Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах (стр. 1 )

, ,

Методы расчета линейных электрических цепей

в установившихся режимах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ»

, ,

Методы расчета линейных электрических цепей

в установившихся режимах

Учебное пособие

РПК «Политехник»

Волгоград

2006

УДК 6 8)

С 69

Рецензенты: ,

, , методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах: Учеб. пособие / ВолгГТУ, Волгоград, 2006. – 124 с.

ISBN -4

Изложены основы теории линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами в установившемся режиме. В пособие включены также примеры решения типовых задач по основным разделам теории линейных цепей.

Предназначено для студентов, обучающихся по инженерно-техни-ческим направлениям и специальностям факультета «Промышленные технологии».

Ил. 119. Табл. 2. Библиогр.: 11 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Анатолий Григорьевич Сошинов, Андрей Викторович Исаев,

Сергей Владимирович Поляков

методы расчета линейных электрических цепей

в установившихся режимах

Учебное пособие

Под редакцией авторов

Темплан 2006 г., поз. № 16.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 7,75. Усл. авт. л. 7,63.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

ISBN -4 © Волгоградский

государственный

технический

университет, 2006

Предисловие

Учебное пособие разработано в соответствии с принятыми государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования и учебными планами направлений подготовки бакалавров и дипломированных специалистов технического профиля, которые в разделе общепрофессиональных дисциплин федерального компонента содержат курс «Электротехника и электроника».

В учебном пособии изложены основные теоретические основы и методы анализа линейных электрических цепей в установившихся режимах. В состав пособия входит много примеров наглядно иллюстрирующих каждый метод расчета.

Цель учебного пособия помочь студентам освоить методику расчета линейных электрических цепей постоянного и переменного тока и способствовать глубокому пониманию явлений, происходящих в электрических цепях, а также в различных электротехнических устройствах.

В приложении приведены: лизинг расчета некоторых задач в
MathCAD и правила выполнения условных графических обозначений.

Авторы выражают глубокую признательность рецензентам заведующему кафедрой электротехники Кубанского государственного технологического университета, заслуженному деятелю науки и техники РФ, профессору и заведующему кафедрой электротехники и электроники Саратовского государственного технического университета профессору за предложения и замечания, которые были учтены при подготовке учебного пособия к изданию.

1. Электрическая цепь, её элементы и параметры

1.1. Электрический ток

Электрический ток – это явление направленного движения свободных носителей электрического заряда.

В качестве частиц способных переносить электрический заряд могут быть либо электроны как, например, в металлах, либо ионы (заряженные атомы и молекулы), как то, в электролитах и газах.

Опытным путем была установлено явление переноса электрическим током частиц металла с одного электрода на другой. Это направление, обратное направлению движения электронов, и было выбрано в качестве положительного направления электрического тока в приемнике, т. е. от «плюса» к «минусу».

Численно ток определяется как предел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Dt при .

, (1.1)

где D – сумма положительных и отрицательных зарядов, переносимых в противоположные стороны через рассматриваемое поперечное сечение проводника. Ток измеряется в амперах [А].

Электрический ток может быть постоянным (направление тока не изменяется) или переменным, т. е. меняющимся в зависимости от времени по величине и направлению.

1.2. Напряжение

Электрический потенциал точки электрического поля – это физическая величина численно равная работе, совершаемой силами поля при переносе единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Единица измерения – вольт [В]

. (1.2)

При перемещении заряженных частиц из одной точки поля в другую (из одного конца проводника в противоположный) силами поля совершается работа пропорциональная изменению электрического потенциала. Поэтому, при решении задач важны не абсолютные значения потенциалов точек поля, а разность потенциалов при этом выбор точки с нулевым потенциалом определяется лишь удобством решения данной задачи.

Рис. 1.1. Участок электрической цепи

Напряжение – величина численно равная работе, совершаемой электрическим полем напряженностью Е при переносе единичного положительного заряда из точки а в точку b. Единица измерения – вольт.

. (1.3)

Для участка цепи (рис.1.1) напряжение между точками a и b может быть определено, как разность потенциалов j a и j b.

. (1.4)

За положительное направление напряжения приемника (падение напряжения) принято от зажима с большим потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом.

Электрическое напряжение может быть как постоянным, так и переменным, то есть его величина может меняться во времени по абсолютному значению и направлению.

1.3. Мощность и энергия

При перемещении по участку электрической цепи элементарного электрического заряда dq под действием напряжения u силами электрического поля совершается работа. Единица измерения – джоуль [Дж]

. (1.5)

Учитывая, что , получим

. (1.5а)

Мощность – работа сил электрического поля по перемещению заряда dq, совершаемая за единицу времени:

. (1.6)

Единица измерения – ватт [Вт]. Мощность р величина алгебраическая и может быть положительной (при совпадающих по направлению§ U и i – одинаковые знаки перед действительной частью (пп. 2, 2.6)) или отрицательной (если направления U и i противоположны). В первом случае (р > 0) элемент электрической цепи потребляет энергию (является приемником), во втором (р < 0) – отдает энергию (является источником).

Энергия, поступившая в приемник за время от t1 до t2 , определяется

. (1.7)

Она может быть только положительной и измеряется в джоулях.

1.4. Пассивные и активные элементы электрической цепи

1.4.1. Резистор. Сопротивление электрическое

Резистором называется элемент электрической цепи (раздел 1.5), в котором происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепловую.

Условное изображение резистора приведено на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Условное изображение резистора

Обозначение r применяют в электротехнике, как для обозначения элемента цепи, так и для количественной оценки сопротивления, равного отношению напряжения на данном элементе, к току, проходящему через него.

(1.8)

Эта формула определяет закон Ома, установленный в 1826г. Величина сопротивления измеряется в омах [Ом].

Величину обратную сопротивлению

(1.9)

называют проводимостью. Размерность проводимости – сименс [См].

Мощность (пп. 2.9.1), поступающая на резистор

. (1.10)

Одним из способов определения величины сопротивления является определение параметра r как отношение мощности к квадрату тока, проходящего через него.

.

Электрическая энергия, поступающая в резистор r за время t и превращающаяся в тепло, равна

. (1.11)

В общем случае электрическое сопротивление резистора зависит от величины протекающего через него тока. Зависимость u = f (i) называется вольтамперной характеристикой элемента.

Реально все резисторы нелинейные, но с определенной степенью точности или на отдельных участках вольт – амперной характеристики резистор можно считать линейным, то есть имеет место линейная зависимость между напряжением и током.

1.4.2. Индуктивность. Катушка индуктивности

Индуктивная катушка – элемент электрической цепи, способный накапливать энергию магнитного поля.

Потокосцеплением (размерность – Вебер [Вб]) называется сумма магнитных потоков (Fk), сцепленных (пронизывающих) с определенным числом витков vk:

. (1.12)

Индуктивность L – физическая величина, характеризующая способность индуктивного элемента накапливать энергию магнитного поля. Обозначение L применяют в электротехнике и для обозначения самого элемента.

. (1.13)

Индуктивность всегда больше нуля и измеряется в генри [Гн].

В зависимости от вебер-амперной характеристики различают линейный (L= const)и нелинейный индуктивный элемент.

По закону электромагнитной индукции изменение потокосцепления пронизывающего витки катушки индуктивности вызывает появление в ней электродвижущей силы (ЭДС)§

. (1.14)

Знак минус указывает на то, что по закону Ленца, ЭДС противодействует изменению потокосцепления, то есть ЭДС индукции противодействует изменению тока.

Для линейного индуктивного элемента:

.

Падением напряжения на катушке индуктивности называется величина

. (1.15)

Положительное направление uL совпадает по направлению с положительным направлением i. Таким образом, uL пропорционально .

 

Рис. 1.3. условное обозначение катушки индуктивности

На рис. 1.3 приведено условное обозначение элемента индуктивности L и положительного направления тока i, падения напряжения uL и ЭДС самоиндукции eL.

Мгновенная мощность (пп. 2.9.1, 2.9.3), поступающая в катушку индуктивности, равна

или . (1.16)

Мощность связана с процессом изменения энергии магнитного поля. Энергия, накопленная в магнитном поле катушки индуктивности, начиная с момента времени t=0 при i=0

. (1.17)

1.4.3. Емкость. Конденсатор

Конденсатор – элемент электрической цепи, способный накапливать энергию в электрическом поле. Конденсатор характеризуется емкостью С.

Обозначение С применяют в электротехнике как для обозначения элемента цепи, так и для количественной оценки емкости как отношения заряда q к напряжению на этом элементе.

. (1.18)

Емкость измеряется в фарадах [Ф].

В общем случае зависимость заряда от напряжения на конденсаторе нелинейная, то есть емкость зависит от напряжения. Если конденсатор образован двумя пластинами, то изменение напряжения приложенного к ним, вызывает изменение заряда на пластинах: к пластине, потенциал которой возрастает, поступит дополнительный положительный заряд, а к пластине, потенциал которой снизится, поступит такой же отрицательный заряд.

Ток – производная заряда во времени

. (1.19)

Отсюда .

Проинтегрировав, получаем

, (1.20)

. (1.21)

 

Рис. 1.4. Условное обозначение конденсатора

Условное обозначение емкости и положительные направления тока и напряжения приведены на рис. 1.4.

Мощность, поступающая в емкость, равна

. (1.22)

Когда заряд положителен и возрастает, то ток положителен, и в емкость поступает электрическая энергия извне. Когда заряд положителен, но убывает, т. е. ток отрицателен, то энергия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.

Энергия электрического поля в произвольный момент времени t (при условии, что при t=0 емкость не была заряжена) определится

. (1.23)

1.4.4. Источник электродвижущей силы (ЭДС)

Идеализированный источник ЭДС – активный элемент электрической цепи, напряжение, на зажимах которого не зависит от протекающего сквозь него тока. Величина работы, затрачиваемой сторонними силами на перемещение единицы положительного заряда от зажима (–) к зажиму (+), называется электродвижущей силой (ЭДС) источника и обозначается, в общем случае, e(t). На рис. 1.5 приведена схема замещения реального источника ЭДС. Внешняя характеристика источника постоянной ЭДС (обозначается E) – зависимость выходного напряжения от тока в цепи, представлена на рис. 1.6 (1а).

Стрелка источника ЭДС показывает направление возрастания потенциала. При этом условно положительное направление падения напряжения на источнике ЭДС будет встречным относительно стрелки. Идеализированный источник ЭДС – источник бесконечной мощности. При
U = const и неограниченном росте тока (короткое замыкание) I ® ¥ мощность Р ® ¥, так как Р = UI.

 

Рис. 1.5. Схема замещения реального источника ЭДС

 

Рис. 1.6. Внешняя характеристика источника ЭДС (1):

идеального (1а) и реального (1б); источника тока (2): идеального (2а) и реального (2б);

линеаризованный источник (3)

Для реального источника ЭДС характерно снижение величины выходного напряжения с ростом тока (рис. 1.6 кривая 1б). Это снижение объясняется наличием у источника внутреннего сопротивления Rвн. Различают источники постоянного напряжения (ЭДС) и источники, напряжение на зажимах которых является функцией времени.

1.4.5. Источник тока

Идеализированный источник тока – активный элемент электрической цепи, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Стрелка источника тока показывает направление протекания тока. При этом условно положительное направление падения напряжения на источнике тока будет встречным относительно стрелки (рис. 1.7).

Идеализированный источник тока – источник бесконечной мощности (рис. 1.6 кривая 2а).

 

Рис. 1.7. Идеальный источник тока

Рис. 1.8. Схема замещения реального источника тока

При неограниченно большом сопротивлении цепи (имеется разрыв внешней цепи R ® ¥) и I = const мощность Р = I2R бесконечно увеличивается, то есть Р ® ¥. Для реального источника тока характерно снижение величины тока с ростом сопротивления во внешней цепи (рис. 1.6 кривая 2б). Это снижение объясняется наличием у источника внутренней проводимости Gвн. Различают источники постоянного тока (обозначение J) и источники, ток которых есть функция времени (обозначение i(t)).

Во многих практических расчётах используется так называемый линеаризованный источник – источник, вольтамперная характеристика которого представляет собой прямую проведенную через две точки, соответствующие работе источника в режиме холостого хода (I = 0, U = Uxx) и в режиме которого замыкания (U = 0, I = Iк) (рис. 1.6 кривая 3).

1.5.  Электрическая цепь и электрическая схема

Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, образующих пути для протекания электрического тока.

Элемент электрической цепи – отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней определенную функцию.

Активные элементы электрических цепей – источники электрической энергии, преобразующие в электрическую энергию другие виды энергии (механическую, химическую и др.).

Пассивные элементы электрических цепей – элементы электрической цепи, преобразующие электрическую энергию в другие виды энергии.

Все элементы электрических цепей разделяют на две группы: линейные и нелинейные.

Рис. 1.9. Схема замещения электрической цепи

Электрической схемой называется графическое изображение электрической цепи.

Ветвь – совокупность последовательно соединенных элементов электрической цепи, через которые протекает один и тот же ток (рис. 1.9).

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Контур – любой замкнутый путь вдоль ветвей электрической цепи.

Пример 1.1

По схеме рис. 1.10 определить число ветвей, число узлов и число независимых контуров.

Элементы Э1, Э2, Э3, Э4 , Э6 образуют пять ветвей цепи, шестая ветвь образована последовательно соединенными элементами Э5 и Э7. Точка соединения ветвей Э1, Э3, Э6 образует узел а, ветви Э1, Э4 , и ветвь (Э5,7) образуют узел b, ветви Э2, Э4 , Э6 образуют узел с, ветви Э1, Э4 и ветвь Э5,7 образуют узел d. Таким образом, рассматриваемая схема содержит четыре узла.

 

Рис. 1.10. к примеру 1.1

Рассматриваемая схема имеет семь контуров: I-й контур образован элементами Э1, Э4 , Э6; II-й контур образован элементами Э2, Э3 , Э6; III-й контур образован элементами Э2, Э4 , Э5, Э7; IV-й контур образован элементами Э1, Э4 , Э2, Э3; V-й контур образован элементами Э6, Э4,Э7, Э5; Э3; VI-й контур образован элементами Э1, Э7,Э5, Э2 , Э6; VII-й контур образован элементами Э1, Э7, Э5; Э3. Независимыми контурами в этой схеме могут быть контуры: I, II, III или I, II, VI.

Пример 1.2

По схеме рис. 1.11 определить число ветвей, число узлов и число независимых контуров.

Соединенные последовательно элементы R1 и E1 образуют ветвь, элементы R2 и E2, так же образуют ветвь, а вся цепь содержит шесть ветвей. Цепь имеет четыре узла – a, b, c, d.

Количество контуров – 7, количество независимых контуров – 3.

Для усвоения изложенного материала решить задачи раздела I.

Рис. 1.11. к примеру 1.2

1.6. Законы электрических цепей

1.6.1. Закон Ома

Для пассивного участка электрической цепи

Рис. 1.12. Пассивный участок электрической цепи:

. (1.24)

Напряжение uab имеет двоякое толкование. Во-первых, как падение напряжения на участке аb электрической цепи, то есть напряжение, которое необходимо приложить к данному участку электрической цепи с сопротивлением R, что бы по нему протекал ток I. Положительное направление падения напряжения указывается по направлению тока данного участка. (рис. 1.12а). И, во-вторых, как напряжение, приложенное к участку аb электрической цепи. При этом направление напряжения uab указывает направление уменьшения потенциала (условно от “+” к “–”) (рис. 1.12б).

Для участка цепи, содержащего ЭДС принято, что ток течет в направлении от большего потенциала к меньшему: jc > ja (рис. 1.13). Источник ЭДС, за счет преобразования других видов энергии, напротив, поддерживает движение электронов в противоположном направлении:
j b < j а, таким образом, направление падения напряжения на источнике ЭДС будет обратным по сравнению с направлением протекающего по нему тока.

Если участок ас рассматривается как источник ЭДС для внешней цепи, то направление Uaс будет встречным относительно тока (рис. 1.14).

Если под напряжением Uaс понимают падение напряжения на участке ас (приложенное к участку ас напряжение), то его направление и направление протекающего тока будут совпадать (рис. 1.14).

 

Рис. 1.13. Участок цепи, содержащий источник ЭДС

 

Рис.1.14. Замкнутый контур

. (1.25)

При определении тока участка цепи можно воспользоваться несложным правилом: в числителе – все что способствует нарастанию тока (ЭДС, напряжение на концах участка – совпадение их направлений с направлением тока) берут со знаком ‘+’, все что препятствует (встречные направления) – со знаком ‘–’; в знаменателе – суммарное сопротивление ветви:

для рис. 1.13: ;

для рис.1.14: .

В общем случае для участка цепи

. (1.26)

1.6.2. Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа основан на том, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется.

 

Рис. 1.15. Узел электрической цепи

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

. (1.27)

Например, для схемы, представленной на рис. 1.15

.

Или

.

Отсюда следует иное звучание закона Кирхгофа: сумма подходящих к узлу токов равна сумме токов отходящих от узла.

При составлении уравнения согласно первому закону Кирхгофа (1.27) подходящие к узлу токи берутся с одним знаком (например, положительным), а отходящие – с противоположным ему знаком (например, отрицательным).

1.6.3. Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС входящих в данный контур.

. (1.28)

 

Рис. 1.16. Контур электрической цепи

При составлении уравнения согласно второму закону Кирхгофа (рис. 1.16), для рассматриваемого контура произвольно выбирают направление его обхода.

Правило знаков: Если направление падения напряжения на пассивном элементе совпадает с направлением обхода контура, то в уравнении (1.28) оно учитывается со знаком ‘+’, то же и для источников ЭДС.

Например, для схемы (рис. 1.16) уравнение, составленное согласно второму закону Кирхгофа запишется как

или .

2. Линейные электрические цепи

синусоидального тока

2.1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи

В настоящее время в качестве основного электрического сигнала промышленных и бытовых электросетей выбрана синусоидально изменяющаяся величина: ток, напряжение, ЭДС.

Такой выбор обоснован тем, что получение и преобразование переменного тока значительно проще и дешевле, нежели постоянного.

Рассмотрим основные способы представления синусоидальных величин.

;

; (2.1)

,

где:

e, u, i	– мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;
Im, Um, Em	– амплитудные значения соответствующих величин;
	– круговая (циклическая) частота;
	– частота – физическая величина, определяющая число колебаний в единицу времени (Гц);
Т	– период синусоидальной величины – время одного полного колебания (с);
yi, yu, yе	– начальные фазовые углы

Процесс изменения мгновенного значения синусоидальной величины может рассматриваться либо относительно времени (по оси абсцисс откладывается t), либо относительно полного фазового угла (по оси абсцисс откладывается wt)

Анализируя несколько гармонических сигналов, в большинстве случаев опускают конкретные значения начальных фазовых углов, рассматривая лишь их соотношения – фазовые сдвиги.

На рис. 2.1 представлены два синусоидальных сигнала – ток и напряжение. Начальный фазовый угол тока yi – положительны; для синусоиды напряжения yu отрицательный.

Угол фазового сдвига между этими сигналами можно определить как

j = yu – yi; j >

В данном примере ток опережает напряжение.

Рис. 2.1. Синусоидальные сигналы тока и напряжения

Если выбрать за начало наблюдения момент времени t1, то значение начальных фазовых углов синусоид тока и напряжения изменится, однако, величина фазового сдвига (разности фаз) останется прежней.

2.2. Представление синусоидальной величины комплексными
числами

2.2.1. Определение комплексного числа

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел а и b где

a = Re( Z ) – действительная часть комплексного числа Z,

b = Im( Z ) – мнимая часть комплексного числа Z,

j – мнимая единица ( j 2 = –1).

Пример 2.1

Для каждого из заданных комплексных чисел найти действительную и мнимую части.

действительная часть комплексного числа Re( Z1 ) = 4;

мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 3.

действительная часть комплексного числа Re( Z2 ) = -3;

мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 5.

действительная часть комплексного числа Re( Z3 ) = 0;

мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = -2.

действительная часть комплексного числа Re( Z1 ) = 4;

мнимая часть комплексного числа Im( Z1 ) = 0.

 

Рис. 2.2. Графическое изображение комплексных чисел на комплексной плоскости

Комплексные числа графически изображаются в виде точки на комплексной плоскости (рис. 2.2) с координатами: a – на оси действительных значений, j b – на оси комплексных значений, либо радиусом-вектором (далее – комплексный вектор).

Комплексный радиус-вектор – направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с началом координат, а координатами его конца являются комплексные числа.

Применяются три формы представления комплексного значения:

– алгебраическая форма;

– тригонометрическая форма;

– показательная форма.

2.2.2. Алгебраическая форма представления комплексного числа

Комплексное число представленное в алгебраической форме имеет вид

, (2.3)

Длина или модуль комплексного вектора определяется по его проекциям на оси исходя из прямоугольного треугольника (рис. 2.2)

. (2.4)

Аргументом j комплексного числа называется угол между действительной осью и комплексным вектором.

Если j > 0, то угол отсчитывается в направлении против движения часовой стрелки, если j < 0, – наоборот.

Аргумент j связан с действительной и мнимой частями комплексного числа соотношением

(2.5)

Если два комплексных числа отличаются только знаком перед мнимой частью, то такие комплексные числа называются сопряженными. Для любого комплексного числа существует сопряженное комплексное число, обозначаемое .

Пример 2.2

Для каждого из заданных комплексных чисел найти модуль, аргумент и сопряженное комплексное число.

: