больцмана, заменяющей приведенную выше усредняющую функцию f. Это просто вносит дополнительный вклад в вектор диэлектрической поляризации.