Основы макроскопической электродинамики (стр. 6 )

.

Поскольку мы интересуемся собственными колебаниями с наименьшими частотами, нужно оставить только нулевую гармонику в Фурье-разложении

,

которая не зависит от . В результате для функции получается обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Ограниченное при и решение данного уравнения существует лишь в том случае, когда

, ,

и выражается через полиномы Лежандра: Таким образом, собственные частоты, обусловленные колебаниями по переменной есть

; (5)

для нескольких первых частот находим

Гц (), Гц (),

Гц (), 33.4 Гц (l = 4).

Это так называемые резонансы Шумана (W. Schumann, теория – 1952 г.). Они были экспериментально обнаружены в 1960 г. по характерным максимумам в энергетических спектрах атмосферных шумов. Основным источником возбуждения волн являются вертикальные молниевые разряды. Они наблюдались также и после атомных взрывов в атмосфере. Но экспериментальные значения частот резонансов оказались несколько меньше: 8, 14, 20, 26 Гц. Различие обусловлено тем, что стенка резонатора – ионосфера – не является идеальным проводником. Наличие скин-слоя не только приводит к плавному затуханию волны, но и уменьшает ее собственную частоту по сравнению с (5), так как эффективно увеличивает объем резонатора (в данном случае за счет увеличения высоты R), позволяя волне проникать на большие высоты.

Определим магнитное поле в данном типе колебаний. Проектируя уравнение Максвелла:

на тангенциальное (по отношению к стенкам полости) направление , получим

.

Следовательно,

.

Нетрудно убедиться, что остальные компоненты равны нулю, и .

В общем случае функция зависит также от переменной и удовлетворяет уравнению

,

решение которого выражается через сферические функции: – номер гармоники в Фурье-разложении по переменной Для частоты собственных колебаний при этом получается прежнее выражение (2), т. е. колебания вырождены по значениям проекции момента m = –l, –l + 1, …, l – 1, l. Это вырождение с математической точки зрения аналогично вырождению квантово-механических уровней энергии частицы в центральном поле. Влияние магнитного поля Земли приводит к расщеплению этих резонансных частот на 2l + 1 компонент.

Затухание полученных стоячих волн связано с ионосферной стенкой резонатора, имеющую определенную глубину скин-слоя (s – удельная проводимость ионосферы). Экспериментально d порядка 50 км на наименьшей частоте резонанса Шумана l = 1 (здесь надо учесть быстрый рост s с высотой). Джоулевы потери энергии волны в единице объема скин-слоя в единицу времени составляют sЕin2/2, а в расчете на единицу нижней поверхности ионосферы - dsЕin2/4. Здесь Ein – напряженность электрического поля в ионосфере. Она связана с напряженностью электрического поля в волне в соответствии с граничными условиями для нормальной проекции напряженности:

.

Деля джоулевы потери на поток энергии h, проходящий через сечение атмосферы высотой h и шириной 1 м, получим отношение, характеризующее коэффициент затухания волны. Обратная величина характеризует длину, на которой затухает волна. Подставляя значение h = 60 км и d = 50 км, получим для длины поглощения значение порядка 6000 км. Таким образом, волны распространяются на значительные расстояния вокруг Земли. Затухание в нижней границе – мировом океане – гораздо меньше из-за весьма малой глубины скин-слоя d.

6.4. Отражение радиоволн от Е-слоя ионосферы

Экспериментальная электронная концентрация в нижнем слое ионосферы E (90–140 км) линейно растет с высотой Исследуем отражение радиоволн от этого слоя. Диэлектрическая проницаемость ионосферы, обязанная свободным электронам, равна

.

Здесь – частота радиоволны. Вкладом нейтральных молекул в поляризацию ионосферы можно пренебречь. Так как по предположению задачи то выражение для представимо в виде

, (6)

где величина характеризует скорость увеличения с высотой, а есть высота, на которой ; эти постоянные зависят от частоты волны. На практике составляет примерно 1/см3 при км (нижняя граница E-слоя) и 1/см3 при км (верхняя граница E-слоя). Если , то волны с такими частотами проходят E-слой.

Рассмотрим монохроматическую радиоволну, распространяющуюся вдоль вертикальной к поверхности Земли оси Записывая уравнение Максвелла для напряженности электрического поля (вектор перпендикулярен

, (7)

приведем его с учетом (6) к виду

, (8)

где Величина имеет размерность длины и в соответствии с (8) характеризует расстояние, на котором существенно изменяется напряженность электрического поля. Уравнение (8) можно еще упростить, перейдя к переменной :

. (9)

Это – т. н. уравнение Эйри, и его общее решение не выражается через элементарные функции. Мы тем не менее можем построить асимптотическое решение уравнения Эйри при ; оно имеет простую структуру, аналогичную квазиклассическому решению уравнения Шредингера (при ):

(10)

( – нормировочный коэффициент). В результате мы приходим к следующему (асимптотическому) решению для электрического поля:

. (11)

Нетрудно убедиться, что при () данное решение экспоненциально затухает, что и соответствует отражению радиоволны от ионосферы. Функция (11) описывает поле стоячей волны, формирующейся в результате суперпозиции падающей и отраженной волн. В небольшой окрестности точки (в которой ) решение (11) непригодно, поскольку не выполняется предположение , использовавшееся при его выводе. Отметим, что в геометрической оптике отражение имеет место строго в точке , однако из-за конечности частоты (и длины волны) в реальной радиоволне область отражения “размазывается” в пространстве. Для частоты МГц экспериментальное значение составляет км.

Обратим внимание, что в условиях задачи реализуется оценка , и асимптотическое решение (11) очень быстро достигается при удалении от точки . Действительно, при концентрации электронов 1/см3 среднее расстояние между ними см. Значение в формуле (8) имеет оценку км; диэлектрическая проницаемость существенно изменяется по толщине E-слоя (именно этот случай интересен при рассмотрении отражения волн внутри слоя). Таким образом,

,

где см – классический радиус электрона. Следовательно, км, и неравенство выполняется с хорошей точностью. Величина определяет характерный размер области, в которой поле экспоненциально затухает до нуля после прохождения высоты . В этом можно косвенно убедиться из структуры переменной входящей в решение (11), однако более строгий анализ требует построения внутреннего асимптотического решения в окрестности точки .

Чтобы оценить константу в (11), рассмотрим нижнюю границу E-слоя, где эта граница находится на высоте . Соответствующее значение

.

Если – амплитуда падающей волны, то ,

так как имеет место суперпозиция падающей и отраженной волн. В конечном итоге выражение (11) может быть переписано в виде

, .

Экспоненциальное убывание поля в области (выше точки отражения ) описывается функцией

. (12)

Множитель появился в результате сшивки асимптотических решений в области , где квазиклассическое приближение не годится, и решение уравнения (9) выражается через функции Эйри. Уменьшение амплитуды в два раза связано с тем, что мы должны сшивать с (12) только прошедшую волну из (11), получаемую разложением косинуса на две экспоненты. Относительно погрешности асимптотического решения (11) можно сказать, что уже при его отклонение от точного решения составляет всего .

ЗАДАЧИ

Задача 1. Электромагнитная волна падает на стенку под углом q и отражается от нее с коэффициентом отражения R. Амплитуда напряженности электрического поля в падающей волне равна Е. Найти нормальную силу, действующую на стенку (световое давление), а также тангенциальную силу.

Задача 2. Исходя из принципа причинности (поляризация среды возникает после воздействия внешнего переменного электрического поля), получить соотношение Крамерса–Кронига, т. е. связь между вещественной и мнимой частями диэлектрической проницаемости:

Здесь символ Р обозначает интеграл в смысле главного значения при обходе полюса подынтегрального выражения.

Задача 3. Показать, что вкладом нейтральных молекул в диэлектрическую проницаемость ионосферы можно пренебречь по сравнению с вкладом свободных электронов.

Г л а в а 7. ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

7.1. Основные уравнения

В этой главе мы рассмотрим излучение электромагнитных волн зарядами, движущимися с ускорением. Будем предполагать движение зарядов нерелятивистским. Тогда мы увидим, что излучение определяется переменным дипольным электрическим моментом, а потому и называется дипольным. Колебания заряда могут быть вызваны внешним переменным электрическим полем. В этом случае говорят о рассеянии электромагнитного излучения на зарядах.

Обратимся к уравнению Максвелла:

Подставляя выражение для напряженности магнитного поля через векторный потенциал а для напряженности электрического поля и используя дополнительное условие на векторный и скалярный потенциалы получим уравнение для векторного потенциала:

Для гармонической зависимости от времени это уравнение упрощается:

Его решение представляется в форме (волновое число k = w /c):

На больших расстояниях от источника излучения по сравнению с его размерами (r >> r’) это выражение существенно упрощается:

При этом упрощении также предполагается, что , т. е. размеры излучателя малы по сравнению с длиной излучаемой волны. Входящий сюда интеграл может быть в свою очередь далее еще упрощен. Для этого заметим, что справедливо математическое соотношение

Здесь мы использовали известное уравнение непрерывности для токов и зарядов (r – плотность зарядов):

Таким образом, векторный потенциал может быть выражен через дипольный момент системы зарядов

простым соотношением:

Следовательно, на далеких расстояниях для напряженности магнитного поля получим (n – единичный вектор в направлении к точке наблюдения):

Дифференцирование знаменателя 1/r даст гораздо меньший вклад.

Напряженность электрического поля на далеких расстояниях определяем из уравнения Максвелла для монохроматического поля

Из двух последних выражений на далеких расстояниях получаем

Таким образом, на далеких расстояниях электромагнитная волна является плоской, величины напряженностей электрического и магнитного полей одинаковы, а сами напряженности перпендикулярны друг другу и направлению распространения электромагнитной волны. Слова далекие расстояния означают, что расстояние до точки наблюдения r велико по сравнению с длиной волны излучателя 1/k, а длина волны в свою очередь велика по сравнению с размером излучателя r’. При этом говорят, что точка наблюдения находится в волновой зоне. Напряженности полей обратно пропорциональны расстоянию до источника.

Плотность потока излучаемой энергии в волновой зоне определяется вектором Пойнтинга, величина которого равна

где q – угол между направлением вектора дипольного момента излучателя и направлением на точку наблюдения. Дополнительный множитель 1/2 добавлен из-за усреднения по времени вещественной части магнитного поля.

Умножая S на площадь , соответствующую определенному телесному углу, находим величину интенсивности излучения (электромагнитной энергии, проходящей в единицу времени) в данный телесный угол:

(1)

Интегрируя по всем углам, находим полную интенсивность излучения диполя на заданной частоте

(2)

7.2. Рассеяние солнечного света в атмосфере

В этом разделе мы рассмотрим вынужденное излучение молекул атмосферы, вызванное падающим светом Солнца. Как мы видели из предыдущего раздела, главная задача состоит в том, чтобы вычислить дипольный момент излучающей системы. Выделим в атмосфере объем V, содержащий большое число молекул N. Индуцированный дипольный момент p = PV = cEV, где Е – амплитуда напряженности внешнего электрического поля (поля Солнца), Р – поляризация газа (дипольный момент единицы объема), а c – диэлектрическая восприимчивость газа. Если бы длина свободного пробега молекул газа была бы велика по сравнению с длиной волны излучения, то рассеяние на каждой молекуле газа можно было бы рассматривать независимо и суммировать вклады от отдельных молекул. Однако в действительности длина свободного пробега (~ 0.01 мкм на поверхности Земли) весьма мала по сравнению с длиной волны видимого света (~ 1 мкм). Поэтому имеет место рассеяние не на отдельных молекулах воздуха, а на макроскопической среде. Такое рассеяние возможно на любой макроскопической неоднородности рассматриваемой среды: в отсутствие какой-либо неоднородности свет в диэлектрике распространяется без рассеяния, а его распространение описывается приведенными выше уравнениями Максвелла для диэлектрической среды.

Такая неоднородность обуславливается статистической флуктуацией плотности молекул воздуха. Она вызывает флуктуацию диэлектрической восприимчивости, пропорциональной этой плотности, как мы видели выше. При заданном объеме имеем для флуктуации диэлектрической восприимчивости следующую связь с флуктуацией числа частиц N:

Следовательно, средний квадрат дипольного момента объема V равен

Таким образом, задача сводится к вычислению статистической флуктуации числа частиц в заданном объеме газа, рассматривая воздух как идеальный газ.

Для решения этой задачи используем следующий прием. Возьмем какой-либо большой замкнутый объем идеального газа V0 с числом молекул N0 и выделим в нем маленький объем газа V << V0. Число частиц N в маленьком объеме V флуктуирует из-за того, что молекулы переходят из него в окружающий большой объем и обратно. Вычислим эту флуктуацию.

Вероятность того, что в объеме V содержится N молекул, определяется биноминальным законом:

Эта вероятность нормирована на единицу.

Так как N << N0, это выражение можно упростить, вводя среднее число молекул в объеме V: и учитывая, что

Получаем так называемое распределение Пуассона:

Оно также нормировано на единицу.

Полагая далее, что N >> 1, можно в распределении Пуассона использовать формулу Стирлинга для факториалов:

Тогда получаем (элементарные выкладки студент может сделать самостоятельно) так называемое распределение Гаусса:

Как и предыдущие распределения, оно нормировано на единицу.

Дисперсия этого распределения дается соотношением

При вычислении этого интеграла учитывалось, что подынтегральное выражение сосредоточено в окрестности значений N, близких к Также учитывалось известное значение интеграла Пуассона:

Итак, дисперсия числа частиц равна среднему числу частиц в данном объеме. Возвращаясь к вычислению среднего квадрата дипольного момента, получим (далее всюду заменено ):

Индуцированный дипольный момент единицы объема среды равен

Он определяется концентрацией молекул в атмосфере N/V.

На основе формулы (1) мы можем вычислить теперь угловое распределение интенсивности дипольного излучения единицы объема атмосферы:

Теперь следует учесть, что излучение Солнца не поляризовано. Следовательно, заменяя , где – угол между направлением солнечного света и направлением на точку наблюдения рассеянного излучения, а – угол в плоскости, перпендикулярной направлению солнечного света, характеризующий в этой плоскости направление вектора электрического поля Е, и усредняя по этому углу, получим

(3)

Здесь мы снова обозначили, как и ранее, концентрацию молекул в атмосфере через N (вместо N/V) и ввели диэлектрическую проницаемость атмосферы e, близкую к единице. Таким образом, рассеяние света вперед (или назад) в два раза интенсивнее, чем в поперечном направлении.

Интегрируя по углам, находим полную интенсивность рассеянного света:

Можно выразить ее через показатель преломления атмосферы Тогда

Кроме того, деля интенсивность излучения на плотность потока падающей электромагнитной энергии (усредненную по времени) мы получаем коэффициент рассеяния:

(4)

Это – так называемая формула Рэлея. Коэффициент рассеяния имеет размерность обратной длины; его обратная величина характеризует длину в атмосфере, на которой имеет место эффективное рассеяние света Солнца. Солнечный свет затухает в атмосфере как

В обратном предельном случае, когда длина свободного пробега молекулы велика по сравнению с длиной световой волны, нейтральные молекулы ионосферы рассеивают свет как отдельные частицы, независимо друг от друга. В этом случае дипольный момент одной молекулы равен

Следовательно, согласно формуле (2) интенсивность излучения единицы объема среды равна

Эта формула совпадает с полученной выше для рассеяния на флуктуациях плотности, хотя механизмы рассеяния совершенно различны. Так как , то интенсивность излучения прямо пропорциональна концентрации молекул N в атмосфере, и, следовательно, рассеяние солнечного света в атмосфере обязано статистическим флуктуациям ее плотности в нижних слоях атмосферы, а не рассеянию на отдельных молекулах в верхних слоях.

Совпадение формул дает основание полагать, что полученный результат справедлив и в промежуточном случае, когда длина свободного пробега молекул воздуха порядка длины волны света. Это соответствует высоте около 30 км.

Из формулы (4) находим, что при N = 2.7 ´ 1019 молекул/см3 и (n – 1) = 2.78 ´ 10–4 (нормальные атмосферные условия) характерная длина рассеяния k –1 = 30, 77 и 188 км для фиолетового, зеленого и красного света соответственно. При этом мы учли, что диэлектрическая проницаемость атмосферы близка к статической. Действительно, в молекуле азота энергия первого возбужденного электронного состояния равна 6 эВ, в то время как энергия фотона, соответствующая зеленому свету, равна 2.5 эВ. Отношение квадратов этих величин, входящее в выражение Друде для диэлектрической проницаемости, мало по сравнению с единицей.

7.3. Почему небо голубое?

В соответствии с результатами предыдущего раздела рассеяние солнечного света прямо пропорционально четвертой степени частоты. Самые короткие волны в видимой части спектра – фиолетовые. Почему же тогда небо не кажется нам фиолетовым? Главная причина состоит в том, что чувствительность человеческого глаза резко падает в фиолетовой части спектра. Например, чувствительность глаза на длине волны 0.40 мкм (фиолетовый цвет) в 15 раз ниже, чем на длине волны 0.45 мкм (сине-голубой цвет)! Гораздо меньшее значение имеет спектральный состав солнечного света. При вычислении по формуле Планка находим, что интенсивность света с длиной волны 0.40 мкм всего лишь на 11% меньше, чем с длиной волны 0.45 мкм. Меньшую роль играет и поглощение света в атмосфере. Коэффициент поглощения света с длиной волны 0.40 мкм на 14% больше, чем с длиной волны 0.45 мкм. Реальное небо не выглядит ярко синим, так как лучи других цветов, хотя и более бледные, также попадают в наши глаза.

Более слабым является и эффект слоя озона, который располагается на высоте от 10 до 40 км с максимальной концентрацией на высоте 25 км. Полосы поглощения молекул озона находятся на красном конце спектра. Поэтому красные лучи частично ослабляются при прохождении через слой озона, так что свет, достигающий Земли содержит больше синих лучей. Но из-за малой относительной концентрации озона указанный эффект не является существенным.

Большие объемы воды также имеют сине-голубую окраску из-за поглощения красных лучей молекулами воды. Однако атмосфера содержит слишком мало водяного пара, чтобы он оказал влияние на окраску неба.

В то же время само Солнце на закате, когда его лучи проходят большую толщину атмосферы, краснеет. Почему это происходит? На первый взгляд, синий свет рассеивается сильнее, чем красный, в любом направлении, в том числе и вперед. Тогда Солнце казалось бы синим. Противоречие с реальным наблюдением устраняется следующим образом. Предположим, что в исходном белом спектре Солнца было одинаковое число фотонов: 1000 красных и 1000 синих. Число синих фотонов в процессе рассеяния в атмосфере в соответствии с формулой Рэлея в 8 раз больше, чем число красных фотонов (частоты отличаются приблизительно в два раза). Таким образом, всего рассеивается, например, 80 синих фотонов и 10 красных фотонов. Из них вперед рассеивается соответственно, скажем, 8 синих фотонов и 1 красный фотон. Следовательно, в глаз человека попадает 991 красный фотон и 928 синих фотонов. Отсюда и следует, что луч Солнца на закате «краснеет».

Можно также объяснить и белесый цвет неба на горизонте. При этом рассеянный свет проходит большую толщу атмосферы. При многократном рассеянии от молекул, находящихся далеко от наблюдателя, в соответствии с формулой Рэлея синие фотоны сильно рассеиваются. После многих актов рассеяния доходящий до наблюдателя свет содержит уже больше красных фотонов, которые слабее рассеиваются на длинном пути. В то же время при рассеянии от молекул, находящихся вблизи наблюдателя, в его глаза попадает много синих фотонов. Смесь синих и красных фотонов и дает наблюдаемый белесый цвет.

7.4. Рассеяние света на малых диэлектрических

частицах

В качестве простого примера дипольного излучения мы рассмотрим рассеяние неполяризованного света на диэлектрических частицах, размер которых мал по сравнению с длиной волны электромагнитного излучения. В этом случае поле можно считать однородным вблизи частицы. Как мы видели выше из решения задачи электростатики диэлектриков в однородном поле, частица приобретает индуцированный дипольный момент. Величина этого момента зависит от формы частицы, которую далее мы будем полагать для простоты сферической (с радиусом а). Тогда величина индуцированного дипольного момента равна