Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах (стр. 2 )

модуль комплексного числа

;

аргумент комплексного числа

;

сопряженное комплексное число . :

модуль комплексного числа ;

аргумент комплексного числа ;

сопряженное комплексное число .

модуль комплексного числа ;

аргумент комплексного числа ;

сопряженное комплексное число ; ;

модуль комплексного числа ;

аргумент комплексного числа ;

так как рассматриваемое число действительное, то сопряженное комплексное число отсутствует.

2.2.3. Тригонометрическая форма представления

комплексного числа

Проекции комплексного вектора на действительную и мнимую оси определяются

. (2.6)

Подставив эти значения в (2.3), получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

. (2.7)

2.2.4. Показательная форма представления комплексного числа

Показательная форма удобна для выполнения операций умножения и деления над комплексными числами.

Используя формулу Эйлера , можно комплексного числа, записанные в тригонометрической форме , представить в показательной форме

. (2.8)

Пример 2.3

Задано комплексное число . Представить данное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости.

 

Рис. 2.3. Графическое изображение комплексного числа

Решение

– алгебраическая форма. Проекция на ось действительных значений равна , на ось мнимых значений – 10 (рис. 2.3).

Модуль комплексного числа – ZM определяется формулой (2.4)

.

Аргумент комплексного числа определяется формулой (2.5)

= (30°).

Комплексное число в тригонометрической форме согласно формуле (2.7) запишется в виде

.

Комплексное число в показательной форме согласно формуле (2.8) запишется в виде

.

Пример 2.4

Задано комплексное число . Изобразить данное число в виде вектора на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах.

 

Рис. 2.4. Графическое изображение комплексного числа

Решение

– алгебраическая форма.

Проекция на ось действительных значений равна , на ось мнимых значений равна –10 (рис. 2.4).

Модуль ZM определяется как

.

Аргумент комплексного числа определяется соотношением

= –(30°).

– тригонометрическая форма.

– показательная форма.

Пример 2.5.

Задано комплексное число . Изобразить данное число на комплексной плоскости и представить его в тригонометрической и показательной формах.

 

Рис. 2.5. Графическое изображение комплексного числа

Решение

Модуль ZM определяется как (рис. 2.5)

Аргумент комплексного числа определяется

= 210°

– тригонометрическая форма.

– показательная форма.

Для усвоения изложенного материала решить задачи раздела 4.2.

Таблица 2.1.

Взаимные преобразования различных форм

представления комплексного числа

Формы в¯из	Алгебраической	Тригонометрической	Показательной
Алгебраическую
Тригонометрическую	;		;
Показательную	;	;

2.2.5. Основные математические операции над

комплексными числами

Сложение (Вычитание)

Заданы два комплексных числа и . Для сложения (вычитания) достаточно сложить (вычесть) соответственно действительные и мнимые их части. Для этой цели наиболее удобно представлять комплексные числа в алгебраической форме. Геометрический смысл этих операций сводится к сложению (вычитанию) векторов и , построенных на комплексной плоскости.

Зададимся двумя комплексными числами: и

Сумма: .

Разность: .

Сумма сопряженных комплексных чисел – действительное число.

(2.9)

Пример 2.6

Произвести сложение и вычитание и построить вектор, соответствующий сумме (разности) следующих комплексных чисел: и .

Решение

Сумма двух комплексных чисел и определяется следующим образом

Графически вектор суммы двух комплексных чисел определяется диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах и , как на сторонах (рис. 2.6, а).

 

Рис. 2.6 Графическое определение вектора суммы двух комплексных чисел:

а – Zå = Z1 + Z2; б – Zå = Z1 – Z2

Разность двух комплексных чисел и определяется как

.

Графически вектор разности двух комплексных чисел определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах (рис. 2.6, б).

Умножение (Деление)

Для умножения (деления) комплексных чисел наиболее удобно представлять их в показательной форме. Чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) аргументы. Заданы два комплексных числа и . Произведение этих чисел определится формулой

(2.10)

Если комплексные числа заданы в алгебраической форме и , то для выполнения операции умножения возможен либо переход к показательной форме, либо как умножение двух многочленов с учетом, что.

(2.11)

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа

(2.12)

Геометрический смысл умножения на означает, что радиус вектор, соответствующий числу , следует повернуть на угол , а затем растянуть его в раз, если > 1 или сжать его в раз, если < 1.

Частное от деления на , если они заданы в показательной форме, определится формулой

(2.13)

Если комплексные числитель и знаменатель заданы в алгебраической форме, то для выполнения операции деления возможен либо переход к показательной форме, либо формирование в знаменателе действительного числа (умножение и знаменателя, и числителя на сопряженное знаменателю комплексное число).

(2.14)

Пример 2.7

Найти произведение и частное двух комплексных чисел:

и

Решение

1. Произведение и частное двух комплексных чисел проведем аналогично соответствующим действиям с многочленами с учетом, что.

Произведение и определим согласно формуле (2.11)

,

а частное от деления на определим согласно формуле (2.14)

.

2. Представим комплексные числа и в показательной форме, используя формулы (2.4) и (2.5) для определения модуля и аргумента.

Действительная часть комплексного числа равна 0, а мнимая – (-2).

Находим модуль и аргумент .

.

Зная модуль и аргумент, запишем

.

Действительная часть комплексного числа равна , а мнимая . Находим модуль и аргумент .

.

Зная модуль и аргумент, запишем

.

Произведение и определим согласно формуле (2.10)

.

Частное от деления на определим согласно формуле (2.13)

.

2.3. Представление синусоидальных функций

вращающимися векторами

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать величины, синусоидально изменяющиеся во времени, векторами или комплексными числами.

Любая синусоидальная величина в электротехнике может быть представлена вращающимся на комплексной плоскости вектором. Это позволяет компактно и максимально наглядно графически представлять совокупность различных гармонических сигналов одинаковой частоты при анализе сложных электрических цепей.

В качестве примера выберем отвлеченный синусоидальный сигнала

a = Am sin (w t + ya), (2.15)

который может быть любым исследуемым электрическим сигналом (Е, U, I).

Рассмотрим прямоугольную систему координат MON (рис. 2.7). Рассмотрим в этих координатах вектор , длина которого равна амплитуде синусоидального сигнала . Будем рассматривать вектор a вращающимся вокруг начала координат 0 против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . В произвольный момент времени вектор составит с осью ОМ угол . Его проекция на ось 0M будет равна мгновенному значению рассматриваемой синусоидальной величины a.

 

Рис. 2.7. Представление синусоидальных функций вращающимися векторами

Таким образом, между мгновенным значением синусоидальной величины и вектором можно установить однозначную связь. Поэтому вектор называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени.

Если считать ось 0N осью вещественных (действительных) величин, а ось 0M осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу, модуль которого равен , а аргумент – углу . Это комплексное число называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.

Комплексную амплитуду, как любое комплексное число, можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

,

где .

Если вектор вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то ему соответствует комплексная функция времени:

.

Значение мнимой части этой функции (без ) равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине (2.15).

Таким образом, между синусоидальной величиной и ее изображением – – комплексной амплитудой – имеется однозначная связь, которая определяется следующим равенством:

,

где символ Im обозначает, что от комплексной функции времени берется только значение мнимой части.

Комплексные величины, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчёркнутыми буквами.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или символическим методом.

В электротехнике вектор представляет собой радиус-вектор, вращающийся с частотой . Длина вектора в масштабе равна амплитуде синусоидального сигнала: ЭДС, напряжения или тока. Угол поворота вектора за время t можно определить как угол , отсчитанный от горизонтальной оси. При этом проекция вращающегося вектора на вертикальную ось равна мгновенному значению этого сигнала.

Пример 2.8

Заданы два электрических сигнала

,

где E1m и E2m – амплитуды;

– круговая частота переменного тока;

y1 , y2 – начальные фазовые углы ЭДС.

Определить сумму этих ЭДС.

Решение

Сложим сигналы e1 и e2 как две тригонометрические функции

Обозначим постоянные выражения в скобках

В итоге получим .

Таким образом, сумма двух синусоидальных ЭДС представляет собой также синусоиду той же частоты, амплитуда которой равна

, а фазовый сдвиг

.

Теперь рассмотрим процесс суммирования тех же синусоидальных ЭДС при представлении их вращающимися векторами. Изобразим е1 и е2 вращающимися векторами (рис 2.8). Так как проекция на любую ось геометрической суммы двух векторов равна алгебраической сумме проекций векторов на ту же ось, то еå будет представлять проекцию суммарного вектора, равную геометрической сумме векторов .

Такое изображение синусоидальных величин (рис. 2.8) называется векторной диаграммой. Все операции над векторами проводятся по известным законам векторной алгебры.

Рис. 2.8. Сложение синусоидальных величин

2.4. Векторные диаграммы

В установившихся режимах, то есть режимах, при которых амплитуды и частота синусоидальных сигналов остаются неизменными, соотношения мгновенных значений токов и напряжений также остаются неизменными. Следовательно, неизменным останется и расположение соответствующих комплексных векторов.

Поэтому, векторные диаграммы, в большинстве случаев, строятся относительно нулевого момента времени (составляющая wt равна нулю), то есть с учетом только лишь начальных фазовых углов соответствующих электрических сигналов. Если же, в условиях конкретной задачи, за исходный вектор (вектор располагаемый по оси действительных значений) удобнее принять какой-либо вектор, имеющий ненулевой начальный фазовый угол, то это будет означать поворот всей векторной диаграммы, иными словами выбирается наиболее удобный для данной задачи момент времени.

Рассмотрим вектор , изображающий ток в цепи:

.

Мнимая часть этого вектора характеризует мгновенное значение тока

.

Напряжение U изображается вектором

.

Мгновенное значение напряжения

.

Для момента времени t = 0,

,

где – комплексная амплитуда тока (комплексная величина с модулем Im и начальным фазовым углом yi).

Аналогично для вектора напряжения

где – комплексная амплитуда напряжения (комплексная величина с модулем Um и начальным фазовым углом (yi + j)),

Пример 2.9

Задано мгновенное значение тока . Представить это значение в показательной форме комплексного числа.

Решение

Показательная форма комплексного числа: .

Из условия: амплитудное значение тока : ;

начальный фазовый угол: .

Следовательно, показательная форма тока: .

Пример 2.10

Дан комплексный ток . Определить мгновенное значение тока и начальный фазовый угол.

Решение

Для перехода к мгновенному значению надо умножить на и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения

.

2.5. Действующие значения ЭДС, напряжения и тока

Действующее значение – среднеквадратичное значение изменяющейся во времени величины за период, например переменного тока, действие которого при протекании его через некоторое сопротивление идентично действию постоянного тока определенного значения.

; ; (2.16)

Среднее за период T значение мощности, характеризуемое выделением тепла в цепи с сопротивлением r, имеет выражение

(2.17)

то есть, получаем выражение для средней мощности переменного тока такое же, как для постоянного тока.

Определим связь действующего значения Е синусоидальной ЭДС с ее амплитудой Em.

Имеем

,

так как

то . (2.18)

Аналогично

; ; . (2.19)

Большая часть электроизмерительных приборов определяют действующие значения энергетических величин.

Пример 2.11.

Найти комплекс действующего значения синусоидальной функции времени А.

Решение

Учитывая, что косинус функция четная, выражение для тока i перепишем в виде

Амплитуда синусоидального тока , начальная фаза .

Отсюда: А.

2.6. Элементы цепи синусоидального тока

2.6.1. Резистор в цепи синусоидального тока

Пропустим через активное сопротивление R переменный электрический ток (рис. 2.9):

.

 

Рис. 2.9. Активное сопротивление

По закону Ома для мгновенных значений:
или ,

где , yu = yi.