Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах (стр. 4 )

 

Рис. 2.41. Векторная диаграмма тока и напряжения на комплексной плоскости

Чтобы получить мощность, следует у одного из комплексных чисел (тока или напряжения) заменить его сопряженным комплексным числом. То есть, если комплексное число задаётся в алгебраической или тригонометрической форме, то необходимо изменить знак мнимой части на противоположный, или если оно задаётся в показательной форме, изменить знак аргумента.

Возьмем произведение напряжения на сопряженное комплексное число тока (сопряженные комплексные числа отмечают звездочками над соответствующими буквенными обозначениями).

Тогда

или

,

так как .

Следовательно, полная мощность определяется

вещественная часть произведения представляет собой активную мощность – , а мнимая часть без множителя – реактивную
мощность – . Модуль полученного комплекса дает полную (кажущуюся) мощность: .

В рассматриваемом случае , что соответствует емкостной нагрузке.

Если, что справедливо для цепи , то:

Таким образом, знак мнимой части полной мощности определяет характер нагрузки.

Однако нужно отметить, что знаки у мнимой части полной мощности при одинаковых параметрах цепи изменятся, если взять произведение .

Поэтому при составлении баланса мощностей, рекомендуется производить всегда единообразные операции, то есть всегда брать произведение . Это поможет избежать ошибки при суммировании реактивных мощностей.

2.9.6. Параметры пассивных элементов электрической цепи

Таблица 2.2

Параметры пассивных элементов электрической цепи

Элемент	Обозначение	Мгновенные величины тока и напряжения	Комплексные сопротивления	Мгновенная и комплексная мощность	Энергия
Резистивный	R [Ом]	iR = uR /R, [A] uR = iR R, [B]	R, [Ом]	, [Bт] PR = URIRcosj= , [Bт]	[Вт час]
Индуктивный	, [Гн]	, [B] , [A]	XL = j wL, [Ом] w = 2 p f	, [ВАР] [ВАР]	[ВАР час]
Емкостной	, [Ф]	, [B] , [A]	, [Ом] w = 2 p f	, [ВАР] [ВАР]	[ВАР час]

3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Методика расчета рассмотренных ниже методов приведена с учетом метода комплексных амплитуд, согласно которому гармонические функции (токи и напряжения) рассматриваются как комплексные вектора [раздел 2.3], то есть исходные функции из временной области (области вещественной переменной t) переводятся в частотную область – область мнимого аргумента j w.

Рассмотренные ниже методы применимы для линейных цепей как переменного синусоидального тока, так и цепей постоянного тока, в которых полное сопротивление цепи определяется лишь активной составляющей.

Электрическая цепь считается заданной, если задана ее конфигурация, то есть, задана схема соединения элементов цепи и их параметры: сопротивления или проводимости пассивных элементов, напряжения, токи, внутренние сопротивления или проводимости активных элементов.

В теории электрических цепей возможна постановка двух типов задач:

1) задачи анализа электрических цепей, когда известны конфигурация и значения элементов электрических цепей и требуется определить токи в ветвях, падения напряжений на участках электрической цепи или мощности, рассеиваемые на входящих в её состав элементах;

2) задачи синтеза электрических цепей, когда заданы токи и напряжения, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать параметры ее элементов.

В данном пособии проведены лишь некоторые наиболее часто используемые при расчетах методы решения задач первого типа.

3.1. Метод эквивалентного преобразования электрической цепи

Идея метода: преобразовать (свернуть) исходную схему в более простую, для которой несложно определить величину входного тока. Токи ветвей исходной схемы определяются при обратном преобразовании (развертке) упрощенной схемы.

В основе метода лежит принцип эквивалентности, согласно которому два участка электрической цепи будут эквивалентными в том случае, если при замене одного из этих участков другим потенциалы входных его точек не изменяются, то есть остаются неизменными входные напряжения и токи.

Эквивалентность двух участков электрической цепи является полной, если для них при любых внешних воздействиях выполним принцип эквивалентности, если эквивалентность участков соблюдается только при определённом внешнем воздействии, то такие участки являются частично эквивалентными.

На рис. 3.1 представлены два эквивалентных участка А1 и А2, в которых при одинаковых входных напряжениях uab, ubс, uса протекают одинаковые входные токи Ia, Ib, Ic.

 

а) б)

Рис. 3.1. Эквивалентные участки электрической цепи:

а – электрической цепи А1; б – электрической цепи А2

На рис. 3.1 представлены два эквивалентных участка А1 и А2, в которых при одинаковых входных напряжениях uab, ubс, uса протекают одинаковые входные токи Ia, Ib, Ic.

3.1.1. Эквивалентное преобразование пассивных участков электрической цепи

Последовательное соединение пассивных элементов

Под последовательным соединением элементов электрической цепи принято понимать такое соединение, при котором к одному из выводов предыдущего элемента присоединяется один из выводов последующего и так далее.

Особенность последовательного соединения элементов: ток, протекающий по последовательно соединенным элементам один и тот же.

Участок электрической цепи, содержащий последовательно элементы (рис. 3.1, а), может быть заменен эквивалентным ему участком электрической цепи с одним элементом (рис. 3.1, б), так называемым эквивалентным сопротивлением.

Два участка электрической цепи являются эквивалентными, если при одном и том же приложенном к его концам напряжении по участку протекает один и тот же ток (принцип эквивалентности).

В общем случае, электрическим эквивалентом участка электрической цепи, содержащего последовательно соединённые пассивные элементы (рис. 3.1, а), является пассивный элемент (рис. 3.1, б), комплексное сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов.

 

а) б)

Рис. 3.2. Схема последовательного соединения резистивных элементов:

а – электрическая цепь; б – эквивалентная схема

Согласно второму закону Кирхгофа для схемы рис. 3.2, а входное напряжение исходной схемы равно сумме падений напряжений на элементах

.

Для схемы рис. 3.2, б:

.

Исходя из сопоставления этих формул, эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов:

. (3.1)

Параллельное соединение пассивных участков электрической цепи

Под параллельным соединением элементов электрической цепи принято понимать такое соединение, при котором одноименные выводы элементов объединены в один узел, а противоположные их выводы – в другой.

Особенность параллельного соединения элементов: напряжение на зажимах параллельно соединенных элементов одно и тот же.

 

а) б)

Рис. 3.3. Схема параллельного соединения резистивных элементов:

а – электрическая цепь; б – эквивалентная схема

В общем случае, электрическим эквивалентом участка электрической цепи, содержащего параллельно соединённые пассивные элементы (рис. 3.3, а), является пассивный элемент (рис. 3.3, б), комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимостей этих элементов.

Согласно первому закону Кирхгофа:

.

По закону Ома токи ветвей, могут быть представлены как:

; ; ; ,

где – проводимость n-ой ветви.

Подставив полученные выражения в уравнение для токов, и выполнив элементарные преобразования, получим:

. (3.2)

Таким образом, эквивалентная проводимость участка электрической цепи, содержащего параллельное соединение элементов, определяется суммой проводимостей каждого элемента в отдельности.

Пример 3.1.

При заданных параметрах электрической цепи: значениях индуктивностей, ёмкостей и активных сопротивлений, а так же параметрах питающей сети: напряжении и частоте, определить токи в ветвях электрической цепи.

u

 

Рис. 3.4. к примеру 3.1

Решение

Представим последовательные соединения сопротивлений в ветвях схемы их полными комплексными сопротивлениями (рис. 3.4) и зададим условно положительные направления протекающих по ним токов:

;

; ;

.

 

Рис. 3.5. Схема электрической цепи

 

Рис. 3.6. Эквивалентная схема электрической цепи

В полученной схеме (рис. 3.4) параллельно соединенные сопротивления Z2 и Z4 заменим их эквивалентом:

.

Для полученной схемы (рис. 3.5), содержащей последовательно соединенные сопротивления Z1, ZЭ и Z3, определим входной ток:

.

Поскольку, сопротивления соединены последовательно, по ним протекает один и тот же ток, направление которого определяется приложенным напряжением (от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом), следовательно: (выбранное направление тока совпадает с направлением тока ); (выбранное направление тока встречно направлению тока ). Для определения токов и необходимо определить напряжение , под действием которого они протекают.

Напряжение может быть определено, как падение напряжения на сопротивлении , то есть как напряжение, которое необходимо приложить к данному сопротивлению, чтоб по нему протекал ток (направление напряжения должно совпадать с направлением ток ):

.

Тогда токи второй и четвёртой ветвей определяются как:

; .

Взаимное эквивалентное преобразование схем последовательного и параллельного соединения элементов в цепях синусоидального тока

Часто при решении задач удобно вместо последовательного соединения активного и реактивного элементов рассматривать эквивалентное ему параллельное соединение и наоборот (рис. 3.7).

 

а) б)

Рис. 3.7. Схема участка электрической цепи:

а – с последовательным соединением элементов;

б – эквивалентная схема с параллельным соединением элементов

На рис. 3.8, а представлена схема замещения последовательного соединения элементов (схемы рис. 3.7) и эквивалентная ей схема, содержащая параллельное соединение (рис. 3.8, б).

 

а) б)

Рис. 3.8. Схема участка электрической цепи:

а – схема последовательного соединения элементов электрической цепи;

б – эквивалентная ей схема параллельного соединения

Рассмотрим эквивалентный переход от схемы с последовательным соединением элементов R, L, C к схеме с их параллельным соединением. Комплексное сопротивление исходной схемы (рис. 3.7, а):

, (3.3)

Эквивалентная ей проводимость:

. (3.4)

Комплексная проводимость и сопротивление эквивалентной схемы (рис. 3.4, б):

, (3.5)

. (3.6)

Формулы перехода от последовательного соединения к параллельному (3.7) и обратно (3.8) получаются из сопоставления выражений для сопротивлений (3.3) и (3.6) и проводимостей (3.5) и (3.6):

, ; (3.7)

, . (3.8)

Взаимные преобразования схем соединения «Звезда» и

«Треугольник»

При расчете параметров электрических цепей нередко встречаются соединения, которые не могут быть отнесены ни к последовательным, ни к параллельным, так называемые соединения типа “звезда” и “треугольник” (рис. 3.9).

 

а)

 

б)

Рис. 3.9. Соединение резистивных элементов по схеме:

а – "треугольник"; б – "звезда"

Для упрощения схем, содержащих такие типы соединений, в большинстве задач необходимо эквивалентно преобразовать одно из соединений в другое. Примером таких задач является задача на упрощение мостовой схемы (рис. 3.10).

Определим условия эквивалентности двух пассивных участков электрической цепи (abc). Исходя из принципов эквивалентности, эти участки будут эквивалентны, если при замене одного участка другим входные токи I1, I2, I3 и напряжения между выводами Uab, Ubc, Uca останутся неизменными.

Рассмотрим преобразование “треугольника” в “звезду”. Для “треугольника” запишем уравнение баланса напряжений (второй закон Кирхгофа):

.

Исключим из этого уравнения токи Ibс и Iса, выразив их через ток Iab и входные токи (первый закон Кирхгофа):

Þ

.

Напряжение между выводами a и b (разность потенциалов) в схеме “треугольник”:

.

Напряжение между выводами a и b в схеме “звезда”:

.

Из сопоставления выражений 3.12 и 3.13 получим:

, . (3.9)

Для любого из нерассмотренных напряжений между выводами в схеме “треугольник” могут быть составлены аналогичные выражения:

. (3.10)

Формулы перехода от схемы соединения U к схеме – D:

,

, (3.11)

.

;

; (3.12)

Пример 3.2.

В схеме (рис. 3.10) при известных значениях сопротивлений и входного напряжения определить ток нагрузки.

 

Рис. 3.10. к примеру 3.2.

Решение

Для упрощения подобных “мостовых” схем используется эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений (например, R1, R2, R5) в “звезду”.

Пунктиром впишем в треугольник аbc звезду (рис. 3.11) и определим сопротивления ее лучей для эквивалентной замены.

 

Рис. 3.11. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в “звезду”

 

Рис. 3.12. Преобразованная эквивалентная схема

Согласно уравнениям (3.9, 3.10) сопротивления луча построенной “звезды”, исходящего из вершины “треугольника”, равна отношению произведения сопротивлений примыкающих сторон “треугольника” к сумме сопротивлений всех его сторон.

, , .

В преобразованной схеме (рис. 3.12) сопротивления попарно Rc, R4 и Rb, R3 соединены последовательно. Образованные этими сопротивлениями ветви соединены параллельно (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Эквивалентная схема замещения

Ток нагрузки является входным током и может быть определен как

.

Другим возможным вариантом решения подобной задачи является преобразование исходной схемы эквивалентной заменой одной из звёздочек (R1R4R5 или R2R3R5) в схему соединения треугольником (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Эквивалентные схемы преобразования звезды сопротивлений

в треугольник

3.1.2. Взаимные преобразования источника ЭДС и

источника тока

Реальные источники электрической энергии имеют нелинейную вольтамперную характеристику (рис. 3.15), однако, в большинстве задач при определенных допущениях, внешняя характеристика реальных источников может быть идеализирована, то есть, представлена в виде прямой. Такой источник принято называть линеаризованным источником энергии (рис. 3.16).

Идеализированная внешняя характеристика реального линеаризованного источника задается двумя точками, соответствующими режиму холостого хода (ток нагрузки равен нулю) и режиму короткого замыкания (сопротивление нагрузки равно нулю).

В зависимости от угла наклона характеристики и от условий конкретной задачи линеаризованный источник энергии может быть представлен расчетным эквивалентом: либо источником тока (параллельная схема замещения), либо источником ЭДС (последовательная

схема замещения).

Уравнение прямой проходящей через две точки (рис. 3.1, б):

. (3.13)

Первая точка, соответствующая режиму холостого хода: i1 = ix = 0; u1 = ux.

Вторая точка, соответствующая режиму короткого замыкания: u2=uк=0; i2 =iк.

Подставляя координаты этих точек в уравнение (3.13), получим уравнение внешней характеристики линеаризованного источника:

или , (3.14)

где – внутреннее сопротивление и

– внутренняя проводимость источника.

В случае если внутреннее сопротивление источника мало, наклон внешней характеристики близок к нулю (характеристика близка к абсолютно жесткой), то такой источник можно рассматривать как источник ЭДС (рис. 3.15), если проводимость источника равна нулю, внешняя характеристика близка к абсолютно мягкой, то источник рассматривается как источник тока (рис. 3.16).

Выбор схемы замещения линеаризованного источника может быть сделан произвольно, исходя из условий конкретной задачи, причем, в процессе решения может возникнуть необходимость перехода от одной схемы замещения к другой

 

Рис. 3.15. Внешние характеристики источников ЭДС

Рис. 3.16. Внешние характеристики источников тока

Используя выражения (3.14), можно определить формулы перехода от последовательной схемы замещения к параллельной, в общем случае:

; (3.15)

и от параллельной к последовательной:

; . (3.16)

 

Рис. 3.17. Параллельная схема замещения реального источника

Рис. 3.18. Последовательная схема замещения реального источника

При эквивалентном взаимном преобразовании источника тока и источника ЭДС следует обратить внимание на следующее:

·  направления тока и напряжения на выходе источника при эквивалентном преобразовании должны быть сохранены;

·  источник ЭДС и источник тока – идеализированные модели источника, строгая физическая реализация которых невозможна;

·  параллельная и последовательная схемы замещения линеаризованного источника эквивалентны друг другу в отношении энергии, выделяющейся в нагрузке и неэквивалентны – по энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении источника;

·  идеальные источники (Zвн = 0) не могут быть взаимно преобразованы§.

3.1.3. Эквивалентное преобразование участка электрической

цепи с последовательным соединением элементов

При последовательном соединении элементов в качестве расчетного эквивалента источников энергии используется последовательная схема замещения.

 

а)

 

б)

Рис. 3.19. Исходная схема: