а – с последовательным соединением элементов; б – эквивалентная схема
В общем виде формулы преобразования активного участка электрической цепи с последовательным соединением элементов:
; 
(3.17)
При эквивалентном преобразовании последовательно соединенных источников ЭДС направление эквивалентного источника выбирают произвольно.
Правило знаков: ЭДС источника учитывается со знаком “+” в том случае, если его направление совпадает с выбранным направлением эквивалентного источника ЭДС.
3.1.4. Перенос источников ЭДС и источников тока
Идеализация источников электрической энергии, в некоторых случаях может привести к появлению, так называемых, вырожденных источников. Таковыми являются идеальные источники ЭДС, включенные в состав ветви, не содержащей пассивных элементов (рис. 3.20, а), и идеальные источники тока, параллельно которым не включены ветви, проводимость которых можно было бы рассматривать как внутреннюю проводимость источника (рис. 3.20, б). Вырожденные источники ЭДС и тока не могут быть взаимно преобразованы. При этом схема, содержащая такие источники, является некорректной. Устранение вырожденных источников возможно при их переносе.
 |
а) б)
Рис. 3.20. Примеры схем, содержащих:
а – вырожденный источник ЭДС; б – вырожденный источник тока
Источник ЭДС на участке аb может быть перенесен в ветви 1 и 2 (рис. 3.21, а). В результате один из узлов (а или b) будет устранен (рис. 3.21, б).
а) б)
Рис. 3.21. Перенос вырожденного источника ЭДС:
а – перенос источника ЭДС; б – устранение одного из узлов
 |
Рис. 3.22. Перенос вырожденного источника тока
Эквивалентность такого переноса можно пояснить на примере сопоставления соответствующих потенциалов (рис. 3.21, а). Пусть потенциал точки а будет равен нулю, тогда потенциалы точек b, c, d будут равны (–Е), следовательно, они могут быть объединены в один узел.
Вырожденный источник тока, включенный между узлами а и b
(рис. 3.21, б), может быть заменен двумя источниками тока, включенными между узлами а и с и узлами с и b (рис. 3.22). Эквивалентность такой замены следует из неизменности выражений для токов в каждом узле:
для схемы (рис. 3.21, б): | для схемы (рис. 3.22): | ||
для узла а: для узла b: для узла с: |
| для узла а: для узла b: для узла с: |
|
;
;
.
Алгоритм расчета по методу эквивалентного преобразования цепи:
– исходная схема оценивается на наличие последовательного и параллельного соединений пассивных и активных элементов;
– выбираются и обозначаются на схеме условно положительные направления токов;
– преобразуются все последовательные соединения элементов, в результате, полученная эквивалентная схема должна включать в себя ветви, содержащие минимально возможное число элементов – либо только один элемент, либо два – пассивный и активный;
– преобразуются все параллельные соединения элементов;
– если сложная схема не содержит последовательного и параллельного соединений, то оценивается необходимость эквивалентной замены соединений типа "звезда" и "треугольник";
– для упрощенной схемы определяется значение входного тока;
– по входному току согласно закону Ома (разворачивая схему) определяются напряжения на участках электрической цепи и токи этих участков.
Критерий применимости:
Метод удобен при решении задач, в которых не требуется определение токов всех ветвей электрической цепи, поэтому часть участков цепи может быть представлена их эквивалентами. Метод широко используется при определении входного и выходного сопротивлений электрической цепи, структура которой при дальнейшем решении, как правило, не представляет интереса§.
3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Идея метода: Токи ветвей исходной схемы определяются из системы уравнений составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
В общем случае искомые электрические величины и их соотношения могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений составленных по первому и второму законам Кирхгофа для заданной электрической цепи. Общее число таких уравнений должно соответствовать числу неизвестных токов, то есть числу ветвей, не содержащих источника тока.
Данная система уравнений будет иметь однозначное решение в том случае, если уравнения системы будут независимыми, то есть любое последующее уравнение системы не может быть получено как результат алгебраических операций уже записанных уравнений.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов схемы кроме одного. Уравнение, составленное для последнего узла, не является независимым, поскольку может быть получено как результат суммирования уже составленных уравнений. Оставшиеся уравнения записываются согласно второму закону Кирхгофа для независимых контуров.
Независимым контуром называется контур, в состав которого входит хотя бы одна, не вошедшая в состав других контуров, ветвь. Однако данное требование является достаточным, но не необходимым и в ряде случаев независимый контур может и не содержать новых ветвей, то есть содержать лишь ветви, уже вошедший в другие контуры.
Выбор независимых контуров
• метод интуитивного выбора
Выбираемая система контуров будет независимой, если каждый последующий контур содержит новую, не вошедшую в состав предыдущих контуров, ветвь.
Для определения независимых контуров достаточно в первом выбранном контуре разомкнуть одну из ветвей, затем в оставшейся части схемы выбирают новый контур и вновь размыкают одну из ветвей, и так далее до тех пор, пока в схеме не останется ни одного контура.
На схеме (рис. 3.23, а) выберем один из контуров (aefb) (на схеме буквами обозначены маршрутные точки). Разомкнем, удалим одну из его ветвей (ef). В оставшейся части схемы выберем следующий контур (abc) (рис. 3.23, б). Удалив одну из ветвей (ab), выбираем следующий контур (acde). Последний контур (bfdc) получаем удалением одной из ветвей предыдущего контура (рис. 3.23, в).
Рис. 3.23. Метод индуктивного выбора
 |
Продолжение рис. 3.23. Метод индуктивного выбора:
• метод формализованного выбора§
Для выбора независимых контуров согласно данному методу по исходной схеме строится вспомогательная схема – граф электрической цепи, вершины которого, являющиеся узлами исходной схемы, соединены ветвями – линиями, соответствующими ветвям схемы, но не содержащими элементов. Далее строится дерево графа – вспомогательная схема, содержащая все узлы графа, соединенные между собой ветвями, но не содержащая контуров, то есть между любой парой вершин существует лишь единственный путь. Независимые контуры получаются добавлением к дереву графа оставшихся ветвей.
 |
а) б)
Рис. 3.24. Выбор независимых контуров
а – граф электрической цепи; б – дерево графа
Покажем выбор независимых контуров на примере схемы (рис. 3.24). Данная схема содержит три узла (a, b, c) и шесть ветвей. На основе графа электрической цепи (рис. 3.24, а) строим дерево графа (в качестве ветвей дерева выбраны первая и вторая ветви) (рис. 3.24, б), причем данное дерево не единственно возможное. Добавляя оставшиеся ветви, получаем независимые контуры.
Пример. 3.3.
При известных значениях источников и сопротивлений определить токи ветвей электрической цепи (рис. 3.25), используя метод непосредственного применения законов Кирхгофа.
 |
Рис. 3.25. к примеру 3.3
Решение
В схеме (рис. 3.25) четыре ветви, токи которых необходимо определить, и пятая ветвь – ветвь источника тока. Следовательно, для расчета необходимо составить систему из четырех уравнений. Два из которых будут составлены по первому закону Кирхгофа, так как схема содержит три узла, и два оставшихся – по второму закону Кирхгофа.
Произвольно выбрав условно положительные направления токов ветвей, запишем первые два уравнения:
для узла а: 
;
для узла с: 
.
Уравнение баланса токов составленное для последнего узла (b) может быть получено суммированием уже составленных уравнений, и, следовательно, не будет независимым.
Определив независимые контуры и задав в них условно положительные обхода, запишем оставшиеся два уравнения:
Для контура I: 
.
Для контура II: 
.
Правило знаков: составляющая 
учитываются со знаком “+” в том случае, если направление тока 
совпадает с заданным направлением обхода контура; величина ЭДС источника 
учитываются со знаком “+” в том случае, если направление источника совпадает с заданным направлением обхода контура.
Таким образом, система уравнений для решения задачи будет иметь вид:
Полученная система уравнений может быть представлена в матричной форме
:
Алгоритм расчета:
– определяется число ветвей, число узлов, число независимых контуров;
– задаются и обозначаются на схеме условно положительные направления токов ветвей;
– записываются уравнения согласно первому закону Кирхгофа для всех, кроме одного, узлов схемы (уравнение токов для оставшегося узла может быть получено суммированием уже записанных уравнений);
– задаются и обозначаются на схеме условно положительные направления обхода независимых контуров, не содержащих источники тока;
– для выбранных контуров записываются оставшиеся уравнения по второму закону Кирхгофа;
– решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей. Так как направления токов были выбраны произвольно, то значения токов могут получиться отрицательными. Это означает, что истинное направление тока обратно выбранному.
Критерий применимости: Метод позволяет рассчитывать токи ветвей непосредственно без преобразования схемы и перехода к промежуточным переменным. При этом число уравнений необходимых для расчета электрической цепи соответствует числу неизвестных, то есть числу токов ветвей, не содержащих источников тока. Поэтому, расчет усложняется по мере увеличения числа ветвей электрической цепи и не упрощается при определении лишь одного или нескольких ее токов.
Пример. 3.4.
В мостовой схеме (рис. 3.26) при заданных комплексных сопротивлениях и значениях ЭДС источников определить ток в диагонали моста.
 |
Рис. 3.26. к примеру 3.4
Решение
Схема содержит шесть ветвей, четыре узла (а, b, c, d) и три независимых контура (аbda, bcdb, abca). Следовательно, должны быть составлены шесть уравнений. Три составим по первому закону Кирхгофа:
для узла а: 
;
для узла b: 
;
для узла с: 
,
и оставшиеся три – по второму закону Кирхгофа:
для контура аbda: 
;
для контура bcdb: 
;
для контура abca: 
,
Запишем полученную систему уравнений в матричной форме:
Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:
,
где
.
Полученное выражение показывает, что ток в диагонали равен нулю, если выполняется условие 
(условие равновесия моста).
Пример. 3.5.
Определить токи ветвей схемы (рис. 3.27), если известны величины сопротивлений, индуктивностей и емкостей её пассивных элементов и значения токов и ЭДС её активных элементов (источников).
Рис. 3.27. к примеру 3.5
Дано:
R1 = 141 Oм; R2 = 100 Oм; R 3 = 50 Oм;
R5 = 80 Oм; R1 = 30 Oм; R8 = 40 Oм;
L1 = 226 мГн; L5 = 110 мГн; L7 = 64 мГн;
С2 = 26,5 мкФ; С3 = 53 мкФ; С4 = 40 мкФ; С5 = 35 мкФ; С6 = 16 мкФ;
В; 
В;
А; f = 100 Гц.
Решение
Исходная схема содержит 9 ветвей и 6 узлов, неизвестных токов – 8. Ветви исходной схемы содержат последовательные соединения пассивных элементов, которые удобно представить в виде полных комплексных сопротивлений (рис. 3.28):
Рис. 3.28. Изображение пассивных элементов в виде
полных комплексных сопротивлений
;
;
;
;
;
;
;
.
Для выбора независимых контуров воспользуемся формализованным методом. Построим дерево графа данной электрической схемы
(рис. 3.29), выбрав в качестве его ветвей ветви: ad, be, cd, de, ef. Добавляя оставшиеся ветви са, ab, bf, cf, получаем независимые контуры.
Зададим условно положительные направления токов ветвей и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы, кроме одного:
для узла a) 
;
для узла b) 
;
для узла c) 
;
для узла d) 
;
для узла e) 
.
 |
Рис. 3.29. Дерево графа электрической схемы
Зададим на схеме положительные направления обхода независимых контуров, не содержащих источники тока, и запишем для них уравнения по второму закону Кирхгофа:
для контура I 
;
для контура II 
;
для контура III 
.
Пять уравнений, составленные по первому закону Кирхгофа, и три – по второму, образуют систему уравнений, позволяющих определить токи ветвей.
Подставим значения величин сопротивлений и ЭДС.
Запишем полученную систему в матричной форме 
:
Решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей§.
|
|
;
;
;
;
;
;
;
.Поскольку направления токов были выбраны произвольно, то полученные отрицательные значения токов
;
;
;
говорят о том, что истинное направление протекания тока обратно выбранному.
Пример. 3.6.
Определить показания приборов в схеме (рис. 3.30), если известны величины сопротивлений, индуктивностей и емкостей её пассивных элементов и значения
ЭДС и токов её активных элементов (источников)
 |
Рис. 3.30. к примеру 3.6.
Решение
Данные и результаты определения токов в ветвях взяты из примера 3.4. Ток через сопротивление R8: 
. Показания амперметра будут равны модулю вектора тока уменьшенному в 
раз (приборы измеряют действующие значения токов и напряжений).
(А).
Для определения показаний вольтметра найдем падение напряжения на сопротивлении Z 3.
(В)
Показания вольтметра будут определяться модулем падением напряжения U3 уменьшенном в раз (действующие значения):
(В).
Определим полную мощность, потребляемую на участке bf, если под действием приложенного напряжения 
по нему протекает ток 
:
§ (3.18)
Падение напряжения на участке bf определим как произведение тока I5 на величину сопротивления Z5.
(В).
Для получения полной мощности необходимо взять сопряженную комплексную величину тока, протекающего через сопротивления Z5.
Теперь определим полную мощность.
, (ВА)
, (ВА)
Ваттметр W измеряет активную мощность на участке bf цепи (по определению 
). Таким образом, активная мощность (показание ваттметра) будет равна действительной части полной мощности.
(Вт).
Или активная мощность может быть определена как:
– мощность, выделенная на активном сопротивлении пятой ветви.
3.3. Метод контурных токов
Идея метода: Предполагается, что в каждом независимом контуре протекает свой независимый контурный ток. Токи ветвей являются геометрическими суммами протекающих по ним контурных токов.
Для схемы любой цепи выбираем независимые контуры так, чтобы одна из ветвей соответствующего контура входила только в этот контур, и ток этой ветви примем за независимый контурный ток. Составляя для независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа и исключая из этих уравнений токи ветвей общие для нескольких контуров (используем для этого уравнения, вытекающие из первого закона Кирхгофа), получим систему уравнений только с теми токами, которые не являются общими для двух или большего числа контуров (систему уравнений контурных токов).
Сумма напряжений на сопротивлениях любого контура равна алгебраической сумме напряжений, определяемых токами своего и смежных контуров. То есть, если в общем для двух смежных контуров сопротивлении контурные токи направлены согласно, то падение напряжений суммируется, в противном случае – вычитается.
Вывод структуры основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 3.31. Определим независимые контуры. Для этого вынесем узлы и соединим их ветвями схемы, так чтобы не образовывалось контуров, то есть построим дерево графа схемы (рис. 3.32).
Независимые контуры получаются добавлением к дереву оставшихся ветвей. Если в схеме содержатся источники тока, то удобнее выбрать контуры так, чтобы по ветви с источником тока замыкался лишь один контурный ток, тогда его значение будет однозначно определено током источника.
Для этого достаточно, чтобы ветвь с источником тока не входила в структуру дерева, то есть являлась контурообразующей (независимой) ветвью. Или же источники тока могут быть эквивалентно преобразованы в источники ЭДС (рис. 3.33), однако, при определении токов ветвей исходной схемы потребуется обратное преобразование.
 |
Рис.3.31. Исходная схема электрической цепи
 |
Рис.3.32. Выбор независимых контуров
Запишем уравнения для первых трёх контуров (рис. 3.33):
для контура I : 
;
для контура II: 
;
для контура III: 
.
Четвёртый контурный ток, равный току источника, известен:
.
Уравнения для схемы (рис. 3.33) будут аналогичными, с той лишь разницей, что составляющая 
в уравнении для второго контура будет перенесена в правую часть уравнения, с учетом того, что .
Рис. 3.33. Схема электрической цепи с эквивалентным источником ЭДС
Перепишем полученные уравнения следующим образом:
(3.19)
Введём обозначения:
– собственное сопротивление первого контура;
– собственное сопротивление второго контура;
– собственное сопротивление третьего контура;
– сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами;
– сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами;
– сопротивление смежной ветви между первым и третьим контурами;
– ЭДС первого контура (контурная ЭДС) ( знак “+” указывает, что направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока);
– ЭДС второго контура;
– ЭДС третьего контура.
Решение полученной системы уравнений может быть выполнено с использованием машинных методов расчета линейных уравнений на ЭВМ. Одним из таких методов является метод решения систем уравнений при помощи матриц.
По вычисленным значениям контурных токов определяются токи ветвей (для схемы рис. 3.33):
;
;
; 
;
;
; 
.
Алгоритм расчета:
– выбираются независимые контуры и обозначаются на схеме условно положительное направление контурных токов;
– определяются собственные сопротивления контуров (
), равные сумме сопротивлений, входящих в k-й контур;
– определяются взаимные сопротивления контуров (
), равные сопротивлениям в общей ветви контуров k и n.
– определяются контурные ЭДС (
), равные алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в k-й контур;
– согласно второму закону Кирхгофа для выбранных контуров составляются система уравнений;
– токи ветвей определяются геометрической суммой замыкающихся по ним контурных токов.
Пример 3.6.
Определить токи ветвей схемы (рис. 3.34), если известны активные сопротивления, индуктивности и ёмкости её пассивных элементов и известны значение тока и ЭДС её активных элементов (источников). Полное условие приведено в примере 3.5.
Решение
Запишем уравнения для контуров§ (рис. 3.34):
для контура I : 
;
для контура II: 
;
для контура III: 
;
ток IV контура: .
 |
Рис. 3.34. к примеру 3.7
Определим контурные сопротивления:
;
;
.
Определим сопротивления смежных (общих) ветвей соседних контуров:
|
|
;
;
;
;
;
Определим контурные ЭДС:
;
;
.
Составим систему уравнений:
Представим полученную систему в виде матрицы:
Решая полученную систему уравнений, определяем контурные токи§:
Токи независимых ветвей электрической цепи определяются соответствующими контурными токами.
Токи смежных ветвей, по которым протекают несколько контурных токов, определяется их геометрической суммо駧.
Знак "–" перед действительной частью тока ветви указывает на то, что истинное его направление обратное.
По найденным значениям контурных токов определяются токи ветвей:
|
|
;
;
;
;
;
;
;
.В части задач удобнее вести расчет не относительно комплексных амплитуд, а относительно действующих значений. В данном случае, значение комплексных амплитуд должно быть уменьшено в – раз.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
