Основы макроскопической электродинамики (стр. 7 )

(5)

Интенсивность дипольного излучения одной частицы неполяризованным солнечным светом согласно (3) равна

Деля ее на среднюю по времени плотность потока падающего излучения получим дифференциальное сечение рассеяния излучения (оно имеет размерность площади):

Интегрируя по углу между направлением вектора напряженности падающего электрического поля и направлением на точку наблюдения, легко получить и полное сечение рассеяния

(6)

Умножая сечение рассеяния на число частиц в единице объема, можно получить коэффициент рассеяния.

Полученное решение справедливо и для металлических частиц, для которых в нем нужно просто устремить диэлектрическую проницаемость к бесконечности. Однако в этом случае его справедливость требует, чтобы размер частицы был бы мал не только по сравнению с длиной волны в пустоте, но и с длиной волны внутри самой частицы Это условие выполнить значительно труднее из-за большой диэлектрической проницаемости проводящей среды.

7.5. Поглощение солнечного света парами воды

в атмосфере

Обратимся теперь к поглощению света диэлектрическими пылинками. В качестве примера рассмотрим пары воды – капельки воды субмикронного размера, присутствующие в большом количестве в атмосфере. Молекула воды является полярной, и ее поляризуемость резко уменьшается с ростом частоты внешней световой волны. Согласно модели Дебая (см. раздел 2.5) имеем

,

где – статическая ориентационная поляризуемость, а – время релаксации, связанное с вращательной диффузией молекулы в переменном электрическом поле. Это время может быть выражено через радиус молекулы воды (которая в данной модели предполагается сферической частицей), абсолютную температуру и коэффициент динамической вязкости окружающего воздуха:

.

К примеру, для молекулы воды при комнатной температуре в воздухе, полагая нм, получим значение с. В результате для световых частот видимого диапазона величина , и поляризуемость становится чисто мнимой величиной:

.

Индуцированный дипольный момент капельки равен

здесь N – число молекул в капельке. Напряженность однородного поля внутри капельки связана с напряженностью внешнего поля уже полученным в главе 2 соотношением

. (7)

Здесь – диэлектрическая проницаемость капельки. В рассматриваемом случае ее можно найти из приведенной выше формулы для поляризации капельки :

.

Здесь – число молекул в единице объема капельки (концентрация), V – объем капельки. Отсюда находим выражение для диэлектрической проницаемости (формула Клаузиуса-Моссотти)

. (8)

Здесь мы учли не только ориентационную (мнимую) часть поляризуемости молекул, но и добавили электронную (вещественную) компоненту , которая слабо зависит от частоты света. Определяя для удобства безразмерный параметр , на основании (7) получим

.

Вещественный дипольный момент капельки в соответствии с (5) равен (a – радиус капельки)

.

Теперь мы можем найти мощность Q, поглощаемую одной капелькой в единицу времени, которая определяется законом Джоуля–Ленца:

.

Подставляя сюда выражения для , и производя усреднение по периоду переменного внешнего поля, после несложных преобразований получим достаточно простое окончательное выражение для поглощаемой капелькой мощности; оно не содержит вещественной компоненты диэлектрической проницаемости:

.

Деля это выражение на плотность потока падающей световой энергии , получим сечение поглощения света маленькой капелькой воды:

.

Статическую ориентационную поляризуемость можно выразить через экспериментальную статическую диэлектрическую проницаемость воды (формула Клаузиуса–Моссотти):

Отметим, что оценка

,

где р0 – дипольный момент молекулы воды, полученная в главе 2, менее точна, так как она получена в условиях, когда соседние диполи не взаимодействуют друг с другом – ее хорошо применять только в сильно разбавленных растворах полярных жидкостей в неполярных растворителях. В чистой воде взаимодействие дипольных моментов соседних молекул друг с другом является сильным.

В итоге получаем (V – объем капельки):

.

Для капельки радиуса мкм отношение сечения поглощения к геометрическому сечению составляет .

Что касается сечения рассеяния капельки воды , то оно определяется формулой (6) со значением (малой мнимой частью в выражении (8) для диэлектрической проницаемости можно пренебречь). Отношение сечения рассеяния к геометрическому сечению для такой же капельки радиуса а = мкм равно . Таким образом, свет в основном рассеивается на капельках воды, а не поглощается. Характерная длина поглощения при концентрации таких капелек, равной, к примеру, 1/см3 (когда они занимают всего от общего объема воздуха), составляет км.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Электрический диполь с дипольным моментом находится на расстоянии а от идеально проводящей плоскости. Это расстояние мало по сравнению с длиной излучаемой волны. Вектор дипольного момента перпендикулярен плоскости. Используя метод изображений, найти угловое распределение интенсивности излучения диполя.

Задача 2. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния линейно поляризованного света с частотой w на металлическом шарике малого радиуса а (по сравнению с длиной волны). Толщина скин-слоя предполагается малой по сравнению с радиусом шарика.

Задача 3. Доказать, что у замкнутой системы заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное излучение отсутствует.

Задача 4. Заряд вращается по окружности с постоянной угловой скоростью. Определить степень эллиптичности дипольного излучения заряда как функцию угла q между направлением излучения и плоскостью вращения заряда.

Задача 5. Определить дифференциальное сечение рассеяния эллиптически поляризованной плоской электромагнитной волны (степень эллиптичности равна x) на свободном электроне с массой m и зарядом е.

Задача 6. Вычислить сечение дипольного поглощения неполяризованного света с частотой w металлическим шариком с радиусом а, малым по сравнению с длиной волны света. Проводимость шарика равна s. Толщина скин-слоя велика по сравнению с радиусом шарика.

Г л а в а 8. КВАДРУПОЛЬНОЕ И МАГНИТО-ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

8.1. Основные уравнения

В этой главе мы рассмотрим излучение, обусловленное следующими членами разложения векторного потенциала по степеням малого безразмерного параметра , где – это характерный размер системы, а k = w /c – волновое число. Хотя эти члены, вообще говоря, малы по сравнению с первым дипольным, они существенны в тех случаях, когда дипольный момент системы равен нулю, так что дипольное излучение вообще отсутствует. Начнем с общего решения для векторного потенциала, которое было получено в предыдущей главе:

Пусть начало отсчета системы координат выбрано внутри излучающей системы, при этом , где , тогда имеем

Здесь вектор – единичный вектор, направленный из начала координат в точку наблюдения поля. Пренебрежем отличием от в знаменателе формулы для векторного потенциала, тогда получим

Разлагаем экспоненту под интегралом в ряд по степеням и сохраняя теперь два первых члена, находим

Как показано в предыдущей главе, в первом слагаемом интеграл выражается через дипольный момент системы зарядов , так что имеем

Займемся преобразованием интеграла во втором слагаемом.

Для этого заметим, что справедливо математическое соотношение:

Здесь, как и в предыдущей главе, мы использовали известное уравнение непрерывности для токов и зарядов (r – плотность зарядов):

Введем тензор квадрупольного момента системы:

,

обладающий свойством и вспомогательный вектор такой, что тогда приведенное выше математическое соотношение, умножив его скалярно на n, можно переписать в векторной форме:

Рассмотрим теперь вектор магнитного момента системы:

Имеем

Исключая из этих двух равенств второй интеграл, получаем

Таким образом, выражение для векторного потенциала примет вид

При этом мы опустили последнее слагаемое в интеграле, так как это слагаемое пропорционально вектору n, а к векторному потенциалу А можно прибавить, не изменяя магнитное и электрическое поля, любой вектор пропорциональный n (студенту предлагается это доказать самостоятельно).

8.2. Интенсивность излучения

Зная векторный потенциал , мы можем определить поля Н и Е с помощью общих формул

При вычислении ротора нужно дифференцировать только быстро меняющуюся экспоненту только такие слагаемые дают поля, убывающие обратно пропорционально первой степени расстояния r. Несложные вычисления дают:

Интенсивность излучения в телесный угол определяется как

Дополнительный множитель 1/2 добавлен из-за усреднения по времени вещественной части магнитного поля. Мы определим здесь полное излучение, т. е. энергию, излучаемую системой в единицу времени по всем направлениям. Для этого усредним по всем направлениям вектора n; полное излучение равно этому среднему, умноженому на При усреднении квадрата магнитного поля взаимные произведения первого и второго, а также первого и третьего членов в H исчезают, так как содержат нечетное количество сомножителей . Средние квадраты легко вычислить, воспользовавшись следующими выражениями для средних от произведений компонент единичного вектора:

С помощью этих формул можно также убедиться, что произведение второго и третьего членов при усреднении исчезает, так как оказывается пропорциональным выражению которое равно нулю как свертка симметричного тезора с антисимметричным объектом .

Несложные вычисления (их студент может произвести самостоятельно) дают в результате

Таким образом, полное излучение состоит из трех независимых частей; они называются дипольным, квадрупольным и магнито-дипольным излучениями.

Угловые распределения электрического и магнитного дипольного излучения имеют простой вид: они пропорциональны квадрату синуса угла между направлением вектора диполя и направлением на точку наблюдения. В отличие от этого, угловое распределение квадрупольного излучения в общем случае имеет весьма громоздкий вид. Типичную картину углового распределения квадрупольного излучения поясним на приводимом ниже примере.

Пример. Заряженная несжимаемая сферическая капля колеблется с малой амплитудой. Определить угловое распределение квадрупольного излучения.

Из соображений симметрии ясно, что все недиагональные элементы тензора квадрупольного момента Dab равны нулю. Если, например, ось Z является осью колебаний капли, то можно обозначить:

Последнее равенство вытекает из соображений симметрии и из приведенного выше условия, что сумма диагональных элементов тензора квадрупольного момента равна нулю. Следовательно, вспомогатель - ный вектор D имеет компоненты:

Интенсивность квадрупольного излучения дается соотношением

Подставляя приведенные выше компоненты вектора D, находим окончательно

.

Здесь угол q отсчитывается от оси колебаний капли. Таким образом, угловое распределение квадрупольного излучения представляет собой четыре лепестка (вместо двух для электрического дипольного и магнитного дипольного излучений). Излучение отсутствует как вдоль оси колебаний капли, так и в перпендикулярном направлении. Полученные результаты применимы, когда длина волны излучения велика по сравнению с размерами капли.

8.3. Сила отдачи

Излучающая система может испытывать действие силы отдачи со стороны излучения. Эта сила равна потере импульса системой в единицу времени. Импульс, уносимый излучением в единицу времени через единичную площадку в направлении вектора , дается выражением

где

есть среднее по времени значение плотности потока энергии. Это следует из того, что для фотонов, как и для всех безмассовых частиц, связь энергии и импульса дается выражением Таким образом, усредненная по времени сила отдачи дается интегралом

Подставляем выражение для магнитного поля, получим

где черта, как и выше, означает усреднение по направлениям вектора n. Результат усреднения с помощью формул, приведенных в предыдущем разделе, есть

Остальные вклады в силу исчезают либо по причине нечетного количества сомножителей либо из-за свертки симметричного тензора с антисимметричным.

ЗАДАЧИ

Задача 1. По проволочной петле площади протекает ток . Найти полное излучение системы.

Задача 2. Найти полное излучение шара вращающегося вокруг некоторого произвольного диаметра. Шар состоит из равномерно заряженных четвертинок. Заряды четвертинок одинаковые по величине и чередующиеся по знаку (рис. 6).

Рис. 6. Шар из равномерно заряженных четырех частей

Задача 3. Атом гелия в одном из состояний можно представить себе следующим образом. Два электрона вращаются вокруг альфа-частицы по одной окружности, находясь на одном диаметре (рис. 7). Рассчитать время жизни атома гелия. Сравнить его с временем жизни атома водорода.

Рис. 7. Модель атома гелия

Задача 4. Электрический диполь с дипольным моментом находится на расстоянии а от идеально проводящей плоскости. Это расстояние мало по сравнению с длиной излучаемой волны. Вектор дипольного момента параллелен плоскости. Используя метод изображений, найти угловое распределение интенсивности излучения диполя. Показать, что в данном случае имеется как магнито-дипольное, так и электрическое квадрупольное излучение.

Г л а в а 9. ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

9.1. Основные уравнения

В этой главе мы рассмотрим излучение заряженной частицы, которая летит с постоянной скоростью и проходит границу раздела двух диэлектрических сред. Чтобы упростить задачу, предположим, что граница раздела является плоской, частица летит из вакуума в среду с некоторой диэлектрической проницаемостью e и что направление движения частицы перпендикулярно плоскости раздела сред. Кроме того, будем считать, что скорость частицы V мала по сравнению со скоростью света, так что рассматриваемая задача является нерелятивистской. Направление движения частицы выберем за ось x, причем граница раздела сред соответствует значению x = 0, положительные значения этой координаты соответствуют диэлектрической среде, а отрицательные значения – вакууму.

Неоднородное волновое уравнение для электрического скалярного потенциала, создаваемого заряженной частицей, имеет в данном случае следующий вид:

(1)

Здесь q – заряд движущейся частицы. Правая часть (1) отражает равномерное движение заряда из вакуума в среду вдоль оси x. Что касается векторного потенциала, то в нерелятивистском приближении его вычисление не потребуется, так как его отношение к скалярному потенциалу порядка V/c << 1.

Удобно с точки зрения вычисления разложить скалярный потенциал в интеграл Фурье по времени и по поперечным по отношению к движению заряда координатам y, z:

Умножая (1) на экспоненту и интегрируя по времени и по поперечным координатам, получим более простое уравнение для фурье-компоненты потенциала, которую мы сокращенно обозначим как Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

(2)

Решение уравнения (1) или (2) представляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения (как для вакуума, так и для диэлектрической среды). Первое решение представляет собой поле движущегося заряда, в то время как второе решение есть поле свободного излучения, которое и называется переходным электромагнитным излучением. Наша цель – определить энергию этого испущенного излучения за время всего пролета заряженной частицы как функцию его частоты и в зависимости от выбранного направления излучения (для определенности, в сторону вакуума, противоположную направлению движения частицы).

9.2. Частное и общее решения волнового уравнения

Что касается частного решения неоднородного уравнения, то при его нахождении можно в нерелятивистском приближении пренебречь всем вторым слагаемым в левой части (2) (ниже мы в этом убедимся). Тогда оно непосредственно элементарно интегрируется:

(3)

При подстановке его в (2) видно, что второе слагаемое в левой части (2) имеет малость (V/c)2. Ниже мы убедимся в том, что поперечные волновые числа имеют оценку w/с, и ими также можно пренебречь при расчете (3).

Возвращаясь к координатно-временному представлению, запишем частное решение в виде монохроматической волны с заданной частотой и волновыми числами в поперечном направлении:

Теперь обратимся к общему решению однородного волнового уравнения (1), характеризующему, как уже говорилось выше, поле свободного излучения. В этом случае правая часть (1) отсутствует, но нельзя пренебрегать вторым слагаемым в левой части, в отличие от приведенного выше частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения (1) имеет простой вид (но, конечно, различный в вакууме и диэлектрике):

(4)

Знак + в (4) относится к волне в диэлектрике (это прошедшая волна), а знак – к волне в вакууме (это отраженная волна), причем > 0. Подставляя это решение в (1) (без правой части), получим дисперсионное соотношение, связывающее волновые числа бегущей волны с частотой:

(5)

Аналогичное уравнение и решение имеют место для векторного потенциала, введение которого необходимо для поля свободного излучения, в отличие от нерелятивистского поля движущегося заряда (3). Однако вместо скалярного и векторного потенциалов можно обратиться прямо к аналогичному уравнению для напряженности электрического поля и его решению, имеющему также структуру (4).

9.3. Напряженность электрического поля

Получим теперь общее решение однородного волнового уравнения для проекций напряженности электрического поля. В вакууме находим

(6)

Коэффициенты здесь подобраны так, чтобы выполнялось уравнение Максвелла (в вакууме). Отметим, что в соответствии с (5) все проекции волнового вектора имеют оценку w/с, что учитывалось выше.

Для частного решения это уравнение, конечно, не выполняется ввиду наличия свободного заряда. Частное решение в вакууме для проекций напряженности поля определяется градиентом скалярного потенциала (3) и имеет вид (уже в координатно-временном представлении):

(7)

В соответствии с (5) в соотношениях (6) и (7) имеем для области вакуума закон дисперсии:

Обратимся теперь к аналогичным величинам в диэлектрике. Вместо (6) имеем для прошедшей волны свободного излучения решение в виде (индекс д означает диэлектрик):

(8)

В соответствии с (5) имеем закон дисперсии в диэлектрике в виде

(9)

Наконец, для частного решения неоднородного уравнения в диэлектрике вместо (7) получим

(10)

Система решений (6–10) содержит две неизвестные константы: Е’ и . Для их определения нужно наложить соответственно два граничных условия: непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического поля и нормальных составляющих электрической индукции на границе раздела вакуума и диэлектрика. Конечно, можно взять тангенциальные составляющие напряженности только вдоль одной оси, например, y. Это обусловлено равноправием обоих поперечных направлений (второе условие будет иметь точно такой же вид). Кроме того, можно ограничиться сшивкой в начале координат.

9.4. Сшивка полей на границе раздела

вакуум–диэлектрик

Приравниваем сначала нормальные компоненты электрической индукции в начале координат:

Подставляя в это условие соотношения (6–10), получим простое соотношение

Теперь приравниваем проекции напряженности электрического поля на ось y:

Исключая поле в диэлектрике из двух последних уравнений, находим амплитуду поля в вакууме:

Подставляя в это соотношение полученные выше выражения для проекции волнового вектора на нормаль к границе раздела, находим окончательно

.

Далее удобно ввести углы сферической системы координат с осью вдоль направления движения частицы, которые характеризуют направление (назад) распространения (т. е. волнового вектора) свободного излучения:

(11)

Тогда предыдущее выражение переписывается в более компактной форме:

(12)

Однородное решение (6) для напряженности поля в вакууме переписывается в виде

(13)

9.5. Энергия переходного излучения

На основе выражений (12–13) можно вычислить теперь энергию переходного излучения. При этом учтем, что для электромагнитной волны напряженность магнитного поля численно равна напряженности электрического поля, и поэтому энергия свободного излучения, проинтегрированная по всему пространству (цуг излучения уходитдалеко влево от границы раздела с течением времени, так что речь идет о всем пространстве, а не о его половине), имеет вид

Подставляя разложение напряженности электрического поля в интеграл Фурье по времени и поперечным координатам, находим

(14)

Далее последовательно вычислим ряд интегралов в (14). Прежде всего имеем

Аналогичный вид имеет интеграл по координате z. После этого выражение (14) становится более коротким:

(15)

Интегрирование по координате x также проводится элементарно, если учесть, что напряженность поля пропорциональна . Получаем

Правая часть этого выражения может быть переписана с учетом закона дисперсии для волнового числа в вакууме:

Отсюда

Здесь мы использовали соотношения (11) для волновых чисел. Подставляя полученные выражения в (15), упрощаем его:

(16)

Дополнительный множитель 2 учитывает два знака частоты излучения. Тем самым мы получаем спектральное распределение излучения по его частоте.

Интегрирование по поперечным волновым числам может быть упрощено при переходе из декартовой в полярную систему координат:

При этом мы использовали соотношение (11) для волновых чисел. Здесь dW – телесный угол для излученной энергии. Подставляя последнее соотношение в (15), еще более упрощаем его, получая распределение излучения по частотам и углам:

(17)

Из (13) следует, что

Подставляя это соотношение в (17), находим

(18)

Нам осталось только подставить выражение (12) в (18). Окончательно находим спектрально-угловое распределение энергии переходного излучения в виде

(19)

В этом соотношении угол q меняется от 0 до p/2 (для излучения назад). В действительности спектральное распределение зависит от частоты через зависимость от нее диэлектрической проницаемости e. В частности, при очень больших частотах, как мы видели выше, диэлектрическая проницаемость обращается в единицу, а соответственно энергия излучения (19) исчезает. Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты в случае больших частот, как мы видели выше, имеет довольно простой вид:

Здесь N – концентрация электронов в среде, m, e – масса и заряд электрона соответственно. В этом случае согласно (19) энергия излучения обратно пропорциональна w 4, т. е. быстро убывает.

Отметим также, что переходное излучение отсутствует в направлении, строго обратном направлению движения частицы, и в направлении, параллельном плоскости раздела сред. В соответствии с (13) переходное излучение линейно поляризовано в плоскости, составленной волновым вектором волны и осью движения заряженной частицы. Отметим также, что энергия излучения пропорциональна квадрату скорости заряженной частицы.

При падении частицы на среду (например, идеальный проводник), когда диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности (при не слишком больших частотах), выражение (19) упрощается:

. (20)

В этом случае оно может быть элементарно проинтегрировано по углам:

(21)

Конечно, это выражение справедливо вплоть до тех частот, покуда диэлектрическая проницаемость остается большой. Конечно, соотношения (20–21) применимы не только для металла, но и, например, для воды (e = 81). Однако, конечно, нужно учитывать, что диэлектрическая проницаемость полярных диэлектриков быстро убывает с ростом частоты.

Если частица падает, наоборот, из диэлектрической среды в вакуум, то ее излучение, как видно из приведенных выше зависимостей, описывается теми же соотношениями (меняется знак скорости, а энергия излучения определяется ее квадратом). Отметим, что в релятивистском случае появляются члены, линейные по скорости, и соотношения будут различаться.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Получить спектральное распределение энергии переходного излучения в случае, когда диэлектрическая проницаемость разреженной среды близка к единице.

Задача 2. Получить спектрально-угловое распределение энергии переходного излучения при движении релятивистской заряженной частицы из вакуума в диэлектрическую среду.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Конечно, данное учебное пособие не включает ряд разделов макроскопической электродинамики: эффект Черенкова, магнитная гидродинамика, теория сверхпроводимости, волноводы, резонансные полости и др. Их включение значительно увеличило бы объем пособия. В цитируемой ниже литературе эти разделы достаточно подробно рассматриваются. Мы постарались сосредоточить внимание читателя на качественной стороне явлений, стремясь сократить и упростить по возможности их количественную сторону. Например, при изложении переходного излучения мы ограничились нерелятивистским движением заряженной частицы, что существенно упростило математическое описание процесса. Авторы будут благодарны читателям за замеченные неточности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. , Электродинамика сплошных сред. –

М.: Наука, 2002.

2. , М. Теория поля. – М.: Наука, 2002.

3. Джексон Дж. Классическая электродинамика. – М.: Мир, 1965.

4. , Сборник задач по электродинамике.

– М.: Наука, 2002.

5. Сборник задач по классической электродинамике. –

М.: Наука, 1977.

6. и др. Введение в электродинамику сплошных сред:

Учеб. пособие – М.: МФТИ, 1981. – 60 с.

7. Фейнмановские лекции по физи-

ке. Электричество и магнетизм. Т.5. – М.: Мир, 1966.

8. Фейнмановские лекции по физи-

ке. Электродинамика. Т. 6. – М.: Мир, 1966.

9. Распространение электромагнитных волн в плазме.

– М.: Наука, 1967.

10. , Электродинамика и распростра-

нение радиоволн. – М.: Наука, 1989.

11. Классическая электродинамика. –М.:

Физматгиз, 1963.

12. Электродинамика. – М.: ИЛ, 1958.

13. , Электродинамика сплошных сред:

Учеб. пособие. – М.: МФТИ, 1999. – 160 с.

14. Теория относительности и электродинамика:

Учеб. пособие. – М.: МФТИ, 1993. – 84 с.

15. , Электродинамика атмосферы:

Учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2006. – 128 с.