Основы макроскопической электродинамики (стр. 1 )

ОСНОВЫ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

,

Учебное пособие

Москва, 2007

УДК 537.67(075)

ББК 26.233я73

Д69

Рецензенты:

Кафедра атомной физики, физики плазмы и микроэлектроники

физического факультета МГУ им.

(заведующий кафедрой: профессор )

Доктор физико-математических наук,

профессор

,

Основы макроскопической электродинамики:

Учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2007. – 131 с.

ISBN -4

Учебное пособие посвящено изложению электродинамики сплошных сред на простых примерах. Большое внимание уделяется физической интерпретации теории. Пособие представляет собой часть общего курса электродинамики, читаемого в Московском физико-техническом институте для студентов третьего курса на факультете аэродинамики и летательной техники. Акцент в выборе материала пособия был сделан на электрических и магнитных свойствах атмосферы, ионосферы, распространения электромагнитных волн в металлах и плазме. Предназначено для студентов технических вузов, аспирантов и преподавателей.

УДК 530.145

Ó Московский физико-технический университет

(государственный университет), 2007

ISBN -4 Ó , , 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………….	6
Глава 1. Электростатика проводников…………..	7
1.1. Основные уравнения……………………………...	7
1.2. Граничные условия на поверхности проводника………………………………. ……….	8
1.3. Двойной электрический слой на поверхности проводника………………………...........................	11
1.4. Метод изображений………………………………	16
1.5. Разложение в ряды Фурье……………………….. 1.6. Метод конформного отображения ………………	19 21
Глава 2. Электростатика диэлектриков………..	25
2.1. Основные уравнения……………………………...	25
2.2. Разложение в ряд по полиномам Лежандра…….. 2.3. Диэлектрическая проницаемость смеси ………...	26 28
2.4. Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью атомов в диэлектрике……… 2.5.Зависимость ориентационной поляризуемости полярных молекул от частоты электрического поля ………………………………………………..	29 32
Глава 3. Постоянное магнитное поле……………	37
3.1. Основные уравнения……………………………...	37
3.2. Магнитная экранировка…………………………..	40
3.3. Дрейф частиц в слабо неоднородном магнитном поле ………………………………………………..	42
3.4. Дрейф протонов солнечного ветра в экваториальной плоскости Земли ………………	47
Глава 4. Квазистационарное поле в проводниках	53
4.1. Основные уравнения……………………………...	53
4.2. Нормальный скин-эффект ……………………….	55
4.3. Токи Фуко………………………………………….	58
4.4. Аномальный скин-эффект……………………….. 4.5. Скин-эффект в инфракрасной области………….	59 64
Глава 5. Уравнения Максвелла в диэлектрике…	68
5.1. Основные уравнения……………………………...	68
5.2. Магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты………………………… 5.3. Энергия и поток энергии электромагнитного поля………………………………………………... 5.4. Преобразования Лоренца для микроскопических полей ……………………………………………… 5.5. Преобразования Лоренца для макроскопических полей в диэлектрической среде ………………… 5.6. Связь между электрическими и магнитными полями в движущемся диэлектрике …………….	70 72 74 78 80
Глава 6. Распространение электромагнитных волн в атмосфере…...............................................	84
6.1. Основные уравнения ………….………………….	84
6.2. Распространение электромагнитных волн в магнитосфере Земли………………………………	86
6.3. Резонансы Шумана………………………………. 6.4. Отражение радиоволн от Е-слоя ионосферы …..	90 94
Глава 7. Дипольное излучение…………..................	98
7.1. Основные уравнения……………………………...	98
7.2. Рассеяние солнечного света в атмосфере ………	100
7.3. Почему небо голубое?…………………………….	105
7.4. Рассеяние света на малых диэлектрических частицах………………………………….………... 7.5. Поглощение солнечного света парами воды в атмосфере …………………………………………	106 108
Глава 8. Квадрупольное и магнитодипольное излучение ………………………………………… 8.1. Основные уравнения …………………………….. 8.2. Интенсивность излучения ……………………….. 8.3. Сила отдачи ……………………………………….	113 113 115 117
Глава 9. Переходное излучение…………………...	120
9.1. Основные уравнения……………………………...	120
9.2. Частное и общее решения волнового уравнения………………………………………....	121
9.3. Напряженность электрического поля…………..	122
9.4. Сшивка полей на границе раздела вакуум – диэлектрик………………………………………..	124
9.5. Энергия переходного излучения…………………	125
Заключение……………………………………………	130
Список литературы…………………………………….	131

ПРЕДИСЛОВИЕ

Этот курс лекций читается авторами студентам 3-го курса факультета аэромеханики и летательной техники МФТИ в течение одного семестра. Задачей курса было желание изложить основные разделы классической электродинамики на простых физических примерах. Предполагается, что студент знает основы теории электричества и магнетизма, основы квантовой физики из соответствующих разделов общей физики, читаемой в институте на младших курсах, а также стандартный курс высшей математики, из которого здесь часто используются соотношения векторного анализа.

Авторы, конечно, не ставили целью написать полный курс макроскопической электродинамики, поскольку существуют два прекрасных пособия, не дублирующие друг друга: 8-й том курса теоретической физики и “Электродинамика сплошных сред” и “Классическая электродинамика” Дж. Джексона. В перечне литературы в конце данного пособия имеются и другие книги по макроскопической электродинамике. Однако прочесть такие книги далеко не по силам каждому студенту из-за их большого объема и совершенно разной степени сложности разных разделов. Как и в курсе и , мы использовали гауссову систему единиц СГСЕ.

В соответствии с профилем факультета акцент в выборе примеров был сделан на электрических и магнитных свойствах атмосферы, ионосферы, распространения электромагнитных волн в металлах и плазме ионосферы. С точки зрения электродинамики рассмотрены и вопросы теории относительности. Предполагается, что студент знаком с основами этой теории из курса общей физики. Во многих случаях даются числовые оценки.

При изложении материала совсем простые выкладки обычно предоставляются читателю (например, дифференцирование элементарных функций при решении задач). Читателю предлагаются также выкладки, которые дублируют аналогичные расчеты в предыдущей теме. Более сложные выводы даются подробнее (например, вывод макроскопических уравнений электродинамики из микроскопических уравнений Максвелла). Каждая глава начинается с раздела “Основные уравнения”, в котором даются соотношения, используемые в данной теме. Их выводы приводятся лишь для тех соотношений, которые не изучались студентами в курсе общей физики.

Г л а в а 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ

1.1. Основные уравнения

В электростатическом случае напряженность поля внутри проводников равна нулю. Если в проводнике есть заряды, то они должны быть распределены по его поверхности. Вне проводников постоянное электрическое поле с напряженностью и электростатическим потенциалом j удовлетворяет уравнениям

На поверхности проводника потенциал постоянен. Электростатическая энергия проводника связана с зарядом q этого проводника и потенциалом на его поверхности соотношением

Множитель в этом выражении связан с тем, что потенциал проводника пропорционален заряду, помещаемому на этот проводник, так что при последовательном увеличении заряда возникает интеграл типа

В случае нескольких проводников их энергия равна сумме таких выражений. Дифференцируя эту энергию по какой-либо координате, получим силу, действующую в соответствующем направлении.

1.2.  Граничные условия на поверхности проводника

Нормальная компонента напряженности поля En на поверхности проводника связана с поверхностной плотностью заряда s соотношением, получаемым из теоремы Гаусса, согласно которой поток электрического поля через замкнутую поверхность равен умноженному на 4p полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью:

В действительности, индуцированный электрическим полем заряд распределен по малому объему вблизи поверхности проводника, затухая вглубь проводника. Распределение заряда можно найти из следующих соображений. Обозначим через x > 0 координату, отсчитываемую нормально от плоской поверхности полубесконечного проводника вглубь проводника. Концентрация свободных электронов проводника равна квазиклассическому числу состояний в единичном объеме (множитель 2 возникает из-за двух спиновых состояний электрона)

(1)

Здесь – импульс на границе Ферми, т. е. максимальный импульс электрона в точке x, – постоянная Планка. Полная энергия электрона в точке x в равновесии должна быть постоянна:

. (2)

В противном случае электрон будет перемещаться вдоль оси x под действием градиентной силы В формуле (2) величины e и m – заряд и масса электрона. Далеко вглубь поверхности проводника потенциал , создаваемый внешним электрическим полем с нормальной компонентой En вдали от проводника, обращается в нуль. Поэтому в формуле (2) константа равна (с учетом (1)):

(3)

Здесь n – концентрация электронов вдали от поверхности проводника. Из условия электронейтральности она равна просто концентрации атомов, если на каждый атом в проводнике приходится один свободный электрон (как, например, для меди). Величина (3) называется энергией Ферми.

Из формулы (2) находим связь потенциала с объемной плотностью зарядов

Считая внешнее электрическое поле слабым (соответствующее условие будет дано ниже), разложим правую часть этого выражения в ряд Тейлора:

(4)

Уравнение Пуассона , где r – объемная плотность заряда, в данном одномерном случае приобретает вид

(5)

Подставляя сюда выражение (4), получим замкнутое самосогласованное уравнение для потенциала (уравнение Томаса–Ферми):

(6)

где введена длина Томаса–Ферми

(7)

Здесь Å – боровский радиус. Например, для меди концентрация электронов проводимости равна 8.45 ∙ 1022 см-3. Следовательно, согласно (7) длина Томаса-Ферми для меди равна 0.55 Å. На такой длине убывает плотность заряда вглубь проводника. Отметим, что длина Томаса-Ферми сравнима с постоянной кристаллической решетки металла.

Так как напряженность электрического поля , то для нее справедливо такое же уравнение (6), так что его решение можно записать в виде

(8)

Переписывая уравнение (5) в виде

(9)

и интегрируя его, получим в правой части поверхностную плотность зарядов

т. е. получим соотношение как и должно быть. Величина s положительна, если вектор напряженности электрического поля направлен от проводника (En > 0) – в этом случае поле подтягивает к себе положительные заряды, уменьшая плотность электронов проводимости на поверхности, т. е. величина отрицательна. Наоборот, если электрическое поле направлено внутрь проводника, величина положительна. Объемная плотность электронов убывает вглубь проводника на характерной длине Томаса–Ферми по закону, вытекающему из (8) и (9):

(10)

Условие применимости разложения в ряд Тейлора состоит в малости правой части (10) по сравнению с n. Получаем

.

В приведенном выше примере меди это означает, что напряженность приложенного электрического поля должна быть значительно меньше, чем 8 ∙ 108 В/см. При бóльших полях кристаллическая решетка проводника начнет разрушаться.

Соотношение (1) справедливо для вырожденного электронного газа, в частности для металлического проводника, когда тепловая энергия электронов мала по сравнению с энергией Ферми (3). Типичные значения энергии Ферми имеют порядок величины 10 эВ. Противоположный предельный случай имеет место для высокотемпературной плазмы. В соответствии с классической формулой Больцмана при температуре электронов Т вместо (5) получим следующее уравнение для электростатического потенциала:

(11)

Разложение в ряд Тейлора, проведенное в (11), справедливо при условии . Таким образом, потенциал экспоненциально затухает на характерной глубине (вместо длины Томаса–Ферми а)

называемой радиусом Дебая. Соответственно вместо (10) получим следующий закон убывания плотности электронов вглубь плазмы:

(12)

В заключение этого раздела отметим, что приведенные выше рассуждения относились к покоящейся плоской границе проводника. Если эта плоская поверхность движется вдоль нормали к ней, то можно перейти в систему отсчета, связанную с поверхностью. При этом нормальная проекция вектора напряженности электрического поля вне поверхности не изменится (см. лоренцево преобразование электромагнитных полей в гл. 12). Касательная составляющая вектора напряженности электрического поля меняется; появляется и перпендикулярная к ней тангенциальная компонента напряженности магнитного поля:

Здесь V – скорость поверхности. Поверхностная плотность зарядов не меняется при движении поверхности, так как она определяется нормальной проекцией электрического поля. Внутри движущегося проводника поля отсутствуют.

1.3. Двойной электрический слой на поверхности

проводника

Даже в отсутствие внешнего электрического поля, рассмотренного в предыдущем разделе, свободные электроны металлического проводника, имея определенную кинетическую энергию, стремятся вылететь с его поверхности. Далеко вылететь они не могут, так как притягиваются обратно силой электрического изображения. Таким образом, вне проводника на расстояниях порядка длины Томаса–Ферми (см. предыдущий раздел) имеется облако электронов, в то время как внутри проводника нехватка электронов порождает положительный электрический заряд. В итоге получаем двойной электрический слой на поверхности металлического проводника. Электрическое поле внутри такого слоя имеет масштаб атомного электрического поля (электрическое поле на орбите основного состояния атома водорода), т. е. оно гораздо больше какого-либо внешнего электрического поля.

Возникает задача об описании двойного электрического слоя, причем возмущение внешнего электрического поля, рассмотренное в предыдущем разделе, является ничтожно малой поправкой к распределению потенциала вблизи поверхности без какого-либо внешнего электрического поля.

В области вне проводника x > 0 (координата x нормальна к плоской поверхности проводника) уравнение Пуассона для потенциала j(x) имеет вид

,

где n(x) – концентрация электронов вне проводника на расстоянии x от его поверхности. В дальнейшем удобно использовать атомную систему единиц , где e, me – заряд и масса электрона соответственно. Как уже обсуждалось в предыдущем разделе, концентрация электрона связана с импульсом Ферми p(x) соотношением

В равновесии полная энергия электрона постоянна:

Нулевое значение константы следует из граничного условия на бесконечности, где нет электронов, а потенциал равен нулю.

Из трех полученных уравнений получаем замкнутое уравнение для электростатического потенциала

(1)